2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》文数(含答案)

1、2021年高考数学解答题专项练习立体几何文数1如图,直三棱柱ABC-AxBxCx中，D,E分别是AB, BB冷勺中点.(1) 证明：BCX平而扎CD;(2) 设AAf AC二CB二2, AB二2血，求三棱锥C - AXDE的体积.2如图所示，在棱长为2的正方体ACBD-ACBD中，H是线段AB上的动点.(1证明:AB/平面扎BQ(2) 若M是AB的中点，证明：平而MCG丄平面ABBA；(3) 求三棱锥M-AxBX的体积.3如图，已知三棱锥A-BPC中，AP丄PC, AC丄BC, M为AB的中点，D为PB的中点，且APUB为(1) 求证：DM/平而APC：(2) 求证：BC丄平而APC：(3)

2、若BC二4, AB二10,求三棱锥D-BCM的体积.°如图，四而体ABCD中，A ABC是正三角形，AD=CD.(1) 证明：AC丄BD；(2) 已知AACD是直角三角形，AB二BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE丄EC,求四 而体ABCE与四面体ACDE的体积比.5在四棱锥 P-ABCD 中，平而 PAC 平而 ABCD,且有 AB/DC, AB=2AC=2CD=AD.(1) 证明：BC丄PA：(2) 若PA = PC = Eac =忑,Q在线段PB上，满足PQ二2QB,求三棱锥P-ACQ的体积.26如图，四棱锥 P-ABC 中,PA丄平而 ABCD, AD/BC, AB=A

3、D=AC=3, PA=BC=4, M 为线段 AD 上一 点，AM二2MD, N为PC的中点.(1) 证明:MN/平而PAB：(2) 求四而体N-BCH的体积.如图，D为圆锥的顶点，0是圆锥底而的圆心，AABC是底而的内接正三角形，P为DO上一点.ZAPC二90° （1）证明：平面PAB丄平而PAC：（2）设DXji，圆锥的侧而积为 g 求三棱锥P-ABC的体枳.8-如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2, AB二1, PA丄平而ABCD, PA=1, E为BC的中点.（2）求三棱锥C-PDE的体积：（3）探究在PA上是否存在点G,使得EG/平而PCD,并说明理由.9如图，在三棱锥P

4、-ABC中，PA丄AB, PA丄BC, AB丄BC, PA二AB二BC二2, D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1) 求证：PA丄BD：(2) 求证：平而BDE丄平而PAC；当PA平而BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.1°如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA丄平而ABCD, PA二AB, M是PC上一点.(1) 若BH丄PC,求证：PC丄平面MBD；(2) 若M为PC的中点，且AB二2,求三棱锥M-BCD的体积.11-四棱锥P-ABCD中，侧而PAD为等边三角形且垂宜于底而ABCD, AD二2AB二2BC,ZBAD二ZABC二90° (1)

5、证明：直线BC/平面PAD;(2) 若APCD面积为2命，求四棱锥P-ABCD的体积.12如图,已知三棱柱ABC-ABG的底而是正三角形，侧而BBGC是矩形，M, N分别为BC, BC的中点，P为AM上一点.过BG和P的平而交AB于E,交AC于F.(1) 证明:AA：/MN,且平面AxAMN丄平面EBCF：(2) 设0为AbG的中心，若AXAB二6, A0/平面EBGF,且ZMPN=-,求四棱锥B - EBCF3的体积.13如图,直三棱柱AxBXx-ABC中，AC丄BC, AC=BC=1, CCx=2,点M是Ab的中点.(1) 求证:B,C/平而ACM(2) 求三棱锥Ax-AMCx的体积.14

6、如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE丄平而ABCD,(1)证明：平而AEC丄平而BED；求该三棱锥的侧而积.(2)若ZABC二120° , AE丄EC三棱锥E-ACD的体积为15如图，在平行四边形ABCM中，AB二AC二3, ZACM=90° ,以AC为折痕将折起，使点H到达点D的位置，且AB丄DA.(1) 证明：平面ACD丄平而ABC：2(2) Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，3lBPDO = DA9求三棱锥Q-ABP的体答案解析16 解：（1）证明：连结AC,交AC于点F,则F为AG中点又D是AB中点,连结DF,则BGDF因为DFu平而A«

7、;D, BC：不包含于平而A«D, 所以BG平而A：CD（2）解：因为ABC-AbG是直三棱柱，所以AAxXCD由已知AC二CB, D为AB的中点，所以CD丄AB.又AA4AB二A,于是CD丄平而ABBA由 aAfAC=CB=2, AB=2；,r2WZACB=90o , CD=、 AjX jEA"3,故扎ddeJaE,即DE丄AJ）所以三菱锥C - AxDE的体枳为:VC -D田吉X-|x低X忑X 1O 乙17解：（1）证明：因为在正方体ACBD -ACBD中，曲/佔,4Ac平面4BC，平面4妁C,:.ABH 平面（2）证明：在正方体ACBD-AXDX中，: BC = AC

