机器人学第二讲

1、机器人结构的基本要求机器人结构的基本要求一、机器人的自由度一、机器人的自由度v 自由度是指描述物体运动所需要的独立坐标数。自由度是指描述物体运动所需要的独立坐标数。 确定点在空间位置确定点在空间位置三个坐标。三个坐标。 确定刚体（三维物体，不是一个点）在空间位置确定刚体（三维物体，不是一个点）在空间位置六个坐标（三六个坐标（三个确定空间位置，三个确定空间姿态）。个确定空间位置，三个确定空间姿态）。 需要六个自由度才能将物体放到空间任意指定位姿（即位置和姿需要六个自由度才能将物体放到空间任意指定位姿（即位置和姿态）。态）。 少于六个自由度，机器人的能力将受到相应限制（自由度越少，少于六个自由度，

2、机器人的能力将受到相应限制（自由度越少，限制越多）。限制越多）。 1） 少于六自由度机器人少于六自由度机器人 在一定范围内完成某些任务。在一定范围内完成某些任务。 2）六自由度机器人六自由度机器人 能完成空间任意位姿的任务。能完成空间任意位姿的任务。 3）多于六自由度机器人多于六自由度机器人 更大的灵活性，用于避障等。更大的灵活性，用于避障等。 =6=6（8-9-18-9-1）+15+15=3=316(1)giidn gf v 并联机构并联机构每个分支都存在每个分支都存在1个约束个约束（6- -运动副数目运动副数目），），动平台的动平台的 约束为约束为3个约束的个约束的并集并集，运动则为三个支

3、链运，运动则为三个支链运动的动的交集交集。=6=6（14-18-114-18-1）+36+36=6=616(1)giidn gf 每个分支都不存在约束（每个分支都不存在约束（6- -运动副数目运动副数目），动平台也就），动平台也就没有约束，故能实现没有约束，故能实现6个自个自由度的运动由度的运动。SCARA机器人有机器人有4个关节，个关节，故需要故需要4个驱动，就是说有个驱动，就是说有4个自由度，其末端约束数目个自由度，其末端约束数目为为2（6- -运动副数目运动副数目）。）。 二二 、机器人的工作空间、机器人的工作空间v 操作机的工作空间操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执：机器

4、人操作机正常运行时，末端执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工作空间。作空间。 灵活工作空间灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意在总工作空间内，末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。 次工作空间次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的部总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的部分分。 灵活空间内点的灵活程度受到机器人结构的影响，通常灵活空间内点的灵活程度

5、受到机器人结构的影响，通常分作两类：分作两类：I I类类 末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间，末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为表示为 Wp1 (P) ；IIII类类 只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间，只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为表示为 Wp2 (P)。第第3 3章章 位姿描述和齐次变换位姿描述和齐次变换3.3.2 2 刚体位姿的描述刚体位姿的描述3.3 3.3 点的映射点的映射3.4 3.4 齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换3.3.5 5 运动算子运动算子3.3.6 6 变换矩阵的运算变换矩阵的运算运动学研究的问题： 各个连杆的相对

6、运动运动关系，以及机器人与操作对象之间的相对运动关系。 那么如何单个刚体的位置和姿态那？一、位置描述位置矢量（position） 坐标系建立后，任意点P在空间的位置可以用一个31的位置矢量来描述；例如，点P在A坐标系中表示为： P(,)3.2 3.2 刚体位姿的描述刚体位姿的描述xAyzpPpp rA二、方位的描述旋转矩阵（orientation）刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标系（用B表示）来表示；因此，刚体相对于坐标系A的姿态等价于B相对于A的姿态。 坐标系B相对于A的姿态表示可以用坐标系B的三个基矢量xB、yB和zB在A中的表示给出， 即AxB AyB AzB ,它是一个33矩阵，它的

7、每一列为 B的基矢量在A中的分量表示。即： ),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzy yyxyAzxyxAxxARAB111213212223313233AAAABBBBrrrRxyzrrrrrr 基矢量都是单位矢量，因此，上式又可以写成：v 称为物体相对于A的姿态矩阵。 姿态矩阵的性质：1、三个列向量两两正交。2、姿态矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。3、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即： ABR1AATBBBARRR、绕z轴旋转角 坐标系i和坐标系j的原点重合，坐标系j的坐标轴方向

