初中因式分解详解及提高篇

1、初中因式分解详解及提高篇因式分解作为初中代数中一门重要的内容， 在因式分解之前的整式运算是因 式分解的反方向， 而一元二次方程则是以因式分解作为基础， 因式分解起到了承 上启下的作用， 而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解， 同时对今后 高中学习内容也会有或多或少的影响，学好因式分解十分重要。对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题， 对 于有更深层次内容的东西则是比较难以处理， 为了弥补这些缺陷， 让大家更好地 打牢初中的学习内容， 在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙 述，从而让各位同学能够真正地了解因式分解。 由于有些方法对于初中有一定的 难度

2、，对于不同的学生，我会对每一个方法进行说明。1. 提公因式法(所有学生必须掌握)典型形式： ma mb mc m(a b c)注意上面的 m 是一个数也可以是一个整式，再比如(x y)a (x y)b (x y)c (x y)(a b c)2. 平方差(所有学生必须掌握) 典型形式： a2 b2 (a b)(a b) 同样上面的 a、b 既可以是数也可以是一个整式3. 配方法(所有学生必须掌握) 对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用，比如下面的两个例子 x2 6x 8 (x2+6x 9) 1 (x 3)2 1 (x 2)(x 4) 祖冲之杯奥赛题： x4 7x2 1(这个问题在下面的试

3、根法中叙述会更好，所以在 这里不给出具体做法)4. 十字相乘法(所有学生必须掌握) 十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点，在此首先说明 x2 前系数为 1 的处理方法，我们先观察整式运算 (x a)(x b) x2 (a b)x ab 通过上面的式子可以看出 x 的一次项是 a b ，纯数的那一项是 ab ，所以可以进 行猜测试 a、b的值，一般是根据 ab项进行推测，要是用 a b 推测会很麻烦。举个例子： x2 6x 8 ，在这其中先猜 8的由来， 8只能是1 8和2 4 (分式什么的不讨 论)，而1 8 9不符合，所以只能是 (x+2)( x 4)批注：通过上面的 3的叙述可以知道

4、， 其实只要能用十字相乘法解决 的问题，都是可以用配方法和平方差两种方法综合起来解决， 而且可 以发现，利用配方法和平方差更为简单，不用动脑，但是计算量可能 会大一点。当 x2 前的系数不为 1 的时候，就应该从十字相乘法的原理入手，十字相乘法的 图示如下图所示： (ax m)(bx n)ax mbx nabx2 (an bm)x mn图1 下面可能大家会有一些疑问， 为什么会是这样乘？因为我也是从学生过来的， 所 以当初也不是很理解， 只是知道这样乘， 今天我想在这里说明一下。 首先我们来 看看整式运算图2 图 2 是一个整式运算的规则， 其中的 ax 要与另一个括号里的所有数相乘， 在图

5、1 中的箭头也是分别指向 bx、 m，同理 n 也是如此。那么这种前面的系数不为 1 到底该怎么做呢？同前面的 x2系数为 1 一样，我们 也可以从乘作为入手点， 但是需要考虑的就不仅仅是纯数的加减来凑 x 前面的系 数，因为 x前面的系数与 a、b 也是有关的。举个例子来说22x2 7x 3 ，首先从积来看， 2 1 2 ，3 1 3，总共有四组数，怎么样两两相乘之后的两个 数加起来是 7 ？可以想到 2 3 1 1 7，这说明 2x和3是不会在一个括号里的因 为前面的图 2中可以知道， a是没有办法乘到 b的，所以 2x和3不会在一个括号 里，也即 2x2 7x 3 (2x 1)(x 3)

6、批注：对于系数不为 1 的问题其实是可以化为系数为 1来进行计算的， 为什么这 么说，就拿 (2x 1)(x 3)来说，可以提出一个 2，则写成 2(x+ 1)(x 3) ，具体做2法如下所示：2x2 7x 3 2(x2 7x 3)22注意猜分数的积的时候不要乱猜，比如上面的猜 3 3 2不合理的，因为 x 前面24的系数 7 ，怎么可能是 ？，所以可以猜 3=1 3或者 3=3 1 ，于是就可以得出2 4 2 2 2 22 7 312(x2 x )=2(x )(x 3) ，再把 2乘进去就可以了。2 225. 换元法(对于想考到 90分以上的学生可以学习，满分 120) 所谓换元就是将整式中

7、的一部分利用一个字母进行代换， 从而减小因式分解的运 算难度。例 1： (x2 x 1)(x2 x 2) 12 本题中要是直接展开这些式子进行因式分解会很难算， 而且不容易处理式子之间 的联系，那么这题该怎么处理呢？答，换元！可以发现上面括号里都有 x2 x 这一项，所以可以令 t x2 x ， 代入上式中可以知道 (t 1)(t 2) 12 t 5 (t 2)代换回来有 t 5 (t 2) (x2 x 5)(x2 x 2) (x2 x 5)(x 2)(x 1) 需要注意的问题是换元在代换回来的时候要注意是否还可以进行因式分解， 因为要是没有分 解到不能分解，因式分解就是不正确的，所以一定要进

8、行验证。6. 试根法(对于想考到 90分以上的学生可以学习，满分 120) 所谓试根法其实很简单，我们先来看一下因式分解最后的形式： (x2 x 5)(x 2)(x 1)可以知道，要是我们把这个式子看成一个方程，也即 (x2 x 5)(x 2)(x 1) 0，当 x取 2或者是 1的时候等式都是成立的，因为 0 ？=0 ， 所以对于某些高次因式分解可以使用换元的方法处理，比如x3 3x 2先进行试根，假设 x 1，可以发现 1 3 2 0 ，等式成立，所以必有 x 1这一项，因为1 1 0 ，于是根据这个思想，我们就应该去凑 x 1着这一项，具体步骤如下x3 3x 2x3 x2 x2 3x 2

9、22x2(x 1) x2 x x 3x 2x2(x 1) x(x 1) 2(x 1)2(x2 x 2)(x 1)2(x 2)(x 1)2上面的每一步都是在凑 x 1 这一项，只要利用提公因式法将这些式子提出即可。 批注：一般题目在考试根法的时候，根的大小不会很大，一般在 5: 5 左右，也 可能是分数，但是不会很难猜， 要是试了几次还不出来， 说明这个问题不是用试 根法处理，比如上面配方法里叙述的祖冲之杯那道奥数题 x4 7x2 1 这道题试根 法就没办法做，那么这题该怎么做呢？十字相乘也没法做？前面的叙述中可以知 道，其实十字相乘法可以转化为配方法和平方差法， 那我们可以试试配方法和平 方差

10、结合的方法x4 7x2 1 x4 7x2 49 45 ，显然不对，因为结果太难看，一般奥数题是难，44 但是结果不会很难看，所以这样分是有问题的，那么该怎么分？ 答案 : x4 2x2 1 9x27. 双十字相乘法(对于想考到 110分以上的学生可以学习，满分 120) 所谓双十字相乘法就是十字相乘法的延伸，它的基本形式是(a b c)(x y z) 由于前面对十字相乘法进行了很系统的讲解，在此只叙述具体该怎么做这些题 目。例 1： a2 2b2 3c2 3ab 4ac 5bc首先观察式子， a2 3ab 2b2中是不含c的，所以将其进行因式分解有 a2 3ab 2b2 (a b)(a 2b) ，此时再对 c 进行因式分解就涉及到双十字相乘法， 同样先看积 3c2 3c c ，所以按照十字相乘法的原理画出图示(不理解可以看上 面十字相乘法中的图 1、图 2)4ac 7bc 不符合题意！ 换位置继续计算！