8、,Af是且E中点，.-.CH丄掘.V丄平而ABC, CATu平而ABC,则丄凡.HBu平面曲%, 4% u平而-扭耳£,且九3c=A ,:.CM丄平而扭耳耳.*. CM u平面MCC,.平而MCC丄平而邸血<3）因为川R仃平而所以点点虫到平而4耳c的距离相等.1 14故= 1-BJ.C = &-ACA =yx2x2xx2= .18解：证明：因为M为曲的中点,0为羽的中点,所以仞是 ABP的中位MD/AP.又H平面MC，必u平面HPC, 所以肘Q#平面肿C.(2)证明：因为刊空为正三角形，D为PB的中点,所以丄PB. 又MD/AP,所以打丄PB.又因为EP丄PC,刖D P

9、C=P ,所以.妒丄平面PBC.因为Bg平面P8C,所以且P丄BC.又因为PC丄AC, AC(AP=A,所以BC丄平面川PC因为处丄平面PBC. MD / AP ,所以M)丄平面丹c,即仞是三棱锥M-DPC的高.因为.43 = 10,丄为卫於的中点，为正三角形，所以PB = MB = 5. MD =邑佗=巫2 2由PC丄平面*C，可得PC丄PC、所以 VD-BCM= %PC= | S*qA/D弓 X 3 X在直角三角形PCS中，由PBf BC=4.可得PC=3.5筋_5羽19解：(1)取AC的中点0,连结DO, B0.因为AD二CD,所以AC丄DO.又由于a ABC是正三角形，所以AC丄B0.

10、从而AC丄平而DOB,故AC丄BD(2)连结E0由(1)及题设知ZADC二90° ,所以D0二A0.住 RtMOB 中，BO2+AO2 = ,4B2.又 AB二BD, BO2+DO2 =BO2+AO2 =AB2 =BD2.故ZDOB二90° 由题设知“t£C为直角三角形，所以EO-AC2又MBC是正三角形，且AB二BD,所以£。=二历2故E为BD的中点，从而E到平而ABC的距离为D到平而ABC的距离的£ , 2四而体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的2 ,2即四而体ABCE与四而体ACDE的体积之比为1:1.20解：(1)证明：不妨设AB

11、= 2a,则AC = CD=DA = a由是等边三角形得，ZACD = : ABUDC、3由余弦定理得,BC2= AC2 + AB2-2 AC- AB - cos -=3a23即 EC =所以BC2+AC2 =AB:所以Z4C5=90°.即PC丄貳C又平而丹C丄平面ABCD平而EVC fl平而丸5CD =ACBCu平而 ABCD, BC丄平而 PACV PAc平而 PAC, :.BC丄刃.(2)依题意得，P4丄PCVP-ACQ = VQ-PAC = T J B-PAC 二亠欣 BC=x xL%PA PC BC = xx Xy/2x/2x2J3.3 3 23 3 2921 解：(1)由

12、已知得=取PP的中点7连接AT.TN.j由N 为FC 中点知TN/BC , tn = bc = 2.又ADHEC,故EV平行且等于/A/,四边形为平行四边形，于是MN H AT 因为上厂u平而尸/L5, MNU平而所以恵¥平而(2)因为恋丄平而.拡CD, N为FC的中点, 所以N到平面拡CQ的距离为托.取BC的中点E,连结乂E由.13 = JC = 3PA _冲XT"，得能丄BC ,=后由AM G EC得“到EC的距离为Jg ,故S/M所以四面体N-BCM的体积VN_B£M =lxS 22解：（1）连接OA.QBQC ,：D为圆锥顶点，。为底而圆心,.0D丄平而A

13、BC,. P 在 DO 上，OA = 0B = OC,:. PA = PB = PC,拡C是圆内接正三角形，.-.厦C = ZC, "AC竺丑C,:0PC = ZBPC = 9Q°,即”丄PC.PA丄PC，E4 D PB = P:. PC丄平而PABPC u平而血C，二平而PAB丄平而P4C ；（2）设圆锥的母线为儿 底而半径为尸，圆锥的侧面积为处/= J亍兀川=J亍,OD2 = l2-r2 = 2.解得尸= 1J=Q, JC=2rsin60°=V3 >在等腰直角三角形且PC中，AP=-AC = .在Rt-PA0 中，PO = jAP)-O£ =二

