大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

1、一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f ( x) cos x (x sin x ),贝U 在 x0处 有()(A) f 2(B) f (0) 1 (C) f (0) 0(D) f(x)不可导.1 x设(x) ,(x) 3 3Vx,则当 x 1 时()2. 1 x.(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)(x)与(x)是等价无穷小；(C)(x)是比(x)高阶的无穷小；(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.x3.若F(x) 0(2t x)fdt，其中f在区间上(1,1)二阶可导且f (x) 0,则().(A)函数F(x)必在x。处取得极大值；(B)函数F(

2、x)必在x 0处取得极小值；(C)函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y F(x)的拐点;(D)函数F(x)在x 0处没有极值，4 设f(x)是连续函数，且 f (x)点(0, F (0)也不是曲线y F(x)的拐点1x 2 o f (t)dt ,贝U f (x)(2x(A) 2(B)、填空题(本大题有2 x 22(C) x4小题，每小题7.lim 一 (cos2 一 n n n2cos,2 n 1 、L cos )n8.2.一x arcsin x21 dx1(D) x 2.4分，共16分)2lim (13 x)sin x5. x 0.已知cosx是f(x)的一个原函数，则

3、f(x) cosxdx6. xx解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9 .设函数y y(x)由方程exy sin(xy) 1确定，求y(x)以及y(0).+1 x7求dx.10 .x(1 x )设 f (x)11.xxe ,v2x-12.设函数f(x)连续,g(x)x 0-1求 f(x)dx.0 x 131f(xt)dt1仙也 a0，且x 0 x ,A为常数.求19的解.g(x)并讨论g(x)在x 0处的连续性.y(1)13 .求微分方程xy 2y xlnx满足四、解答题(本大题10分)14 .已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0),过点(01),且曲线上任一点M(x0,y0

4、)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x x0所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15 .过坐标原点作曲线v 1nx的切线，该切线与曲线v 1nx及x轴围 成平面图形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16 .设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1,q1f (x) d x q f (x)dx00.f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017 .设函数f (x)在0，上连续，且。,0证明：在0,内至少存在两个不同的

5、点1，2 ,使f ( 1) f( 2) 0.(提xF(x) f(x)dx示：设0)一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 ,cosx、26() C 5. e . 6.2 x 7.7.2. 8.3.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导ex y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0y (x)ex y ycos(xy)ex y x cos(xy)x 0, y 0 y (0)110.解：u x7 7x6dx du1(1 u)11原式 du (7 u(1 u)7u

6、)du11.解:1-(ln |u | 2ln |u 1|) c1727.ln | x | In |1 x | C771 01>-3 f (x)dx 3xe xdx o 2x x dx03xd( e x)x xxe e0 1 (x 1)2dx002人3 cos d (令x2sin )2e3 1 412.解：由 f(0) 0,知1xtg(x) f (xt )dt0g(0) 0。xu f (u)du0x(x0)g (x)g(0)xf (x) f (u)du02xxf(u)dulim 2limx 0 xx 0x(xf(x)2x0)A2A5, 9门）在乂 0处连续。xf (x) f (u)duln

7、g (x)5dy 2.一 一 y In x13.解：dx x2dx-dxy e x ( e x In xdx C)xln x x Cx 2391 _ _1 ,1C 0 y xln x x9,39四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且y 2 0 ydx y将此方程关于x求导得2y y特征方程：r2 r其通解为y C1eC2e解出特征根:2x1,2.代入初始条件y(0)故所求曲线方程为:，(0) 12y 3eC12x五、解答题(本大题10分)15.解：(1)根据题意，先设切点为(x°,ln x°)由于切线过原点，解出x0A则平面图形面积1(ey0(2)三角形绕直线曲线y积

