初三数学二次函数专题平行四边形存在性问题-

1、1.如图1,抛物线），=0+心- + 2与X轴交于A.B两点，与J'轴交于点C, AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.（1）求抛物线的表达式；（2）如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH丄EO, 垂足为H.设PH的长为1,点P的横坐标为m,求1与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出1的最大 值：（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点21,使得以M.A,C.N为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写岀所有满足条件的M的坐标：若不存在，请说明理由.2.已知抛物线y1=-x2-2x +

2、 3与x轴交于点A, B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C.（1）直接写岀点A, B, C的坐标：（2）将抛物线儿经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B,夕两点（夕在B的右侧），顶点D的对应点D, 若ZBD'B' = 90°，求£的坐标和抛物线y2的解析式：（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线）或力上是否存在点P，使以B：C,Q,P为顶点的四边形 是平行四边形？如果存在，求岀所有符合条件的点P的坐标：如果不存在，请说明理由.3.如图1 （注：与图2完全相同），在直角坐标系中,抛物线经过点三点A（l,0）,8（5,0）,C（0,4）.(1)

3、求抛物线的解析式和对称轴；(2) P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA + PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索)；(3) 在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以0B为对角线且而积为12的平行四边形？若存在, 请求岀点E坐标，若不存在请说明理由.(请在图2中探索)4.如图，在平而直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3, 0)、B(0, 一3),点P是直线AB上的动点，过 点P作x轴的垂线交抛物线于点设点P的横坐标为t.(1) 分別求岀直线AB和这条抛物线的解析式.(2) 若点P在第四象限，连接AM、BM,当线段PM最长时，求aABM的而积.(3) 是否存在这样的

4、点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标： 若不存在，请说明理由.5. 如图，抛物线y = -x2+bx + c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N,过A点的直线：y = kx + n与y轴交于点C,与抛物线)，=一/+加的另一个交点为d,已知A(-l,0), D(5,-6), P点为抛物线y = - x2 + hx + c ±一动点(不与A、D重合).(1) 求抛物线和直线1的解析式;(2) 当点P在直线1上方的抛物线上时，过P点作PE/轴交直线1于点E,作PF/y轴交直线1于点F,求PE + PF 的最大值；(3) 设

5、M为直线1上的点，探究是否存在点M,使得以点N、C, M. P为顶点的四边形为平行四边形？若存在, 求出点M的坐标：若不存在，请说明理由.1 ,56. 如图，抛物线厶：，=空2-才兀一3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B.(1) 求直线A3的解析式及抛物线顶点坐标；(2) 如图1,点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC1X轴，垂足为C, PC交AB于点、D,求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；(3) 如图2,将抛物线L:y = -x求抛物线的解析式. 抛物线的顶点M与对称轴/上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直线BE交AD于点E,若直 线BE将ABD的而

6、积分为1： 2两部分，求点E的坐标. P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、0为顶点的四边形为平 行四边形？若存在，求岀点P的坐标：若不存在，请说明理由.-x-3向右平移得到抛物线直线A3与抛物线2/交于M N两点，若2 4点A是线段MN的中点，求抛物线厶'的解析式.7.如图，抛物线 y=abx+c (“HO)的图象经过 A (1, 0), B (3, 0), C (0, 6)三点.8.在平而直角坐标系中，抛物线y = ax2+bx + 2（a0）经过点A（-2,-4）和点C（2,0）,与y轴交于点D,与x轴的另一交点为点B.（1）求抛物线的解析

7、式：（2）如图1,连接在抛物线上是否存在点P，使得ZPBC = 2ZBDO ?若存在，请求岀点P的坐标；若不 存在，请说明理由；（3）如图2,连接AC,交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A,点D重合），将ACME沿ME所 在直线翻折，得到aFME，当aFME与厶/吨重叠部分的面积是 AMC而积的二时，请直接写出线段AW的4长.初三数学二次函数专题平行四边形存在性问参考答案1. （1）抛物线解析式为y=- -x424(2)在 y= - x2 - x+2 中，令 y=2 可得 2= - x2 - x+2,解得 x=0或 x= - 2, 333E ( - 2, 2),直线OE解析式为y=-

