沪科版八年级数学下知识点总结74183

1、 沪科版八年级数学下知识点总结 二次根式知识点： 知识点一： 二次根式的概念 （）的式子叫做二次根式。 形如注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 ，为二次根式的前提条件，如是，必须注意：因为负数没有平方根，所以 等都不是二次根式。等是二次根式，而 ， 知识点二：取值范围 时，有意义，是a01. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 时，没有意a02. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 义。 知识点三：二次根式）的非负性（ （也就是说，）表示a）是一个非负数，的算

2、术平方根，即0（）。 的0a注：因为二次根式的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，（）表示 （），所以非负数（，这个性）的算术平方根是非负数，即算术平方根是00 质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 若，则a=0,b=0。，若则a=0,b=0； 应用较多，；如若，则a=0,b=0 ）知识点四：二次根式（的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 （）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式注：二次根式的性质公式 ，. ，则，如：也可以反过来应用：若 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这

3、个数的绝对值。 注： 化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0、1，则等于 即； a的相反数-a,a本身，即是负数，则等于；若a 取何值，a的取值范围可以是任意实数，即不论一定有意义； 中的a2、 ，再根据绝对值的意义来进行化简。时，先将它化成3、化简 的异同点与 知识点六： 表示的意义是不同的，的算术平方根的平方，a表示一个正数与不同点：、1 可以是正实数，a，而而表示一个实数a中的平方的算术平方根；在中 。因而它的运算的结果是有与，都是非负数，即0，负实数。但 差别的， ，而 无意义，而2时，、相同点：当被开方数都是非负数，即；=时， . 知识点七：二次根式的性质和

4、最简二次根式）、（a0 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a 等；x+y 、）2a2、（ 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有x+y4、9、 等x2+2xy+y2 ）最终结果分母不含根号。（3 知识点八：二次根式的乘法和除法 1.积的算数平方根的性质 ab=ab（a0，b0） 2. 乘法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3.除法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 有理化根式。4. 如果两个含

5、有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化 ,也称有理化因式。根式 知识点九：二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就 把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 再将被开方数相同的可以先将二次根式化为最简二次根式，3 二次根式加减时， 进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算 1确定运算顺序 灵活运用运算定律 23正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化 分母有

6、理化有两种方法 I.分母是单项式 ab/b b=bb/ab=a/:如 II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab 如图 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 一元二次方程知识点： 2+bx+c=0ax叫一元二次方程的一般形式，研究一a0时，1. 一元二次方程的一般形式: 元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围

7、较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 22-4ac =b叫一元二次方程根的时，当ax+bx+c=0 (a0): 3. 一元二次方程根的判别式判别式.请注意以下等价命题： 有两个相等的实根；=0 有两个不等的实根；0 . 0 有两个实根（等或不等）0 无实根； 2 0，有下列公式：+bx+c=0 (a0) 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax时，如2?4acbbc?b? .?，)1xxx2)x?x?；( 221,211aa2a5. 一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） 解为： 2a

8、?x?0)?a(xa? 解为： 2b?a?x0)(x?a)?b(b 解为： 2c?b?ax0)(ax?c(cb)? 解为： 22)c(a?(ax?b)cx?(?d )dcx?b?(ax（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为20)?(ax?b?0(a,b?0)?axx?bx0 2203)?x(xx?3x?0x?9?0?(x3)(x?3)?0? 01)?5)(2x?1)?0?(3x?5(23x(2x?1)?x? 22220?3)?9?0?3)?4(24xx?12x?x?6x?94?(x 220?4)x?3)(x?5x12?0?0

9、(x?4x?12?0?x?6)(x?2)?(22x（3） 配方法 二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： PP 222?Px?q?0?(xx?q)?()?0 2233 示例：2220(?)1)?x?3x1?0(x? 22二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： bbb 22220c?(a?(?xa0)a?ax?bxc0 (?(?x)c0 ax)?g) a2a2a 22?4bacbbb 22?)c?(xa(x?)? 22a4a2a4a1111 示例： 22220?2?4x)?1?0?(x?2)x1?2x?1?0?(x? 2222 ，用配