8、为V2ln xD绕直线六、证明题16.证明:q23,C2y Inx0，切线方程:-(x Xo) 0e,从而切线方程为:、，1)ey)dy 2e 1x= e一周所得圆锥体体积记为V1Vi,则与x轴及直线x= e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体V21(e ey)2dy0e旋转一周所得旋转体的体积V V1 V2 -(5e2 12e 3)(本大题有qf (x) d x02小题，每小题4分，共12分)1q f (x)dx0qf (x) d x q( f (x) d x01f (x)dx)q(1 q) f (x) d x01 0, q 2 q,1q(11q f(x)dxqf(q)f( 1)q(

9、1q)f( 2)1) f ( 2)0故有：qf (x) d x0f(x)dx证毕。17.F(x)f(t)dt,0证：构造辅助函数:上可导。F (x)0f(x),且 F(0)F()。其满足在0,上连续，在(0,)0 f(x)cosxdx cosxdF(x) F(x)cosx| sin x F (x)dx由题设，有 00卜0,F (x)sin xdx 0有0,由积分中值定理，存在 (0,)，使F( )sin0即F ( )0综上可知F(0) F( ) F( ) 0,(0,).在区间0,上分别应用罗尔定理，知存在i (0,)和 2(,),使 F ( i) 0及 F ( 2) 0,即 f( i) f(

10、2) 0.高等数学I解答一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中)(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 .当x %时， x , x都是无穷小，则当x 。时(d )不一定是 无穷小.(A) x x(B)(C) ln 1(x)(x)(D)1x a的值是(C). sin xlim a sin a(A) 1(B) e2(x)(x)cot a(C) etan a(D) ef(x)3.2 axsinx e 1xa0处连续，则a =(A) 1(B) 0(0 e(D)1 f(a h) f(a 2h) lim 4.设f(x)在点x a处可导，那么h 0h( A )(A)

11、 3f (a)(B) 2f (a)(C) f (a)(D)、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)ln(x a) In a1lim - (a 0)5 .极限x 0 x的值是 a .6 .由 exy y1nx cos2x 确定函数 y(x)2sin 2x yexyx .xexy In x7 .直线l过点M(1,2,3)且与两平面x 2y z 0,2x则导函数y3y 5z 6都平行，则直x 1 y 2 z 3线1的方程为丁丁丁 .2 .三、解答题（本大题有4小题，每小题18分，共32分）lim支W9 .计算极限x 0 x11ln(1 x) 1(1 x)x e exlim elim解：x 0

12、 x x 0 xV Vv10 .已知：|a| 3, 1b | 26, avb1 ln(1 x) x一 elim2x 0 x230 ,求 1a b | 0cos解：a b 5sinF(x)11.设f(x)在a, b上连续,且 xx2212v1 cos 13 a b 72x(x t)fdt x a,ba，试求出F (x)8.求函数y 2x 1n（4x）的单调递增区间为 （,0）和（1, + ）.F(x) x f (t)dt tf (t)dt解：a axxF (x) f (t)dt xf (x) xf(x) f (t)dt aaF (x) f (x)cosx .x 3-dx.12.求 sin xco

13、sx1_、2x3dx xd sin x解： sin x 21 2121c、2-cot x C 2一 xsin x - sin xdx - xsin x2 224小题，每小题8分，共32分）四、解答题（本大题有2 dx22 x x 113.求 3极大值y(1) 1,极小值y( 1)1令 y 。得 x 3 = 0, x 4 = <3 , x 5 = - V3x(- ,- v，3)(- 显,0)(0, E)(Q,+ )y一+一+原式4123-11t , t21(+)dt1 t3 T 1214.求函数dt1 t22xy -21 xarcsin tJ321_26的极值与拐点.解：函数的定义域(2(

14、1 x)(1 x)+)24x(3 x2)2 2(1 X )(1令yy (1)。得0 xX 1 = 1,X 2 = -11 = 1是极大值点,y( 1)0x 2 = -1是极小值点,33故拐点(-, 315.求由曲线y,-T),(0, 0)(V3, T)3x一.c24与y 3x x所围成的平面图形的面积.3解:王 4x(x03x x212x 4x0,6)(x3x( 3x6 44 x162)0,2 7x )dxxi20(3x6,3 2x2145 2316.设抛物线31 473y 43 3 2(2x2x上有两点A(x20,3 x )dx44)16x32.1,3)B(3, 5),在弧A B上，求一点P