8、x,- -x+2： （2）1»迟（m+丄厂+士巫，最大值为竺仝；（3）（2,-） 333448483或（-4,-巴）或（-2, 2）.3【解析】【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待泄系数法可求得抛物线解析式：（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线0E解析式，可知ZPGH=45。，用n】可表示岀PG的长，从而可表示岀1的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F,则可证得 MFN9AA0C.可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K,可求得K的横坐

9、标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标.【详解】解:（1） :矩形oBDC的边CD=1,OBJVAB=4,AOA=3,A A ( -3, 0), B (1, 0),把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得« + /? + 2 = 09“一3/? + 2 = 0 '2 a =33 解得2 4抛物线解析式为y» -x2- -X+2；2 4由题意可得P (m, - - m2 - m+2),3 3PGy轴，AG (m, - m),TP在直线OE的上方，2 4212149/. PG= - m2 - m+2 -( - m)= - m2 -_ m+2= -(m+ )

10、2+，3 3333424直线0E解析式为y=-x,AZPGH=ZCOE=45°,丄 5+丄)2+空返(m+丄)2+哎，2 234243448当m= - y时，1有最大值，最大值为咚2：4 48(3)当AC为平行四边形的边时，则有MNAC,且MN=AC,如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F,设AC交对称轴于点L,则 Z ALF= Z ACO= ZFNM, 右仏MFN和厶AOC中ZFMN=ZAOC< ZFNM=ZACOMN = ACMFN竺 AOC (AAS), AMF=AO=3,点M到对称轴的距离为3,2 4又 _x? -x+2,3 3抛物线对称轴为x=- U设M点坐标为(x, y

11、),则lx+ll=3,解得x=2或x=-4,当 x=2时，y=-,当 x=-4时，y斗，JJ'M点坐标为(2, 巴)或(-4,-)：3 3当AC为对角线时，设AC的中点为K,VA ( -3, 0), C (0, 2),3K ( -1),2点N在对称轴上，点N的横坐标为-1,设M点横坐标为X,3 x+ ( - 1) =2x ( - - ) = -3,解得 x=-2,此时 y=2,2AM ( -2, 2)；综上可知点M的坐标为(2, 巴)或(-4, 巴)或(-2, 2). 33考点：二次函数综合题.2. (1) A (-3, 0), B (1, 0), (0, 3)； (2) B1 (3,

12、 0), y2=-x2+4x-3： (3) P的坐标为(-2, 3), (J + J7, -3),(-1-V7 > 3), (0, -3), (4, -3).【解析】【分析】(1) 令y=0,即可求出A, B,令x=0,即可求出C的坐标：(2) 设B，(t, 0),根据由题意得y2由屮平移所得，可设y2的解析式为:y2=- (x-1) (x-t) =-x2+ (l+t) x-t,求出 D1,判断出ABD®是等腰直角三角形，可得yo' = |lBB'h即可得到关于t的方程，解出t即可求岀B，的坐标和 yz的解析式；(3) 分若Q在B，右边，若Q在B，左边：当B，Q

13、为边时和当B，Q为对角线时，这几种情况讨论即可.【详解】解：(1)由题意得抛物线X=F2x + 3与x轴交于点A, B两点(A在B的左侧)与y轴交于点C,当 y=0 时，-x2-2x+3=O 即(x+3) (1-x) =0解得 xi=-3, X2=l>A的坐标为(3 0), B的坐标为(1, 0),当 x=0 时，y=-02-2X 0+3=3,C的坐标为(0, 3),综上：A (-3, 0), B (1, 0), (0, 3)：(2) 设 B (t, 0),由题意得y?由y】平移所得， a= 19.可设 y2的解析式为:y?=- (x-1) (x-t) =-x2+ (1+t) x-t,A

14、D' ( , U + "7 ),24B和B，是对称点，D，在对称轴上，ZBDU90° ,AABD'B'是等腰直角三角形，.yD'=y IBB'I,.(l + /)2_4f=£ (t_n>4 2解得t=3,AB* (3, 0)>Ay2=-x2+4x-3：(3) 若Q在B，右边，则P在x轴上方，且CPB，Q,.yp=yc=3,此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去：若Q在B，左边，当UQ为边时，则CP/B'Q,此时yp=yc=3, P点在y】上，将 yp=3,代入 y】得-x2-2x+ 3=3.解得 xi=0