14、三棱锥PTC的体积为J寺O.Sg寺半xf X3 = f D23解：仃）连结AE9 TE为EC的中点,EC=CD = 19:.DCE为等腰直角三角形，则ZDEC = 45同理可得上AEB二4亍，： SED = 9Y,：DE丄兄E,又PA丄平面J5CD,且D£ u平面4SCD, PA丄DE,又 J AErxPA = A, DE 丄平面昭E，又PEu 平面/UE, /.DE丄PE.(2)由(1)知2CE为腰长为1的等腰直角三角形,= £ x 1 x 1 二2而血是三棱锥F DCE的高,2卩C-FDE = Hf-DCE ：二 2s 彌.PA = -X-X1 = -3 曲3 26在R

15、d上存在中点G,使得EG门平面PCD 理由如下:取PdFD的中点GR ,连绪EG,GH,CH . G旧是PA.PD 的中点， GH HAD GH=-AD.2又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以EC/AD,且EC二g AD,2 所以EC/GH,且EC二GH,所以四边形EGHC是平行四边形，所以EG/CH, 又EGCZ：平而PCD, CHC平而PCD,所以EG/平而PCD.24解：(I)因为只4丄川5, R4丄BC,所以丄平面且BC，又因为PDu平面貝BC,所以X4丄PD(ID因为AB=EC,。为川C中点，所以ED丄AC.由(I)知，R4丄BD ,所以PD丄平而R4C.所以平而PDE

16、丄平而PAC.(III)因为平面BDE.平面平而BDE = DE,所以E4|DE.因为。为川C的中点，所以DE=PA = 1, BD = DC = y/i由(I)知，E4丄平而ABC,所以DE丄平而刃C所以三棱锥E-BCD的体积V=bD DC DE = 6325解： 证明：连接AC,由血丄平面丛CQ, BDQ平而.必CD得PD丄丹，又ED丄AC, PAnAC = A,A BD丄平而R4C,得FC丄BD, 又PC丄RM, BDcBCB, FC丄平而MBD.（2）解：由财为PC的中点得1I 1ill%-rcd 'p-xd = xabcd '=yx7xy><- xx2 =

17、 26解：（1）在平WiABCD内，因为ZBAD = ZLABC = 90°,所以BCHAD.又PC <Z平而PADAD u平而PAD,故BCf/平面PAD.（2）取MD的中点M，连接PWCM. 由 AB = BC = ADR BCH AD,乙ABC = 90°, 得四边形ABCM为正方形，则CM丄AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底而A BCD，平而PAD平而A BCD = AD , 所以PM 1 AI PM丄底而ABCD.因为CMu底面/BCD，所以PM丄CM,设BC = x,则CM = x,CD =尽PM = TLr,PC = PD = 2x， 取CD的中

18、点N，连接PN,则7W丄CD,所以pn = x，因为WCD的而积为2命，所以丄g卫=2® 解得x = -2 （舍去），x = 2.于是 AB= BC = 2, AD = 4, PM = 2 JI所以四棱锥P - ABCD的体积K = lx尘J x2V3= 4、庁.27解:（1） -M.N分别为EC,耳G的中点,:NHBBX又 AAJ在等边MBC中，为於C中点，则PC丄卫Jf 又丁侧面肿GC为矩形，:.BC丄BB:MN±BC由 MN c AS! = M, MN： -Of u平而二SC丄平而心佔又TBGBC,且耳C<r平面且SC, PCu平而且SC,:-BQ小平而一扭c又

19、丁 BlCl u平而EB",且平而平而A£C = EF:,BCJlEF :. EFiBC又BC丄平而4旳3二EF丄平而4MVEFu平而码GF二平而EB£F丄平面AAAf<2）过作PN垂线；交点为H，画出图形，如图丁月O 平而eb.c】fAO u平而4旳的，平而Nc平面EBGF = NP r. AOHNP 又-'N0''LlP：-A0=NP=6丁。为厶的心的中心.:ON = -AC. sin 60° = -x6xsin 60°二 J33八3故：0N = AP = $ 则且M=3衣P = 3j丁平而EBCF丄平而4乩MV,平面EBCFc平而AM1N=NP, A田u平面4,4MV二"何丄平而码CfFF 4P又丁在等边MBC中篦二盏即EFb J由（1）知，四边形创:GF为梯形四边形码C百的面积为：S吐沖甘二匸二二琴乂6 = 24月为财到PN的距离人田=2侖血60。= 3，二卩=卜24x3 = 24.28解：（1）连接时C交/C与N,则N为AC的中点,又 胚为占為的中点，二MV/ 遇C ,又因为MV二平而ACM , BCU平而ACM ,耳C/平而 ACNf :（