15、(x,y)使ABP的面积最大.解:AB 连线方程：y 2x 1 0 AB 4V5点P到AB的距离巴口X2以13 (1x3)、5.5ABP的面积2 1x 2x 32S(x) 4 ,5 2( x 2x 3)2 .5S (x) 4x 4 当 x 1 S (x) 0S (x)4 0当x 1时鼠x)取得极大值也是最大值此时y 3所求点为(1, 3)另解：由于 ABC的底AB一定，故只要高最大而过C点的抛物线 的切线与AB平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x0, 4 x；) ,使f (xo)2xo5 3-； 22,解得 xo 1,所求 C点为(1,3)3 1六、证明题(本大题4分) 2x 一 、，17

16、 .设 x 0,试证 e (1 x) 1 x.证明：设 f(x) e2x(1 x) (1 x), x 0 f (x) e2x (1 2x) 1 f (x) 4xe2x x 0, f (x) 0,因此 f (x)在(0, + )内递减。 在(0, + )内，f (x) f (0) 0, f(x)在(0, + )内递减, 在(0, +)内，f(x) f(0)，即 e2x(1 x) (1 x) 0 亦即当 x>0 时，e2x(1 x) 1 x o 高等数学I A一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中)(本大题有4小题，每小题4分，共16分)18 . 函数l

17、n, x 1x 1f (x) tan x, 0 x 12x sin x, x 0的全体连续点的集合是()(A) (-,+ )(B) (-,1)(1,+)(C) (-,0)(0,+ )(D) (-,0)(0,1)(1,+19.lim (设x(ax b) 0,则常数a, b的值所组成的数组(a,b)为20.(A)(1,设在0 ,(A) f(0)0)(B)(0, 1)(C)(1, 1)(D)(1, -1 )(C)1上f(x)二阶可导且f (1)f(1)f (0)f(1)2 _4sin x cos xf (0)f(0)(B)(D)f (0)ff(1)f(0)f(0)f (1)f (1)f (0)21.

18、则(A)(O1 x2)M < N < PP < M < Ndx, N2/ 3(sin4 cosx)dx2 一一 3x sin x4cos x)dx填空题(本大题有(B)(D)4小题,每小题4分,1.16分). / 2x 1 d(x arctan x 1)2.f (x)dx sin x c,f(n) (x)dx3.直线方程2 my z 5n 6 P，与 xoy平面,yoz平面都平行,4.那么m，n, p的值各为.2 n ._!_i n lim-ex i 1 n解答题(本大题有lim1.计算x12 sin x3小题，每小题8分，共24分)1-2x2.f(x)设21x cos

19、-, xx3.设函数y 图形如图所示,f (刈在(给出0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f (x)连续，在x 0时二阶可导，且其导函数f (x)的f(x)的极大值点、极小值点以及曲线 y f(x)的拐点。共36分)解答题(本大题有4小题，每小题9分,1.,X 2 2 dx()求不定积分x 1 x2.3.e ln x dx 1 计算定积分ex y z 111 : 已知直线 1 23行于直线l 2的平面方程。x 112 :2y 2 z 354 ,求过直线1i且平24.过原点的抛物线y ax及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为81T ，确定抛物线方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周

20、所成的旋转体体积。五、综合题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)_2 -1 .设F(x) (x 1) f (x),其中证明存在xf(x) (t2 .0(D(12 )使得2 2nt2)sin tdt (x(2)f(x)在区间1,2上二阶可导且有f(2)。，试 F ( ) 0。0)求f(x)的最大值点;证明:f(x)3)、单项选择题B DB C.、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)5.6.f (x)dx7.m 2, p/ n 、cos(x - )dx sin(x6,n 0T) c8.1(e 1)2 .、解答题(本大题有3小题，每小题8分，共24分)19. (8分)计算极限xm0( s