15、, X2=-2,此时P的坐标为(2, 3 )：当UQ为对角线时，则B'C/QP,.yc-yB=3,: yQ-yp=3,Q在x轴上，/yp=-3>将 Yp=-3 代入 y.得-x2- 2x + 3= 3,解得 x1+77, x2=-1-V7 ,将 yP=-3 代入 y2 得-x2+4x-3=-3,解得 WO, X2=4,P的坐标为:(-1+J7, -3), (-1-77, -3), (0, -3), (4, -3),综上：P的坐标为:(-2, 3),(1+J7, 3),(亠3), (0,-3), (4,-3).【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

16、平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键.4 248121?3. (1) y= ax + 4 函数的对称轴为：x=: (2)点P(3,二)：(3)存在，点E的坐标为(2,- )或(4厂)【解析】【分析】根据点A、B的坐标可设二次函数表达式为：y="(x l)(25)=d(26x + 5),由C点坐标即可求解：(2)连接B、C交对称轴于点P,此时PA + PC的值为最小，即可求解：1?S四边形。加=°3x)z=5x)*=12,则y£=,将该坐标代入二次函数表达式即可求解.【详解】解：根据点A(l，0). 3(5,0)的坐标设二次函数表达式为：(X-1)(x

17、-5)(x2 -6x+5),抛物线经过点C(0,4),4则 5°=4,解得：,抛物线的表达式为：y2 -6x + 5)= 1(x-3)2 =x2 x + 4 ,函数的对称轴为：r=3：(2)连接B、C交对称轴于点P,此时PA + PC的值为最小，设BC的解析式为：y=kx+bt0 = 5k+b将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=lcc+b得：仁 川 ， b = 4k=_i解得：5,b = 44直线BC的表达式为：y = x + 4 8当尸3时，y=->Q故点A3,-）；5（3）存在，理由：四边形OEBF是以0B为对角线且而积为12的平行四边形，则S四边阳）讪=5>&l

18、t;网=12 12点£在第四象限，故：则y£=->将该坐标代入二次函数表达式得：4/ ?乙 12尸丁（f _6x + 5）=_亍解得：E2或4,12 1?故点E的坐标为（2,-二）或（4,- =）【点睛】本题考査二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的而积计算等，其中（2）,求线段和的最小 值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法.4. (1 )抛物线的解析式是y = x2 -2 3 直线AB的解析式是y = x- 3.(3) P点的横坐标是、+歼或° :Q.2 2【解析】【分析】(1) 分别利用待定系数法求两函数的解析式:把A

19、 (3, 0) B (0. -3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关 于n】、n的两个方程组，解方程组即可：(2) 设点P的坐标是(t, t-3),则M (t, t2-2t-3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=(t-3) - (t2-2t-3) =-t2+3t,然后根据二次函数的最值得到3 q0 一 9 q当t= ' 2X ( -1)PM最长X ( 141再利用三角形的而积公式利用Saabm=Sabpm+Saapm计算即可；(3) 由PMOB，根据平行四边形的判左得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然9后讨论：当P在第四象限

20、：PM=OB=3, PM最长时只有斗，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3, (t2-2t-3)4-(t-3) =3；当P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.【详解】解:(1)把 A (3, 0) B (0, -3)代入y = x2 +mx + n 得0 = 9 + 3m + n m = -2 2解得q_3 = nn = _3所以抛物线的解析式是y =疋一2%-3设直线AB的解析式是y = kx + h,把A (3, 0) B (0, -3)代入y = kx + b,得0 = 3k+b k = 1一3 = Z?b = -3 所以直线A

21、B的解析式是y = x 3(2)设点P的坐标是(“，p-3) JIJM (/r-2/?-3)，因为0在第四象限，所以PM= |(/?-3)-(/?2 -2/?-3)| =-/?2 +3/?,当 PM 最长时 PM ，此时 p = |,=»BPM(3)若存在,则可能是:9 P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=0B=3, PM最长时PM = ,所以不可能.4 P在第一象限平行四边形OBPM： PM=0B=3,沪_3卩=3,解得 3+呵,3_頂 (舍去)，所以1 2 2P点的横坐标是2 P在第三象限平行四边形OBPM： PM=OB=3, p?-3p = 3,解得戸=_ 歼 (舍去)，

