初中数学阅读理解题专题

1、初中数学阅读理解题专题【前言】新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不 同以往的单纯“给条件” to “求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一 个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如 果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路， 得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。部分真题精讲【例1】请阅读下列材料问题：如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2, PB=JJ, PC=1.求NBPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长.李明同学

2、的思路是：将 BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形（如图2）.连 接PP：可得 PPB是等边三角形，而 PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）.所 以NAPC=150。，而NBPC=NAPC=150。.进而求出等边 ABC的边长为近.问题得到解 决.请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABCD内有一点 P，且PA=V, BP=&, PC=1.求NBPC度数的大小和正方形ABCD的边长.【思路分图1'子细阅读付料，|nJ5图2H场法忘结起来就是通义图3 的角度将已知条件放在同一个（组）图形中实行研究。旋转60度以后BP就成了 B

3、P .PC成了P'A,借助等量关系BP'=PP'.于是AAPP'就能够计算了.至于说为什么是60° ,则完全是因为 大图形是等边三角形，需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题， 几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的 思路，很自然就会想到将ABPC旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC挪了 出来，于是很自然做AP'延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果 完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是能够算的。但 是借助材料中已经给出的旋

4、转方法做这道题会非常简单快捷。大家能够从本题中体会一下 领会材料分析方法的重要性所在。【解析】(1)如图，将 BPC绕点B逆时针旋转90°,得 BPA,则4 BPCABPA.AAP=PC=1, BP=BP = 72 h*D连结p P',在 RbBPP 中，V BP=BP = 72 « NPBP'=90c,卜、.PP'=2, ZBPT>=45°.在 AP'P 中，AP，=1, P P，=2, AP=有，BCV+2=(退/，即 AP，2 + PP'2 = AP2. APP是直角三角形，即NAP'P=9O°

5、./. ZAP'B=135°.ZBPC=ZAPB=135°. (2)过点B作BE_LAP'交AP，的延长线于点E.ZEP,B=45°. EP,=BE=1. AE=2.在RS ABE中，由勾股定理，得AB=#.NBPC=135。,正方形边长为正.【例2】若小天是关于x的一元二次方程办2+队+。= 0("=0)的两个根，则方程的两 hc个根小士和系数有如下关系：%+电=-一，*、= .我们把它们称为根与系数aa关系定理.如果设二次函数丁 = 6+法+。(”=0)的图象与x轴的两个交点为4/0),8区.0).利用根与系数关系定理我们又能够得到A

6、、B两个交点间的距离为：AB=上一七 I=+小 了 _=夕 一§=/二"=请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y = "2+x + c(a>0)的图象与X轴的两个交点为4与。)、8区，0),抛物线 的顶点为C,显然AA8C为等腰三角形.(1)当AA3C为等腰直角三角形时，求。24址的值;(2)当AA8C为等边三角形时，（3）设抛物线），=/+心+ 1与天轴的两个交点为A、B,顶点为C,且NAC3 = 90。.试问如何平移此抛物线，才能使NACB = 60。？【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去 解决一些问题。

7、题干中给出抛物线与X轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第 一问要求2 -4“c取何值时4ABC为等腰直角三角形.于是我们能够想到直角三角形的性质 就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距 离.于是将 2-作为一个整体，列出方程求解.第二问也是一样，把握等边三角形底边与中 线的比例关系即可.第三问则能够直接利用第一问求得的。2-4“c值求出K然后设出平移后 的解析式,使其满足第二问的结果即可,注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。【解析】.（D解：当AABC为等腰直角三角形时，过。作8LA5,垂足为AB = 2CD抛物线与X轴有两个交点，&

8、gt;（），（不要忘记这个步的论证）A |/72 -4ac =护-4t/c，h2 -4收=4 当/$<?为等边三角形时，b2-4ac=2（3）V ZACS = 90。，b2 =4 即公一 4 = 4，: k=±2&因为向左或向右平移时，NAC8的度数不变, 所有只需要将抛物线y = .F±2j% + i向上或向下平移使naC3 = 60。，然后向 左或向右平移任意个单位即可.设向上或向下平移后的抛物线解析式为：y = Y ±2技工+1 + /，;平移后 NAC3 = 60。，/一面。=2，： m = 2 .抛物线 =/+依+ 向下平移2个单位后，向左