21、,11、11m0(2)角单：x 0 sin x xx sin x xlim3x 0 x1 cosx2lim 2x 0 3x12 ) x一 2 sin x22x sinsin xf(x)10. (8分)设f (x).1 cos-, x0 ,试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出解:0,f (x)2x1 cos一xsinl0, f (x) 111.f'(0)则21x cosx x0 f '(0)lim故f (x)在x=0处不可导。(8分)设函数y "刈在(1 2xcos-x1)连续，在x1 sin-x0时二阶可导，且其导函数f (x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极

22、小值点以及曲线y f(x)的拐百 八、.解：极大值点：x ax d 极小值点：x b拐点(0, f(0),(c,f(c)解答题(本大题有4小题，每小题9分，共36分)12.(x 2)2(9分)求不定积分x(x 1)2dx解:原式=41n x1(x 1)21一)dx31n x 113. (9分)计算定积分1e1 |ln x| dxe11 解：原式=eIn xdxeln xdxx In xx In xex114. (9分)已知直线l1:；x 1 y 2 z 32 :254，求过直线1i且平行于直线l 2的平面方程.rrr解：ns S2(1,2,3) (2,5,4)(取直线11上一 J点 M(0,0

23、,1)7,2,1)于是所求平面方程为7x 2y (z 1)15. (9分)过原点的抛物线8102y ax(a 0)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为5.求a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.故a = 9抛物线为:y 9x2 *V绕y轴一周所成的旋转体体积：142 x 9x2dx 18 04五综合题(每小题4分，共8分)2 ,16. (4分)设F(x) (x 1) f(x),其中f(x)在区间1,2上二阶可导且有f0.证明：存在 (1V(ax2)2dx解： 0)使得F ( ) 0证明：由“刈在1 ,2上二阶可导，故F(x)在1 ,2二阶可导，因f (2)=0, 故 F

24、(1)= F (2) = 0在1 , 2上用罗尔定理，至少有一点x0,(1 x02)使F (x0) 0F (x) 2(x 1)f(x) (x 1)2f (x)得F(1) 0在1 , x。上对F (x)用罗尔定理，至少有点 (1x0 2) F ( ) 017. (4 分).解：(1) x 1为f(x)的最大值点。f (x)f (x)(2)f一、1.2.3.4.5.6.时1.解2.解3.解2 2n2 2n(x x )sin x ,当 0 x 1 , f (x) (x x )sin x 0 ；当 x 1/2、 2n(x x )sin x 0。f(1)为极大值，也为最大值。f(x)0x(t t2)si

25、n2ntdtf(1)12 2no(t t )sin tdt12 2n0(t t )t dt1(2n 2)(2 n 3)高等数学上B （07）解答填空题：（共24分，每小题4分） dy2、y sinsin( x ),则已知 1a .-2dx xdx222xcossin(x )cos x °a=1ln x dx已知xe过原点的切线方程为y ex。f '(ln x)f(x)dx =x c 0点（1,3）是曲线计算下列各题:ax,2bx的拐点。（共36分,每小题6分）cosx求y (sin x) 的导数。/ cosxlnsin x、y (e ) ecosxlnsin x,(sin x

26、ln sin x cot xcosx)sin ln xdxosin ln xdx xsinln xxsin ln x x cosln x1 ,一 (xsin ln x2x 5"2 dxx 1x coslncosln xdxsin ln xdxx) C21 d(x2 1), dx2 x2 1,5 dx x2 1x2 1 5ln | xx2f (x)4.设f (0)xim05.求极限解：lim( n1n2=121；=22,n2n2)lim( nn2)6.方程。解ln(1,n2-12.n222n 1求过点(2, 2,0)且与两直线2y y2x00平行的平面S (1,2, 1) (1, 1,