10、方法将其变形为：）公式法：一元二次方程（420)?ax?bxc?0 (a2ac?4bb 2?)(x 2a2a4当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：204ac?b? 2?4bac?b? x?1,22ab 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 当2?x?04ac?b? 1,22a 当时，右端是负数因此，方程没有实根。20ac?b?4 备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、2ba0)a?axbx?c?0 ( c求出，并判断方程解的情况。 2ac?b4? 2?4ac?b?b代公式：（要注意符号） ?x 1,22a 2+bx+c=0 (a0) ax

11、时，有以下等价命题： 5当bc2-4ac 分析，不要求背记；=b(以下等价关系要求会用公式 ) ?x，x?x?x?2121 aab= 0且0 ? b = 0 且0； （1）两根互为相反数 ? ac=1且0 ? a = c且0； （2）两根互为倒数 ? acb0 ? c = 0且b ? = 0且0； 3（）只有一个零根? aacb= 0 ? c = 0且b=0?4）有两个零根 = 0；且 （? aac=0 ? c=0； （5）至少有一个零根 ? ac0 ? a、c异号； ?（6）两根异号 acb0? a、c异号且a、b 两根异号，（7）正根绝对值大于负根绝对值?且0异号； ? aacb0? a、

12、c且 负根绝对值大于正根绝对值）（8两根异号，?0 同号；b、a异号且? aa cb 异号且0；0 ? a、c同号， a）有两个正根（9 ? 、0，b0且? aacb0. b同号且且0 ? a、c同号，）有两个负根（10 ? a0，、0? aa时，二次三项式在实数范围内不能求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 06. 分解?22ac4?b?b?bb?4ac?22?. +bx+c=ax+bx+c=a(x-x)(x-x) 或 ax?ax?x21 ?aa22? 7求一元二次方程的公式：2 . 注意：所求出方程的系数应化为整数x= 0. x（-x+x）x + x2 112 ）：应用题的类型题之一8平

13、均增长率问题- （设增长率为x2. 第一年为 (1) a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)第三年第三年+第二年 或 第一年（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=. =总和 9分式方程的解法：两边同乘最简去分母法)0.(1验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值? 公分母凑元，设元， .?0）换元法验增根代入原方程每个分母，值（2 .换元 10. 二元二次方程组的解法：;中含有一个二元一次方程）代入消元法?方程组（1 ;）?0的方程（2）分解降次法?方程组中含有能分解为（0?0(2)?0(0(1)(2)?2)?0(1)(1?.注意：应分组为(3)?00(3(3)(4)

14、?0)?0(4)?0(4)?(3)? 11几个常见转化：112222222；?2x?x；x?)?(?xx；(x?x)?(xx)?4x2)(1x?x(?x?x)?211212221112 2xx?22?4xx(x)x?xx(?x)?(x?11?1212212122x?x?或x?(x)2?；?；?21 2xx22(x?x)?(x?x)?(x?x)?4xx?22221111x?x11， ， ， 2222221?x?4xx(x?xxxx?(?x?)?2x)?(xx) 221221112211xxxx2112 ， ，222x4xx(x|x?|?x?)?)x?(xx?xxx?xx 212121212121

15、21 222xx?4x?(xxxxx)? 等 21112221? xxxxxx222111 ?2?x?x?2和x1.分类为x? ； 2121 ?22)x?x?(?212?2.两边平方为（x?x）?4?21xx44?112?和(1)分类为xx416? ； 113xx3?(3)或?)?(?22 2x93x?22.,因为增加次数2()两边平方一般不用?22A?1,cosAA?cos?sinA且?B?90?时,由公式sinBx?x(4)如?sinA,sinB2122注意隐含条件:x?0,x?.x可推出?x?10.2121(5)x,x若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,

16、面积21等式,公式)推导出含有x,x的关系式.注意隐含条件:x?0,x?0.2112(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比，并且引入“辅助未知元k”.(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时，一 .但总可求出任何两个未知数的关系般求不出未知数的值,勾股定理知识总结： 一基础知识点： 1：勾股定理 222） 的平方。（即：a+bc、 直角三角形两直角边ab的平方和等于斜边c 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三