9、或向右平移任意个单位都能 使ZACB的度数由90。变为60°【例3】阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1,正方形ABCQ中，E、F、G、分别是"、BC、CD 和ZM边上靠近A、3、C、Q的等分点，连结心、BG、C”、，形成四边形MNPQ .求 四边形MNPQ与正方形ABC。的面积比（用含，?的代数式表示）.小明的做法是：先取 =2,如图2,将AABN绕点3顺时针旋转90。至CBN',再招ZVUW绕点。 逆时针旋转90。至CDVT,得到5个小正方形，所以四边形MNP。与正方形A5CO的面积 比是I；然后取 =3,如图3,将绕点3顺时针旋转90°至CaW,再

10、将4W绕 点D逆时针旋转90°至MDM得到10个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的 42面积比是喘,即看1 VzJ请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究 =4时四边形MNPQ与正方形ABC。的面积比（在图4上画图并 直接写出结果）：（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）.A都是矩形EB【思路分析】本题属于典型的那种花1。分钟读懂材料画1分钟就能够做出来题的类 型。材料给出的方法相当精妙，考生只要认真看过去并且理解透这个思路，那么不光是这 道题能够做，以后碰见类似的题目都能够用这种方法。

11、材料中所给方法就是将周边的四个 三角形其中的两个旋转90° ,将三角形放在矩形当中去讨论面积。事实上无论是几等分点, 所构造出来的四个小三角形AMD, AABN, BPC, ACQD都是全等的，并且都是90 度,那么他们旋转以后所对应的就是两个矩形，如图三中的BN'PC和CM'DQc而矩形的 面积恰好和中间正方形的面积有联系（想想看，是怎样用N等分点去证明而积比例的）于 是顺理成章当N等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了。至于第二问和 裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思考，重点就在于找出这个多边形是由哪 几部分构成。于是按下图，连接BC,截外接

12、矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可。 说白了，这种带网格的裁剪题，其实最关键的地方就在于网格全是平行线，利用平行线截 线段的比例性质去找寻答案。【解析】四边形MNPQ与正方形ABCD的拼接后的正方形是正方形ABCD.9面积比是万.【例4】阅读：如图 1,在 AA8C 和坨上“中，ZABC = ZDEF = 90。、AB = DE = a, BC = EF=bC、D、E四点都在直线，上，点3与点力重合.连接AE、FC ,我们能够借助于八”和的大小关系证明不等式：/+2>2” （b>u>0）.证明过程如下：,: BC = b, BE = a , EC = b a.图1:.S

13、*cE =彳 EC AB = （/? - a）a9S"ce = g EC - FE = ；（_a）.RP （b - a）b >，（一”） 2 2b2 -ah> ab - a1.* a2 +b2 > 2ab .解决下列问题：（1）现将 DEF沿直线，向右平移，设8。=氏3 。）,且如图2,当3。=瓦? 时，k=.利用此图,仿照上述方法，证明不等式：“、'2活（:>“>0）.（2）用四个与A18C全等的直角三角形纸板实行拼接，也能够借助图形证明上述不 等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.【思路分析】本题是均值不等式”2+/>z法的一种几何

14、证明方法。材料中的思路就 是利用两个共底三角形的而枳来构建不等式，利用>“>。来证明。其中需要把握的几个 点就是（b-a）是什么，以及如何通过（b-a）来造出/和/。首先看第一问说要平移ADEF, 在平移过程中，DE的长度始终不变，EF垂直于M的关系也始终不变。那么此时（b-a）代 表什么？自然就是BD和ED之和了。于是看出K值°接下来就是找那两个能够共底的三角形，因为材料所给提示，我们自然想到用BD来做这个底，而高自然就是AB和EF。于 是连接AD. 4ABD和4BDF的而积就能够引出结果了。第二问答案不唯一，总来说之就 是先调整出（b-a）能够用什么来表达，然后去找b

