初二数学动点问题归类复习

1、初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 .关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1: （2013年上海市虹口区中考模拟第 25题）如图1,在 RtAABC中，/ A= 90° , AB= 6, AC =8,点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点，点

2、Q为边AC 上的一动点，且/ PDQ = 90° .（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2,求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F,若 PDF为等腰三角形，求 BP的长.思路点拨1 .第（2）题BP=2分两种情况.2 .解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.3 .第（3）题探求等腰三角形 PDF时，根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形 CDQ .解答：(1)在 RtABC 中， AB = 6, AC =8,所以 BC=10.3在 RtACDE 中，CD = 5,所以 ED CD tan C 5 -4(2)如图2,过点D作DM LAB

3、, DNXAC,垂足分别为154M、4N,那么DM、DN是 ABC的两条中位线， DM = 4, DN=3.由/ PDQ = 90° , / MDN = 90° ,可得/ PDM =Z QDN .因此 PDMA QDN .所以PMQNDM 4 .所以 QN -PM , PM -QN . DN 343图2图3图4如图3,当BP=2, P在BM上时，PM = 1.,33319此时 QN3 PM3 .所以CQ CN QN 43.4444如图4,当BP=2, P在MB的延长线上时， PM=5.15 31T 7（3）如图 5,如图 2,在 Rt PDQ 中，tan QPDQDPDDN

4、DM315 一此时 qn PM .所以 CQ CN QN 444BA 3在 RtABC 中，tan CBA 3 ,所以/ QPD = Z C.CA 4由/ PDQ = 90° , / CDE=90° ,可得/ PDF = / CDQ.因此 PDFA CDQ .当 PDF是等腰三角形时， CDQ也是等腰三角形.如图 5,当 CQ = CD = 5 时，QN = CQ- CN=5-4= 1 （如图 3 所示）.44 一4 5此时 PM -QN .所以 BP BM PM 3 -.333 3如图6,当QC=QD时，由cosC CH,可得CQ - 4 卷.CQ2 5825 7所以QN

5、 = CN-CQ= 4 y :（如图2所示）.477 25此时 PM -QN .所以 BP BM PM 3 .366 6不存在 DP = DF的情况.这是因为/ DFP >Z DQP>Z DPQ （如图5,图6所示）.图5图6考点伸展：如图6,当 CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三25角形，PB = PD.在 BDP中可以直接求解 BP 256二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题4例2: (2008年河南省中考第 23题)如图1,直线y x 4和x轴、y轴的交点分别为 B、C,点3A的坐标是(-2, 0).(1)试说明 ABC是等腰三角形;(2

6、)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点 N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒 1个单位长度.当其中一个动点到达终点时， 他们都停止运动.设M运动t秒时, MON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的 t值；若不 存在请说明理由；在运动过程中，当 MON为直角三角形时，求t的值.思路点拨:1 .第(1)题说明 ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点.2 .不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示 OM边上的高都是相同的，用含有 式子表示OM要分类讨论.3 .将S= 4代入对应的函

7、数解析式，解关于 t的方程.4 .分类讨论 MON为直角三角形，不存在/ ONM =90°的可能. 解答：4(1)直线y x 4与x轴的交点为 B (3, 0)、与y轴的交点C (0, 4).3RtBOC 中，OB=3, OC = 4,所以 BC= 5.点 A 的坐标是(-2, 0),所以 BA = 5.因此BC=BA,所以 ABC是等腰三角形.(2)如图2,图3,过点N作NHLAB,垂足为H.,4在 RtABNH 中，BN = t, sin B 所以 NH5如图2,当M在AO上时,-1 -1S - OM NH -(222如图3,当M在OB上时,-1 -1S OM NH (t22OM

8、 = 2-t,此时、42 24t) t - t t555OM = t-2,此时 422) t t55.定义域为0vtW2.4t 5定义域为2vtW5.解得t12 .112布(舍去负值).因此，当点 M在线段OB上运动时，存在 S= 4的情形，此时t 2 J11.3如图 4,当/ OMN = 90 时，在 RtABNM 中，BN = t, BM 5 t , 8sB 5b 5, k 2k b 4.1 , -b 52图4在本题情景下，如果 MON的边与AC图5平行，求t的值.如图6 ,当3/5yy2x 5(2.5, . 5)258当/OMN = 90°时，N与C重合，t 5 .ONM =9

