多元函数微分学的应用

1、推广推广 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 及其应用及其应用 第七章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )(0oPPU00 PP一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻

2、域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),() ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为

3、 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) ,(PUE邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.内点一定是聚点；聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 ) 例如：也可以定义为也可以定义为(0,0)既是边界点也是聚点10|

4、),(22yxyx若点P 的任何邻域内总有E 中的无穷多个点 ，则称 P 是 E 的聚点聚点. 聚点聚点 也称 为极限点.D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 若点集 E 的余集 是开集 , 则称 E 为闭集；CE例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域

5、闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 11oxy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无3. n 维空间维空间n 元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回 结束 RRRRnnkxxxxkn

6、,2, 1,R),(21一个点点, 当所有坐标时，0kx称该元素为 nR中的零元,记作 O .n 维空间维空间线性运算法则 的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元. ax 记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压

7、强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS机动 目录 上页 下页 返回 结束 hr定义定义1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu机动 目录

8、 上页 下页 返回 结束 xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzoxzy说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .1xyzo,),(),(),(,),(),(,),(,),(

9、DyxyxfzzyxDyxzyxMzyxyxfzDyxP得一空间点集上一切点时取遍当，一点为竖坐标在空间就确定为纵坐标为横坐标这样，以对应的函数值为对于任意取定的二元函数二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的图形的图形.这点集称为二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,R),(nDPPf点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0

10、是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,0 0),( yxf,022时当yx22yx 222yx , 总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 例例2. 设0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：证：0),(yxf故0),(lim00yxfy

11、x, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 时，当022yxxyyx11sinsin总有 2 要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束

12、例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222200)(2sin2limyxyxyxyx原式=222222200)()2(2limyxyxy

13、xyx)(21lim222200yxyxyx)11(21lim2200 xyyx仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP

14、0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0) 1 ( K)()2(Pf

15、, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx2内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域连通的开集 空间nR2. 多元函

16、数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR机动 目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P72 题 3; 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示: :P11 题 2. ),(),(

17、2yxftytxtf称为二次齐次函数 .P11 题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 题 5(3).定义域 0:yyxDP11 题 5(5).定义域22222:RzyxrD2xy DyxoRxyoDr机动 目录 上页 下页 返回 结束 P12 题 8.间断点集02),(2 xyyxP72 题 3.定义域104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx)0,21(),(lim021fyxfyx43ln2P72 题 4. 令 y= k x ，0若令xy 42200limyxyxyx212202limxxxDxy42yx1机动 目录 上页 下页 返回

18、 结束 , 则 可见极限不存在备用题备用题1. 设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 .设,),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解：xxy取所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数 , 故连续.又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 4