15、和a分别和这个（b-a）的关系，然后用 而积来表达出/和从的式子就能够了，大家能够继这个思路多想想。【解析】(1) 2证明：连接AO、BF.可得 8。= ；( “). 乙乙 乙S*bd = ；BDFE = ；x；x(b - a) . b = %(b - . 乙乙 乙: >00, S»1BD < S hBD 9ab - a1 <b2 - ab .A a2+b2>?xih.(2)延长BA、FE交于点I.,: b> a >0 9 s , "矩形IBCE /。如 MABCD，即 b(b-a)>a(b-a).： b2 -ub>ab -

16、a2 ，a2+b2>?xib.四个直角三角形的而积和S =4xga b = 2ab , 大正方形的面积s,=/+/.,: b>a>09:.S2>S-* a2 + b' > 2cib-【例5】阅读下列材料：将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2,再将图2 中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重 叠）请你参考以上做法解决以下问题：（1）将图4的平行四边形分割成而积相等的八个三角形：（2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形, 再将这八个三角形适当组合拼成两个面

17、积相等且不全等的平行四边形，类比图2,图3,用 数字1至8标明.【思路分析】这种拼接裁剪题目往往都是结合在阅读理解题中考察，结合网格，对考 生的发散思维要求较强。本题材料中将平行四边形裁减成8份然后重新组成两个平行四边 形。要保证平行就需要这些小四边形的边长都是平行且相等的。第一问是面积相等，那么 直接利用中点这个个重要条件去做。第二问是分割为能重新组成平行四边形的三角形，那 么就要想如何利用三角形去构建平行和相等的关系呢？于是能够想到平行四边形的对角线 所分的三角形恰好也就满足这种条件。于是从平行四边形的对角线出发，去拆分出8个小 三角形来。具体答案有很多种，在此也不再累述。【总结】这种阅读

18、理解题是近年来中考题的新趋势，如果没有材料直接去做的话，往 往得不到思路。但是如果仔细理解材料中所给的内容，那么就会变得非常简单。这种题的 重点不在于考察解题水平，而在于考察分析，理解和应用水平。专门去找大量的类似题目 去做倒也不必，而培养审题，分析的水平才是最重要的。考生拿到这种题，第一就是要静 下心来慢慢看，切记不可图方便而草草看完材料就去做题，如果这样往往冥思苦想半天还 要回来看，浪费了大量时间。裁剪问题和拼接问题也是经常出现在此类问题当中的，面对 这种题要把握好构成那些等量关系的要素，如中点，N等分点等特殊的元素。综合来说只 要仔细理解材料中的意图，那么这个部分的分数十分好拿，考生不用

19、太过担心。第二部分发散思考【思考1】几何模型：条件：如下左图，A、8是直线/同旁的两个定点.问题：在直线/上确定一点尸， 使R4 +尸8的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点A，连结48交/于点尸，则R4 +08 =的值最小（不必证明）.模型应用：（1）如图1，正方形A3CD的边长为2, E为48的中点，尸是4c上一动点.连 结80，由正方形对称性可知，8与。关于直线AC对称.连结石。交AC于尸，则 08 +尸石的最小值是:（2）如图 2,。的半径为2,点 A、B、。在。上，OALOB, ZAOC = 60°,P是OB上一动点，则24 +PC的最小值是：(3)如图 3, NAQ8

20、= 45°,尸是NAO8内一点，尸。=10,。、R 分别是04、0B 上动点，则PQR周长的最小值是.【思路分析】利用对称性解题的例题。前两个图形比较简单，利用正方形和圆的对称 性就能够了。第三个虽然是求周长，但是只要将这个题看成是从P点到Q,然后到R再折 回来的距离最小，当成是那种“将军饮马”题目去做就能够了。【思考2】直角三角形通过剪切能够拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下:请你用上而图示的方法，解答下列问题：(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等 的矩形：(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等 的矩形.(1)/【思路分析】材料的方法中，如果延长中位线,并且由底边顶点做中位线的垂线。那 么如下图，箭头所指的两个三角形就是全等的，另外一边也是一样，所以这种裁减方法就 是利用全等来走。第一间纯属送分，按材料中所给的三角形拆法就能够了。第二问说裁剪 梯形，实质上梯形就是由两个三角形组成的，所以随便找一条对角线将梯形拆开，然后按【思考3】将图，将一张直角三