8、相对于坐标系i绕z轴旋转了一个角。角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时钟为正。iiiijjjj常用的旋转变换常用的旋转变换cossin0sincos0001jijijixxyyzz cossin0( )sincos0001ZR、绕x轴旋转角的旋转变换矩阵为： iiiijjjj绕y轴旋转角的旋转变换矩阵为： iiiijjjj3、位姿的描述（pose） 定义一组四向量矩阵R， P，如图。其中，R表示B相对A的姿态，P表示B的原点相对A的位移。 我们可以将B坐标系相对A坐标系描述为：AAAOABBBOBp AABBOBRpv同一点P在不同直角坐标系表示之间的关系 一、平移 设坐标系i和

9、坐标系j具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用31矩阵iPj0表示坐标系j的原点相对坐标系i的表示，则同一向量在两个坐标系中的表示的关系为：3.3 3.3 点的映射点的映射二、旋转 设坐标系A和坐标系B的原点重合，但它俩的姿态不同。设有一向量P，它在B坐标系中的表示为BP，它在A中如何表示？ 考虑分量：即：AAAABBBBpAABBpRpAAABBxABByABBzApxppyppzpggg三、复合变换 例例：已知坐标系：已知坐标系BB的初始位置与坐标系的初始位置与坐标系AA重合，首先重合，首先 坐标系坐标系BB沿坐标系沿坐标系AA的的x x轴移动轴移动1212个单位，并沿坐个单位，并沿

10、坐 标系标系AA的的y y轴移动轴移动6 6个单位，再绕坐标系个单位，再绕坐标系AA的的z z轴旋轴旋 转转3030，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某 点在坐标系点在坐标系BB中的矢量为中的矢量为 ，求该点求该点 在坐标系在坐标系AA中的矢量。中的矢量。 kjirB095 解解：由题意：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为： 则：则： 1260ABOp cos30sin3000.8660.5 0sin30cos3000.50.866 0001001ABR 120.8660.5 0511.83060.50.86

11、6 0913.794000100AAABOBBrpR r 为何使用齐次坐标为何使用齐次坐标 在进行复合变换时，变换关系为：3.4 3.4 齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换将其写成统一的矩阵形式则有：将其写成统一的矩阵形式则有： 式中，式中， 齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换矩阵，位姿矩阵位姿矩阵 它是一个它是一个4 44 4的矩阵。的矩阵。 ABT等价于等价于若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：意义意义：左上角的：左上角的3 33 3矩阵是两个坐标系之间的矩阵是两个坐标系之间的旋转变换旋转变换矩阵，它描述了姿态关系矩阵，它描述了姿态关系；右上角的；右上角的3 31

12、1矩阵是两个矩阵是两个坐标系之间的坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系平移变换矩阵，它描述了位置关系，所，所以齐次坐标变换矩阵又称为以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵位姿矩阵。 齐次坐标变换矩阵的意义齐次坐标变换矩阵的意义0001xxxxAyyyyBzzzznoapnoapTnoap1xxxpapbPcpw 0abc 无穷远点，方向余弦无穷远点，方向余弦不唯一不唯一例例：已知坐标系：已知坐标系BB的初始位置与坐标系的初始位置与坐标系AA重合，首先重合，首先 坐标系坐标系BB沿坐标系沿坐标系AA的的x x轴移动轴移动1212个单位，并沿坐个单位，并沿坐 标系标系AA的的y y轴移动轴移动6

13、6个单位，再绕坐标系个单位，再绕坐标系AA的的z z轴旋轴旋 转转3030，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某 点在坐标系点在坐标系BB中的矢量为中的矢量为 ，求该点求该点 在坐标系在坐标系AA中的矢量。中的矢量。 kjirB095 解解：由题意：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为： 则：则： 1260ABOp cos30sin3000.8660.5 0sin30cos3000.50.866 0001001ABR 11.83013.794111010AAAABBBBOBrrrRpT 3 30010101AAA

14、AABBOxBOBBRpIpRT3 3()01AAxBOBOIpTransp0(, )01ABRRot K()(, )01AAAABBOBBORpTTranspRot K分解分解3.5 3.5 运动算子运动算子一、平移算子 21AAAPPP21()AAAPTransPP二、旋转算子 21AAPR P21(, )AAPRot KP三、一般形式 21AAPT Pv 一点在同一坐标系中运动完后，其在该坐标系下的表示一点在同一坐标系中运动完后，其在该坐标系下的表示例例3-43-4：在坐标系：在坐标系AA中，点中，点P P的运动轨迹如下：首先绕的运动轨迹如下：首先绕Z Z轴轴转转3030，再沿，再沿X X平移平移1010单位，最后沿单位，最后沿Y Y轴平移轴平移5