【全效学习】2018专题提升含答案十二与圆的切线有关的计算与证明

1、 专题提升十二与圆的切线有关的计算与证明 类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12-1,。 。 的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点， 假设/ P = 30 ,。 。的半径为1,那么PB的长为 1 . 图Z121 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. .PC 为。的切线，./PCOMgO。， 在 RtSCP 中，. OC=1, /P = 30 , . OP = 2OC=2, . PB=OP OB = 21 = 1. 【思想方法】 1圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； 2圆 的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 2021天津AB是

2、。的直径，AT是。的切线，/ ABT= 50 , BT交 。于点C, E是AB上一点，延长CE交。于点D. 1如图Z122,求/ T和/CDB的大小； 2如图，当BE=BC时，求/ CDO的大小. 解：如答图，连结AC, .AT是。O的切线，AB是。的直径, . ATI AB,即/TAB=90 , . zABT= 500 , .T= 90 VABT= 40 , 由AB是。O的直径，得/ACB = 90 , .zCAB=90 V ABC = 40 , . . CDB= / CAB = 40 ./BCE=/BEC=65 , . . / BAD = / BCD = 65 . OA=OD, . ODA

3、=/OAD=65 , ./ADC=/ABC=50 , ./CDO=/ODA/ ADC = 65 50 =15 【中考预测】 2021宿迁如图Z12-3, AB与。相切于点B, BC为。O的弦，OCOA, OA与BC相交于点P.(2)如答图, 连结AD, 在4BCE中, BE=BC, /EBC = 50 liI 图 Z12-2 T 中考变形答图 0 中考变形答图 (1)求证：AP = AB; (2)假设OB = 4, AB = 3,求线段BP的长. . CH= A/OC2-OH2=噜, ,.OHXBC, .CH = BH, 八 八16.5 解：(1)证明：vOC=OB, A zOCB=ZOBC,

4、 .AB 是。O 的切线，；OB，AB, .zOBA= 90 , . .ABP+/ OBC=90 , vOCXAO, A zAOC = 90 , zOCB+/CPO = 90 , . APB=/CPO, .zAPB=/ABP,.AP=AB; (2)如答图，作 OHBC 于 H.在 RtSAB 中，OB=4, AB= 3, . OA=32+42 = 5, .AP = AB = 3, . PO = 2. 在 RtzPOC 中，PC = /OC2 + OP2 = 275, 1 - 1 _ .3PCOH = 2OC OP, . OH = OPOC 45 PC = 5 八 八 16 5 .BC = 2C

5、H= 5 , 2 5=, A H 4 ii 图Z123 中考预测答图 .BP=BCPC = - 5 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】 ：如图Z12-4, A是。外一点，AO的延长线交。O于点C,点B在圆 上，且AB=BC, /A= 300 ,求证：直线 AB是。O的切线. 证明：如答图，连结OB, .OB = OC, AB=BC, ZA=30 , .zOBC= /C=/A= 30 , zAOB= /C+ /OBC = 60 . . zABO=180 -(/AOB+ZA)= 180 . ABXOB,又OB为。O半径，；AB是。O的切线. 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法

6、 “作半径，证垂直或者“作垂 直，证半径 【中考变形】 1. 2021黄石如图Z12 5,。的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B), AD XCD. (1)假设 BC = 3, AB = 5,求 AC 的值; (2)假设AC是/ DAB的平分线，求证：直线 解：:AB是。O直径，C在。O上, .zACB=90 ,又BC = 3, AB = 5, -(60 由0)=90 , 图 Z12-4 A 经典母题答图 CD是。O的切线. 图 Z12-5 中考变形1答图 由勾股定理，得AC = 4; (2)证明：如答图，连结OC, .AC是/ DAB的平分线， .zDAC= /BAC, 又AD，DC,z

7、ADC：/ACB=90 , .ZADCS/ACB, .ZDCA=/CBA, 又. OA= OC, . .zOAC=/OCA, . zOAC+/OBC = 90 , .OCA+/ACD=/OCD=90 , 直线CD是。O的切线. 2. 2021 南充如图 Z12 6,在 RtACB 中，/ACB = 90 ,以 AC 为直径作。O 交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F. (1)求证：DE是。O的切线； (2)假设CF = 2, DF = 4,求。O直径的长. 图Z12 6 中考变形2答图 【解析】(1)连结OD,欲证DE是。的切线，需证ODLDE,即需证/ODE =

8、90 ,怔ACB = 90 ,连结CD,根据“等边对等角可知/ODE=/OCE = 90 ,从而得证； (2)在RtgDF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解. 解：1证明：如答图，连结 OD, CD. .AC是。O的直径，.ZADC = 90 . . zBDC= 90 .又 V E 为 BC 的中点, 1 . DE = 2BC= CE, - zEDC= / ECD. .OD = OC, .zODC=/OCD. zEDC+ /ODC=/ECD+/OCD= /ACB = 90 . .zODE = 90 , DE 是。O 的切线； (2)设。O 的半径为 x.在 RtSDF 中，OD2+DF2

9、= OF2, 即x2 + 42=(x+ 2)；解得x=3.；OO的直径为6. 【中考预测】 如图Z12-7, AB是。O的直径，点 C, D在。O上，/ A=2/BCD,点E 在AB的延长线上，/ AED=/ABC. (1)求证：DE与。O相切； (2)假设 BF = 2, DF=V10,求。的半径. 解：(1)证明：如答图，连结 OD. .AB是。O的直径， .zACB=90 、 zA+/ABC = 90 . zBOD = 2/BCD, /A= 2/BCD, .zBOD=/A, . zAED=/ABC, .ZBOD+/AED=90 , .zODE = 90 ,即ODDE,DE 与。O 相切； (2)如答图，连结BD,过点D作DHXBF于点H. . DE 与。O 相切，A ZACD+ /BCD=/ODB+/BDE = 90 . zACD=/OBD, /OBD=/ODB, . zBDE= / BCD, . zAED=/A