22、2戸上Q ,所以p点的横坐标是上2 2所以P点的横坐标是出叵或上匹.2 25. (1) y =x2+3x + 4,直线1的表达式为：y = -xT； (2) PE + PF最大值:18； (3)存在，M的坐标为： (2 + 714,-3-714 )或(2-714,-3 + 714 )或(4,一5)或(-4,3).【解析】【分析】(1) 将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解：(2) PE + PF=2PF=2C -x2+3x+4 + x + 0) = -2(x-2)2+18,即可求解:(3) 分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可.【详

23、解】一£ + = 0解:(1)将点A、D的坐标代入直线表达式得：w5k + h = -6故直线1的表达式为：y=-xT,将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =x2+3x + 4：(2)直线1的表达式为：y= - x-1,则直线1与x轴的夹角为45。,即：则设点P坐标为(x,-x2 +3兀+ 4)、则点F(x-x-l),PE + PF=2PF=2( -x2+3x + 4 + x + 1) = -2(x-2)2 + 18,/ -2<0,故PE+PF有最大值，当E2时，其最大值为18：(3)由题意得，NC=5, 当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为(

24、x,X2+3X+4).则点M(x, -X-1),由题意得：1儿厂儿1=5,即：卜疋+3/ + 4 +兀+1|=5,解得x = 2±V14或0或4(舍去0,此时M和C重合)，则点 M 坐标为(2 + 714,-3- V14)或(2-714,-3 + V14)或(4, -5)； 当NC是平行四边形的对角线时，(3)则NC的中点坐标为0,才，设点P坐标为(m,+ 3m + 4)、则点M5,- nl),N、C, M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，nn 小 in + n 3-/?i2 + 3m + 4 - 一 1即：0 =,_ =,2 2 2解得：=0或-4 (舍去0

25、,此时M和C重合)，故点 M( -4,3)；故点 M 的坐标为：(2 +714,-3-714)或(2-714,-3 + >/14)或(4, -5)或(-4,3).【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何答案第1页，总19贞图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.3 / 5 121、136. （1）直线肋的解析式为y = j 3,抛物线顶点坐标： 当X =时，PD+BD的最大值4 k 4 32 74【解析】【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线AB的解析式为y = lcx

26、 + b,利用待立系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；<x<4 ,则1 5（2）过点D作DE丄y轴于&则DE/Q4.求得AB=5,设点P的坐标为点。的坐标为（冲T，E",证550,由相似三角形的性质求出込用含X的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得点P的坐标：1lol（3）设平移后抛物线C的解析式y=-（x-,n）2- ,将I；的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设3 ->25(3、则是方程 x-2 m H x + nr = 0 的两根，得到 x, + x2 =2 m + ，点 AI 4丿16I 4 ；为的中点，刃+

27、勺=8,可求得m的值，即可求得1/的函数解析式.【详解】（1）在尸卜，一討一3中，153令y = 0，则-A2-j-x-3 = O,解得召=_牙,£=4,. A（4,0）.令兀=0,则），=一3,3）.设直线A3的解析式为y = lcx + bf则4k+b = 0解得:74 ,"一33直线仙的解析式为严产3 X- 抛物线顶点坐标为(扌，-冒(2)如图，过点D作DE丄y轴于E,则DE/OA. . 04 = 4,03 = 3,AB = yOA2+OB2 = a/42+32 =5»设点P的坐标为x,穿一扌一丫一彳亍”“町， 则点D的坐标为x,扌x-3), *. ED =

28、 x./ DE/OA,aBDEsBAO ,.BD ED''BAOA'BD x ,5 4/. BD = x .43 (15A116932V-<0, ：vxv4,由二次函数的性质可知:24当x = -时，PD+BD的最大值为嘤.4 325732而PD =二牙_3 兀2_二 丫_3 =_牙2+ 2开， (24丿21 1?1（3）设平移后抛物线Lf的解析式y=-（x-/n）2-話,(3、25n/ + -k + w2 - = 0,设 M（X,yJ,W（X22）3则"是方程宀»25x + 广一 77 = 0的两根,Io： %)+ x2 = 2而A为MN的中