17、边（在中，则， 2222a?b?ac?c?b?90?CABC? ） 22b?a?c（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 222 ，那么这个三角形是直角三角形。c+ba，则有关系c、b、a如果三角形的三边长： 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； 222222，则ABC是以aC与a+b+b是否具有相等关系，若c为直角的直（2）验证c角三角形 22222

18、2，则ABCac角形）。 （定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边222cba?bca长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 222ba?cbbbccaa3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法

19、验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 1，化简可证 方法一：22S?4SS?cb?4ab(?)a? ?ABCD正方形正方形EFGH2 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积1 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22c?ab?c?2abS?4 2 所以大正方形面积为 222222b?2?S?(ab)ab?ac?a?b111 ，方法三：，化简得证2)b(a?S?(a?b)?cab2?S?2SS? ABEADE?梯形梯形222 6：勾股数为，中，

20、 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222cba?bca ，为一组勾股数正整数时，称，bca ；等记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；7,24,256,8,103,4,55,12,13 ；（用含字母的代数式表示组勾股数：为正整数）221n?1,2n,n?2,n?nn ，为正整数）（为正整数）222222,nm?n,mm?n,2mn12n?1,2?2n?nn?2n,2nnm 二、规律方法指导 1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 ba可以用于解决求解直勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，2acbc 角三角形边边关系的题目。cbcaba

21、 勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易3 犯的主要错误。 AaD22+b，勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长4. a，bc有下列关系：abcEca2否形该逆定理给出判定一个三角?，c那么这个三角形是直角三角形；是BCb 是直角三角形的判定方法 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运5.? 算，通过学习加深对“数形结合”的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 四边形知识点： 一、关系结构图： DCHEGFabBcA 二、

22、知识点讲解： ：1平行四边形的性质（重点）1）两组对边分别平行；（?DC）两组对边分别相等；2（?ABCD是平行四边形? O）两组对角分别相等；（3?（4）对角线互相平分；?AB?.）邻角互补（5? 2.平行四边形的判定（难点）： DCOAB . 矩形的性质：3. 1（;）具有平行四边形的所有通性?CCDD? 是矩形?因为ABCD;（2）四个角都是直角?O（3）对角线相等.?AABB (4)是轴对称图形，它有两条对称轴 4矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形；矩形的判定方法： (2)有三个角是直角的四边形； 对角线相等的平行四边形； (3) . 是矩形 ?四边形ABCD (4)对角线

23、相等且互相平分的四边形 D 5. 菱形的性质：1（有通性；）具有平行四边形的所?OCA? 是菱形ABCD?因为）四个边都相等；2（?（3）对角线垂直且平分对角.?B 6. 菱形的判定：D?一组邻边等?（1）平行四边形?O. ?四边形四边形是菱形ABCDCA）四个边都相等（2?边形）对角线垂直的平行四（3?B 7.正方形的性质：CDCD1有通性；）具有平行四边形的所（?O? 是正方形ABCD?角都是直角；2）四个边都相等，四个（?BABA（分对角3）对角线相等垂直且平.? 8. 正方形的判定：?一个直角一组邻边等）平行四边形?（1?. 是正方形四边形?ABCD一个直角）菱形?2（?一组邻边等（3

24、矩形）? 名定义 性质 判定 面积 称为一 S=ah(a对边平行； 定义； 平两组对两组对边分别相等的 对边相等；边长，h 边分别为这四边形； 对角相等； 行平行的条边上的高) 一组对边平行且相等邻角互补； 四边形 对角线互相平分；叫做平的四边形； 四两组对角分别相等的 行四边 是中心对称图形 边形。四边形；对角线互相平分的四 边形。形为一有三个角是直角的四有一个除具有平行四边形的性质S=ab(a 边形是矩形；外，还有：四个角都是直为另b边长，角是直矩) 一边长对角线相等的平行四角的平 角； 行四边对角线相等；边形是矩形； 形 形叫做定义。既是中心对称图形又是 矩形轴对称图形。 为S=ah(a四条边相等的四边形除具有平行四边形的性质有一组菱 邻边相外，还有 是菱形； 一边长，h为 对角线垂直的平行四等的平形 这条边上的四边形相等；高)； 对角线互相垂直，且每一行四边边形是菱形； 条对角线平分一组对角； 定义。 (b形叫做、c为两菱形。 既是中心