初一几何难题-练习题(含答案)

1、1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最根本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例 1.:如图 1 所示， ABC 中， C 90 , AC BC, AD DB, AE CF。求证：D已DFAEC FB图1分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45 ,由D是AB中点，可考虑连结CD易得CD AD , DCF 45。从而不难发现 DCF DAE证明：连结CDAC BCA BACB 90 , AD DBCD

2、 BD AD, DCB B AAE CF, A DCB, AD CDADE CDF DE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分 线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G使DG= DE,连结BQ证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2.:如图 2 所示，AB= CD AD= BC, AE= CF。求证：/ E= / F1 / 11EAD/ /BCF 图2证明：连结AC在ABC和 CDA中，AB CD, BC AD, AC CAABC C

3、DA (SSSB DAB CD, AE CFBE DF在BCE和 DAF中，BE DFB DBC DABCE DAF (SA§E F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意:1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、错角或同旁角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直， 可转化为证一个角等于 90° ,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一来证。例3.如图3所示，设B

4、P、CQ ABC的角平分线，AH AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH/ BC2 / 11AA/ / QPK HB M N C图3分析：由，BH平分/ ABC又BH!AH 延长 AH交BC于N,那么BA= BN, AH= HN同理，延长AK交BC于M,那么CA= CM AK= KM从而由三角形的中位线定理，知KH/ BG证明：延长AH交BC于N,延长AK交BC于M. BH 平分/ ABC/ABH /NBH又 BH! AH/AHB /NHB 90BH =BHABH NBH (ASA)BA BN, AH HN同理，CA= CM AK= KMKH是AMN的中位线KH / /MN即 KH/BC说

5、明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，那么此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折轴对称而成一个等腰三角形。例 4.:如图 4 所示，AB= AC, /A 90 , AE BF, BD DC。求证：FD± ED图4证明一：连结ADAB AC, BD DCZ 1 / 2 90 , / DAE / DAB/ BAC 90 , BD DCBD AD/ B / DAB / DAE在ADE和 BDF中，AE BF, /B /DAE, AD BDADE BDF3132 90FD ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线

6、是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长 ED到M,使DMk ED,连结FE, FM BMA/FE/ / BDCM图5BD DCBDM CDE , DM DEBDM CDECE BM, C CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC, BF AEAF CE BMAEF BFMFE FMDM DEFD ED说明：证明两直线垂直的方法如下：1首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见此题证2找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。3证明二直线的夹角等于 90°。3、证明一线段和的问题一在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余局部等于另一较

7、短线段。截长法例5.:如图6所示在 ABC中,B 60 , Z BAC / BCA的角平分线 AR CE相交于 Q求证：AC= AE+ CDB6 / 11O D42 3 6分析：在AC上截取AF= AE=易知AEO AFO ,56 60 ,1 60 ,23 120 。112。由 B 60 ,知23460 ,得：FOC DOC, FC DC证明：在AC上截取AF= AEBAD CAD, AO AOAEO AFO SAS4 2又 B 605 6606 607 3120123460FOC DOC (AAS)FCDC即 AC AE CD二延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，那么两较短线段成为一

8、条线段，证EAF 45 。明该线段等于较长线段。补短法 例6.:如图7所示，正方形 ABCM, F在DC上，E在BC上,求证：EF= BE+ DF分析：此题假设仿照例1,将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。BG= DR证明：延长CB至G,使BG= DF在正方形 ABCDKABG D 90 , AB ADABG ADF (SAS)AG AF,13又 EAF 4523 4521 45即 / GAE= / FAEGE EFEF BE DF不妨延长CB至G使4、中考题：如图8所示， ABC为等边三角形，延长 BC到D,延长BA到E,DE求证：EC= ED并且使 AE= BD连结CEEFBCD图8证明

9、：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又 AE= BDAE FD BFBA AF EF即 EF= ACAC/FDEAC EFDEAC DFE (SAS)EC ED题型展示:证明几何不等式:例题：如图9所示,2, AB AC。求证：BD DC证明一：延长AC到E,使AE= AB,连结DE在ADE和 ADB中,7 / 11AE AB,21, AD ADADE ADBBD DE, E BDCE BDCE EDE DC, BD DC证明二：如图10所示，在 AB上截取AF= AC,连结DFA/N1 2/ F 3 4/-二 B D C图10那么易证 ADF ADC34, DF DCBF

10、D3, 4 BBFD BBD DFBD DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】1.:如图11所示， ABC中， C 90 , D是AB上一点，D吐CD于D,交BC于E,一 一 ，、一 1 一且有 AC AD CE。求证：DE CD212 / 112.:如图12所示，在 ABC中， A 2 B, CD是/C的平分线。求证：BC= AC+ ADBC图123.:如图13所示，过ABC的顶点A,在/ A任引一射线，过 B C作此射线的垂线 BP和CQ设M为BC的中点。求证：MP= MQAQL .M CP图134.ABC 中，BAC90 , AD八

11、 ,、1 _.BC 于 D,求证：AD AB AC BC4【试题答案】1. 证明：取CD的中点F,连结AFC4 1、F3 E/ 乙"1/乜2.ADBAC ADAF CDAFC CDE 90又 14 90 ,13 9043AC CEACF CED (ASA)CF ED1八DE -CD22 .分析：此题从和图形上看好象比拟简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线 段等于两条线段之和时， 我们经常采用“截长补短的手法。"截长即将长的线段截成两局部，证明这两局部分别和两条短线段相等；“补短即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。证明：延长CA至E,使CE= CB,连结ED在CBD和 C