27、1) (1, 2, 3), s2(2, 1,1) (1, 1,1) (0,1, 1),平面的法向量n (1, 2, 3)(0, 1,1)(1,1, 1)xe , x 0k0处可导，则k为何值?X 1, x 0在点xk.xk 1f (0) lim lim x解：x 0 x x 0平面方程为x y z 0。三、解答下列各题：(共28分，每小题7分)x Rc0st 色1设y Rsint，求蕨。dy cott解：dxd2y11y ( cott)t1dxRsin tRsin tx2,求F(x)0t(t 1)出在1,2上的最大值和最小值。解：F (x) x(x 1) 0, x 0,x 13.1F(0) 0

28、,F(1)0 t(t 1)dt1F( 1)0 t(t 1)dt25 -,F(2) 65最大值为3 ,最小值为 620 t(t 1)dt22设 y y(x)由方程 x(1 y) 1mx2y) 0 确定，求 y(0)22解：方程x(1 y ) ln(x 2y) 0两边同时对x求导(1 y2) 2xyy 22y 0 x2 2yc 1x 0, y将2代入上式5y'(0) 8.2 ,2 一 一4.求由y x与丫 x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。解:V 01 (y y4)dy310四、证明题：(共12分，每小题6分)1.证明过双曲线xy 1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角

29、 形的面积为常数。证明：双曲线xy 1上任何一点(x,y)的切线方程为1Y y 2(X x) x1(0, y ),(2 x,0) 切线与x轴、y轴的交点为yx，')故切线与OX ,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为，1、-s x(y -) 22.设函数f(x)与g(x)在闭区间a,b上连续，证明：至少存在一点x使得bf ( ) g(x)dx g( ) f (x)dxabx证明：令 F (x)* g (x)dx f (x)dxF(a) F(b) 0,由 Rolle 定理，存在一点 a,b,使F( ) 0,即bf( ) g(x)dx g( ) f(x)dxa高等数学上解答(07)单项选择

30、题(每小题4分，共16分)1. f(x) xcosxe |sinx|( x )是力(A)奇函数;(B)周期函数；(C)有界函数；(D)单调函数2.当x(A) x30时,f (x)(1(B)cos x) ln(14x -2、 ,一一* 、,一2x )与B是同阶无穷小量。(O x5；(D) x23.直线2y yz2z00与平面x1的位置关系是C(A)直线在平面内;垂直。(B)平行;(C)垂直;o(D)相交但不r r r4.设有三非零向量a，b，c(A) 0;(B)r若a-1 ；0,(Or r r0 ,则 b c1；A。(D) 3填空题(每小题4分，共16分)1 .曲线y 1nx上一点P的切线经过原

31、点(0,0),点P的坐标为(e,1)o2.limx 0tan x x2 xx (e 1)3.y方程e4.曲线y6xy2x13 02x1 0确定隐函数yy(x),则 y (0) qx 1与X轴所围图形绕解下列各题(每小题6分,f (x) lim (已知 t2t sin x2t sin x tf (x) lim ()解：t t)t戈,求_2 sin xex轴旋转一周所得旋转体的体积为共30分)(x)。sinf (x) exsin 2x2.求不定积分ln(ln x)1 dx In x 0xln(ln x)x ln(ln x)3.计算定积分1 dx In xdx In xC1 2 sin x1x (4

32、11 xln(ln x)dxdxIn x1 2. sin x -2.x (4.1 x )dx解：11 x4)1x sint(x2 1 x2)dx 02 02sin2tcos2 tdt1 dx In x2 7x )dxo1 (x2 . 1 x2 )dx1 2 sin x ,x 4dx11 x484.求不定积分1 sin x1 cosxdx1 sin x , dx 解： 1 cosx1 2 x一 sec - dx2 2xtan - ln |1 25.已知 f (ln x)解：令lnx tf (x) ex f (1) e 1四、1一dx1 cosxd cosx1 cosxsin x ,dx1 cos