29、点,:.x+x2=S,2（加+召=8,解得:4；13m =4.抛物线厶'的解析式y = -2 <13)x4121321 “ 133=xx + 2 42【点睛本题考査二次函数的图象和性质、相似三角形的判泄与性质、待宦系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.7. 尸宀8x+6； (2)点£(2, 2)或(3, 4)； (3)存在，当点P坐标为(5, 16)或(1, 16)或(3, 0)时,使A、D、P、0为顶点的四边形为平行四边形【解析】【分析】(1) 设抛物线解析式为：y=a(x- 1)(a -3),把点C坐标代入解析式，可求解；(2) 先求出点

30、M,点N坐标，利用待泄系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求Su肋= + ><2x6=6,设点£(?，2m - 2),分两种情况讨论，利用三角形而积公式可求解：(3) 分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解.【详解】解：(1) V抛物线ya+bx+c ("岀)的图彖经过A(l, 0), B(3, 0),设抛物线解析式为：y=a(x-)(x-3),抛物线y=a(x - 1)(a - 3)(#0)的图象经过点C(0, 6),A6=t/(0- 1)(0-3),'抛物线解析式为：y=2(x - l)(x - 3)=2 - 8.V+6；(2) y=

31、2x28x+6=2(x2)22,顶点M的坐标为(2, -2),抛物线的顶点M与对称轴/上的点N关于x轴对称,点 N(2, 2),设直线AN解析式为：y=lcx+bf由题意可得:0 = k+b2 = 2k+b解得:2=2b = 2直线AN解析式为：y=2x-2,联立方程组得:y = 2x_2y = 2x2 一8兀 + 6解得：b?i=0x2 =4丿2 =6点 D (4, 6),:S“bd= x2x6=6设点E伽，2m - 2),直线BE将'ABD的面积分为1： 2两部分，: S、*BE= S“BD = 2 耍k S、ABE= =33y x2x(2m - 2)=2 或 y x2x(2/m

32、- 2)=4, 厶厶加=2 或 3,点 E(2, 2)或(3, 4)：(3) 若AD为平行四边形的边，以A、D、P、0为顶点的四边形为平行四边形,:.ad=pq9'xd - xA=xp -或劝-XA=Xq - Xp、/.xp=4 - 1+2=5 或冲=2 4+1 = - 1,点P坐标为(5, 16)或(1, 16)；若AD为平行四边形的对角线，以A、D、P、0为顶点的四边形为平行四边形,AD与P0互相平分， XA +XD _ XP+XQ> 2 2 .°.xp=3,点P坐标为(3, 0),综上所述：当点P坐标为(5, 16)或(-1, 16)或(3, 0)时，使A、D、P

33、、0为顶点的四边形为平行四边形.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待泄系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解 决问题是本题的关键.8. (1) y = -x2 +x+ 2 (2)存在，(彳，弓)或(, - ¥)；(3)竺卫或 2血39395【解析】【分析】(1) 根据点A和点C的坐标，利用待泄系数法求解：(2) 在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EF丄BD,垂足为F,构造出ZPBC=ZBDE,分点P在第三象限时，点P在X轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；(3)设EF与AD交于点N,分点F在直线AC ±方和点F在直线AC

34、下方时两种情况，利用题中所给面积关系和 中线的性质可得MN=AN, FN=NE,从而证明四边形FMEA为平行四边形，继而求解.【详解】 解：(1) 抛物线 y = ax2+bx + 2(a0)经过点 A (-2, -4)和点 C (2, 0),解得:h = -4 = 4心-2 + 20 = 4a + 2b + 2抛物线的解析式为y = -x2+x + 2.(2)存在，理由是：在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EF丄BD,垂足为F,令y=0,解得：X=2或点B坐标为(-1, 0),点E坐标为(1, 0),可知：点B和点E关于y轴对称，ZBDO=ZEDO,即ZBDE=2ZBDO,VD (0, 2),