9、0°的可能.3 ,解得t5一 5 t所以5 t如图5,不存在/1x255；5 2 2所以，当25t 或者t 5时， MON为直角三角形.8ON A 。片 E；23 xB223yB4NPDOPOOFNODFNP5PO 2. 555*；5PO10D ADFC CO1" t 3t EB FFl” t 3t 忘rrr k 181611 12 - 3tL 5t CG=FC 1. 51 =12 - 3t 2363&（1题图）备用图2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点, 则DN+MN的最小值为。（2题图）（3题图）3、如图

10、，在RtABC中,ACB90°,B 60° , BC 2 .点0是AC的中点，过点。的直线l从与AC重合的位置开始，绕点。作逆时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE / AB交直线l于点E ,设直线l的旋转角为(1)当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为当 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时 AD的长为(2)当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.4、在 ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 ADMN 于 D, BE，MN 于 E.(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=A

11、D-BE ;当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明5、数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCO正方形，点E是边BC的中点. AEF 900,且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M,连接 ME则 AM=EC,易证 AME ECF ,所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的 任意一点”，其它条件不变，那么结论" AE=E

12、F'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除 C点外)的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF'仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理 由.6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点，AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设 P的运动时间为t.求(1) PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直角三角形的t值；7、如图1,在等腰梯形ABCD中，AD/BC, E是AB的中点，过点E作EF /

13、 BC交CD于点F . AB 4 BC 6, ZB 60 .求：（i）求点 E 到 BC 的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MN AB交折线ADC于点N ,连结PN ,设EP x.当点N在线段AD上时（如图2）, APMN的形状是否发生改变？若不变，求出4PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P ,使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由图1图2图3图4 （备用）图5 （备用）8、如图，已知 ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段

14、BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向 A点运动若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？E、F分别在菱形的9、如图所示，在菱形 ABCD中，AB=4, / BAD=120°, 4AEF为正三角形，点边BC. CD上滑动，且 E、F不与B.

15、C. D重合.(1)证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF;(2)当点E、F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和 CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.10、如图，在 4AOB 中，/AOB=90 °, OA=OB=6 , C 为 OB 上一点，射线 CDLOB 交 AB 于点 D, OC=2 .点P从点A出发以每秒 血个单位长度的速度沿 AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个 单位长度的速度沿 CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到达到点B时停止运动，点 Q也随 之停止.过点P作PE± O

16、A于点E, PFLOB于点F,得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等 腰直角三角形 QMN ,斜边MN /OB,且MN=QC .设运动时间为t (单位：秒).(1)求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF时t的值.S与t的函数关系式.(3)当4QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积(4)直接写出4QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t的值.1、解：(1)要使四边形 PQCD为平行四边形，则 PD=CQ, - AD=18cm ,即18-t=2t ,解得：t=6;(2)设经过ts,四边形PQCD是等腰梯形.过Q点作QEXAD ,过D点作DF, BC,二四边形PQC

17、D是等腰梯形，PQ=DC .又. AD/BC, Z B=90° , . . AB=EQ=DF . /. EQPA FDC. . FC=EP=BC-AD=21-18=3 ,又AE=BQ=21-2t , EP=t-AE , . EP=AP-AE=t- (21-2t) =3.得：t=8.经过8s,四边形PQCD是等腰梯形.2、5; 3、解：(1) 30, 1 ; 60,;(2)当=900时，四边形 EDBC是菱形.=J3 .在 Rt AOD 中，/ A=30-AC& =/ACB=90 0, . BC . CE，AB=4,AC=2"3 . . . AO= 2AD=2.BD=

18、2. BD=BC.又四边形 EDBC是平行四边形,四边形EDBC是菱形 / CAD+ / ACD=90 / BCE+ / ACD=904、解：(1). /ACD= /ACB=90，/CAD=/BCE AC=BC /.A ADC CEBD /A ADCA CEB CE=AD , CD=BE . DE=CE+CD=AD+BEAEB(2) / ADC= / CEB= / ACB=90° ACD CBE CE=AD(3)当MN旋转到图3的位置时，/ ADC= / CEB= / ACB=90°/ ACD= / CBE又 ; AC=BC,CD=BEDE=CE-CD=AD-BEDE=BE