33、xcos x | C且fe 1 f (t)et,求 f(x)。f (x) ex 1一、一f (0)(8 分)设 f(x)(t任意 x有 f(x 1) 2f (x)，且解：由 f(x 1) 2f(x), f(1) 2f(0)f购x t 1f(x) flimt 012。求 f (1)。x 1f(t 1) f(1)t2 f (t) 2f (0)2f (0)五、(8分)证明：当 证明：只需证明令 f(x)t1x 1 时，(x2(x (x1)ln x x1)ln x x1)ln x (x1 o11)2/ o八、f (x)In xf(1) 0(8分)01时,f(x)在1,f(x) 0)单调递增。,2即(x

34、 1)ln x(x 1)20x 2已知 F (x)0(x为等价无穷小量lim解：x 0F (x)F(x)F (x)F lim x 0t2)f(t)dt(x)连续,且当x 0时，F (x)与x2(0) o(x2 t2)f(t)dtx0f (t)出t2f (t)dtx 22x 0 f (t)dt x2f2 一(x) x f (x)x2x 0 f (t)dt季limx2x 0x2x 0 f (t)dt2f (0)1 f (0)-2七、 (8分) ,2设有曲线y 4x(° x 1)和直线y c(°c 4)。记它们与y轴所围 图形的面积为A1,它们与直线x 1所围图形白面积为 外。问

35、c为何值 时，可使A A A2最小？并求出a的最小值。解.A A1 A2；£dyc4(1 £心22A (c) Jc 1令 A(c)& 1。，得 c 1 o1 A (1)°2 , c 1为最小值点。min A ；£dy ：(1 )dy 1八、设f (x)在(a,b)内的点x。处取得最大值，且1f (x)| K (a x b)。 证明：| f (a)| |f (b)| K(b a) 证明：f(X。)°在a，x°对f (x)应用拉格朗日定理f (x°)f (a) f( 1)(x° a)(a1 x°)f

36、(a)f ( 1)(ax°), |f(a)lK(x° a)在x°，b对f (x)应用拉格朗日定理f (b) f (x°) f ( 2)(b x°) (x°2 b)f (b) f ( 2)(b x°), |f(b)| K(b x°)一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、 x设_edx,则ex 1(A) ln(ex 1) c (B) ln(ex 1) c;(C)2ln(ex 1) x G(D) x 21n(ex 1) clim en en

37、 e n e n(A)1 (B)、. e (C)e (D)e2答()3、的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)()(式中01 x1n 1n-rx (n 1)(1 x)1 n 1(C) n-x(1 x)n 2f(x)(A)(1)n(B)( 1(n 1)(1 x)(D) ( 1)(1、n 2X)1)n 1 n-TX4、设f(x)在x 0l勺某邻域内连续，且f(0) 0,limf (x)2 ,则点x 0x 0 1 cosx(A)是f(x)的极大值点(B)是f(x)的极小值点(C)不是f(x)的驻点(D)是f(x)的驻点但不是极值点答()5、曲线y x ax 2x 4上点M 0(0,4)处的切

38、线M 0T与曲线y2 2(x 1)所围成的平面 图形的面积A214913(A)-(B)- (C)- (D) 答()49412二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题，每小题3分，共15分)I设 y 1nlp1 tan(x ),则 y 1、x2用切线法求方程xsin x e 1 当f(x)X '0 ,在x 0处连续，则aa，当 x0,其中b是实数.三、解答下列各题 (本大题4分) 2x2 5x 1 0在(1,0)内的近似根时，选X。并相应求得下 一个近似值X1 则X0, X1分别为x 1 y 13、设空间两直线12z 1与x 1 V 1 z相交于一点，则4、5、xdx证明：设平

39、面与两个向量a 3i j和b i j 4k平行，c 2i 6j k与平面垂直。四、解答下列各题（本大题8分）讨论积分1史的敛散性.0 xp五、解答下列各题（本大题11分）h的递推公式，其中n为自然数。1导出计算积分In六、解答下列各题 （本大题4分）求过Po（4,2, 3）与平面:x垂直的直线方程。七、解答下列各题（本大题6分）f计算极限lim 1 xsinx x 0 xtanx八、解答下列各题（本大题7分）11y z 10 0平行且与直线cos2x2y z10 0-e.，八 .试求In（lnx）ndx勺递推公式（n为自然数），并计算积分1e31(ln x) dx.九、解答下列各题（本大题8分

40、）设f （x）在（a,b）内可微，但无界，试证明f （x）在（a,b）内无界。十、解答下列各题（本大题5分）设 lim （x） Uo,lim f（u）f（uo）,证明：lim f （x）x x0uU0x x0f(U0)H一、解答下列各题（本大题4分）在半径为R的球内，求体积最大的内接圆柱体的高 十二、解答下列各题cos12 ,cos（本大题5分）重量为p的重物用绳索挂在 AB两个钉子上，如图 求A,B所受的拉力f1,f2。aXbOI p十三、解答下列各题(本大题6分)一质点，沿抛物线y x(10 x)运动，其横坐标随着 时间t的变化规律为x tjf(t的单位是秒，x的单位是米), 求该质点的纵

41、坐标在点 M (8, 6)处的变化速率.十四、解答下列各题(本大题7分)设曲线x jy,x 22一尸及y 。,围成一平面图形.(i)求这个平面图形的面积 (2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括 号中) (本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、C2、答：B10分3、C4、(B)5、C二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题，每小题3分，共15分)一 1、2,1、(1 ) sec (x )xx12(1 tan(x -)1、x1042、x005 分10分3、4、54-15、b220 , b22、解答下列各题 4

42、,12,210分平面法向量n 2c8分10分n与c平行从而平面与c垂直 四、解答下列各题 （本大题8分）1 dx0?p 1时, 1 dxlim - 011px(1p,)p 1 )当p1 dx1时，1 dx0 p0 x1 dx0 p三0 xlim ln x01时发散.10分五、解答下列各题（本大题11分）解：(法一)I ，Inn 1x2.x 1n 1x(n1),x2 1ndxx八、,x2 1n-nxx2 1n-x,x2n(n(n(n故1nInInInIn1)一 nx1) -nx1)In(n 1)x. x2 1(n 1)xn 1令 x tan t1 x222x(ndx-dx 1dx 11)In(n

43、1) dxn n -：-2x . xInI1In2(n 2)2,sec tdtIn1 x210分sec2 tdttann t sectd secttann 11secttann 11secttann 11sectdt tan t(n(n1)1)3.sec tn2 tan3 X sec t-dt t, n 2tan tdt(n1) ecL tann tdt2.v x 1n 1x(n1)(In 2 In)I1Inx2 1(n 1)xn 1In2.x 1n 1(n 1)xIn 2(n2)In * 1c.10分解答下列各题的法向量为n111Sil1的方向向量为所求直线方向向量为2, 1,0S nS11

44、,2,从而所求直线方程为3)x 4 y 21210分七、解答下列各题(本大题6分)xsinxcos2 2xxtanx(、11lim(2x0xsin x1 -(1 4)2八、解答下列各题 (本大题7分)x tan x5xsinx cos2x).2 _sin 2x)x tan xeIn 1 (lnx)ndxe1xln n x ： n 1 (ln x)n dxe nIn 1e于是 1n e ne n(n 1)e( 1)nn! dxe ne n(n 1)e(1)n 1n(n 1) 2e ( 1)nn!(e 1)e所以(ln x) dx e 3e 6e 6(e 1)6 2e九、解答下列各题(本大题8分)证明：反证设f (x)在(a,b)内有界，即M0则x (a,b)有 f (x) M取x0 (a,b)则对 x (a,b),x x0在以与x为端点的区间上f(x) 满足拉格朗日中值定理 的条件，则至少存在 介于x。与x之间，使 f (x) f (x0) f ( )(x x0)3分7分10分4分7分10分2分5分