19、-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等) / ACD= / CBE, 又 AC=BC ,AD=CE , CD=BE ,DE=CD-CE=BE-AD. .ACD ACBE, 5、解：(1)正确.证明：在AB上取一点M ,使AMAMEECF135135 .QCFAME是ECFEC外. Q连接ME .AEB分BAEBM线90BAE AMEABCF (ASQ.AEBME 45DCF 45CEF 90(2)正确.证明NE .AD II(ASA).在BNBEBA 的延BE . DAE长线NBEAAE EF .上取PCE一点 N45 . Q 四NAE边形CEFAN CE , 连接ABCD是正

20、方形， ANEAECFD6、解：解：(1)作 AE IBM 于 E。则 AE=3若 AP=AB, .-.9-t=2t=1, AB=5 ,BE=V (AB2-AE2 ) =4 MP=t, BP=9-t若PA=PB若BA=BP, . BP/(1/2AB尸AB/BP( 9-t)2=1/2*5*5 . . t=9-，5/2(9+，5磨去),|9-t|=5. .t=4、14. 综上，t=1、4、9-V5/2 14(2)若/ APB=90 . . 9-t=4 . . t=5若/ PAB=90 . . BP/BA=BA/BE . . (9-t)/5=5/4 . . t=11/4 . 综上，t=5、11/4。

21、7、解：(1)如图1,过点E作EG BC于点G£为AB的中点,1BE AB 2.2在 RtEBG 中，/B 60,./BEG 30 .1 BG BE21,EG22 12、.3.即点E到BC的距离为石(2)当点N在线段AD上运动时, PM EF, EG EF, PM PMN的形状不发生改变./ EG. EF / BC, EPGM , PMEG 百同理MNAB4.如图2,过点P作PHMN于H MN / AB,图1C /NMC ZB 6030 . PH,32 MH PM gsos30NH MN MH在 RtzXPNH 中，PN.NH2 PH2NADEHG M图2.PMN 的周长=PM PN

22、 MN J3 J7 4.当点当PMN在线段DC上运动时，4PMN的形状发生改变，但 4MNC恒为等边三角形.PN时，如图3,作 PR MN 于 R,则 MRNR.类似,MR 3此时，x2EP GM MN 2MR 3. . 4MNC 是等边三角形，MC MN 3.BC BG MC 6 1 3 2.B-D图3aMN MP 、.3.ADE(尸)GM图5当MPMN时，如图4,这日MC此时，xEP GM 6 1 、3 5当NPNM时，如图5, /NPM/ PMN 30 ./PNM /MNC MC PM gtan30 1.因此点此时，xP与F重合,EP GM则/PMN 120,又/MNC 60 PMC为直

23、角三角形.6 114.综上所述，当x 2或4或5 33时, PMN为等腰三角形.8、解：解：（1）; t 1 秒， BPCQ 31 3厘米, AB 10 厘米,点D为AB的中点,BD5厘米.又PCBCBP,BC8厘米,PC 83 5 厘米，PC BD又ABAC BPDACQPVqBPCQ又 BPD ACQPBPPC4, CQBD，点ctP ,点Q运动的时间BP3VqCQt(2)，点3秒,154厘米/秒。设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意，得15一 x43x 2 10解得80P共运动了 33 80厘米. 8028 2480经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.803秒.点P、点Q在AB边

24、上相遇,9、解：(1)证明：如图，连接 AC,二四边形 ABCD 为菱形，/ BAD =120 °, / BAE+/ EAC=60 °,/ FAC+/EAC=60° ,BAE=/FAC。/ Z BAD=120° , ./ABF=60°。 ABC 和 ACD 为等边三角形。./ ACF=60°,AC=AB。，/ABE=/AFC。.在 ABE 和 AACF 中，/ BAE= / FAC, AB=AC,/ABE=/AFC,ABEA ACF (ASA)。，BE=CF。(2)四边形AECF的面积不变， CEF的面积发生变化。理由如下：由(1)得

25、 ABEA ACF,贝U SaABE=SaACF oS 四边形 AECF=SaAEC+SaACF=SaAEC+SaABE=SaABC,是定值。作 AH，BC 于 H 点，则 BH=2 ,小边形AECF S ABCBC AH BCVAB2 BH2 473。由 垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.故 AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，X SaCEF=S四边形AECF - SaAEF,则此时 CEF的面积就会最大.SaCEF=S四边形AECF -SaAEF 4<3 1 2>/3 2 23 2<3 2 43。. CEF 的面积的最大值是 73。【考点】菱形的