学大精品讲义六上数学(含答案)第十讲周期问题

1、第十讲周期问题2课程目标1. 找几何图形的排列规律，通过排列规律，准确说出接下来的图形的排列情况。2. 找简单数列的排列周期，通过图形的规律，类推出数列的周期问题的解决方 法。3. 熟悉年、月、日的循环规律，能够通过周期，推算出事情将要发生的时间。4. 通过简单的计算，掌握一些特殊结果的周期性，运用周期规律简化计算。课程重点找几何图形的排列规律，找简单数列的排列周期，熟悉年、月、日的循环规律，通过简单的计算，掌握一些特殊结果的周期性。课程难点通过排列规律，准确说出接下来的图形的排列情况，通过图形的规律，类推出 数列的周期问题的解决方法，能够通过周期，推算出事情将要发生的时间，运 用周期规律简化

2、计算教学方法建议通过观察法、讨论法等让学生发现规律，并解决问题。一、知识梳理世间万物，千奇百怪；运动变化，千姿百态。可这貌似 “杂乱无章 ”的世界却受到各 式各样的规律支配着。在这些规律中，有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象 中提炼出来的规律。如果某一事物的变化具有周期性，那么，该事物在经历一段变化后，又会呈现原俩 的状态。我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。例如，在自然数列中，各位 数字变化的周期是 10；星期日出现的周期是 7（天）；用动物记年的走器是 12（年） 等 等。在数学中，我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。二、方法归纳一般解答思路：（1） 判断是否是周期

3、现象（几个重复一次周期就是几）；2）用除法算式来表示周期现象：总数 周期组数余数；整周期部分非整周期部分无余数：本组的最后一个；有余数：下一组的第余数个。（3）根据除法算式想象排列图；（4）根据要求求解。三、课堂精讲（一）、图形中的周期问题例 1. 两个小朋友比赛智力，一位小朋友画出了一组图形（排列如下），根据排列的规律。 请算出第 60 个图形是（ ），第 121 个图形是（ ）。【规律方法】每 3 个图形为一组，称为一个周期。没有余数，说明组合里刚好有完整的周 期数。搭配课堂训练题】难度分级】 A1. 如图所示，黑珠、白珠共 l26 个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是 颜 色的，这种颜

4、色的珠子共有 个2. 如图，算出第 20 个图形是什么？ 290 精英课程3. 观察图中图形的规律，第 200 个图形应该是下面 A、B、C、D 四个图形中的哪一个？例 2如图，将下面的每一列上、下两个字组成一组, 例如第一组为 （我奥 ）,第二组为 （最数 ）,那么第 235 组为什么数呢 ?我最棒我最棒我最棒奥数好玩奥数好玩奥【规律方法】 如果从表格上找规律，该题的周期是 3、4 的最小公倍数为 12，且列出一个 周期的项，比较繁。我们可以分行找规律，求出该行第 235 组是什么，在将它们组合。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A4. 下表中每列上下两个汉字和字母组成一组，例如，第一组是（我

5、A ），第二组是（们B），我们爱数学我们爱数学我ABCDABCDABC（1）第 82 组是什么？（2）如果（爱 C）代表 1978 年，（数 D）代表 1979 年， 那么， 2000 年将对应哪一组？5. 如图，将下面的每一列上、中、下三个字组成一组,例如第一组为 （学看广 ）,第二组为 （好亚州）,请问第 289 组为什么呢 ?学好数学学好数学学看亚运看亚运看亚运广州亚运会广州亚运200 的时候，正好数到哪根例 3如图，伸出左手，然后从大拇指开始数数。当数到手指？搭配课堂训练题】难度分级】 B6. （ 2015 年学而思）将非零自然数 1、2、 3 2015 按照一定规律排成数表如下图：A

6、 列B 列C 列D 列第 1 行123第 2 行654第 3 行789第 4 行121110第 5 行1314151）2015 排在第几行第几列？请计算说明2）B 列的前 40 个数字之和是多少？7. 有 a、b、c、 d 四条直线（如图），从直线 a 上开始，按箭头方向从 1 开始依次在 a、b、c、d 上写自然数 1，2，3，4， 5，6，1） 106 在哪条线上？2） 直线 a 上第 56 个数是多少？（二）、日期中的周期问题例 42013 年的 6 月 1 号是星期五，再过 80 天是星期几呢？那么明年的 6 月 1 是星期几 呢？那么 2014 年的 6 月 1 是星期几呢？【规律方

7、法】 由于每个星期有 7 天，以今年的 6 月 1 日为周期的第 1 天，周期是星期五、 星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四，根据周期问题的规律有：【搭配课堂训练题】【难度分级】 A8. 如果今天是星期五，那么再过 80 天是星期几呢？9. 甲问乙：今天是星期五，再过 30 天是星期几？乙问甲：假如 16 日是星期一，这个月的 31 日是星期几？2011 年的 10 月 1 日是星期六，那么这个月的 28 日是星期几？（三）数字中的周期问题1例 5 将 化成小数后，（ 1 ）小数点后第 200 个数是几？（ 2）小数点后 300 位的数字和7是多少？11【规律方法】 因为 =0.1

8、42857142857 ， 是一个无限循环小数 142857 循环，周期是 6。77搭配课堂训练题】【难度分级】 B110. 把 1 化成小数后，小数点后面 100 位数字之和是多少？ 81例 6 722016 的尾数是多少？【规律方法】 像这种从有限到无限的研究，其思路肯定是先通过有限找出规律与周期，然 后再进行最终处理。搭配课堂训练题】 难度分级】 B111993个 3求3123. 71998 表示 1998 个 7 连乘，它的结果末位上的数字是几？33 的个位数字为多少 ?并说明理由。例 7有一列数如下： 4、5、9、14、23问这列数的第 1999 个数除以 3，余数是几？【规律方法】

9、 看看数列除以 3 的余数是多少，找规律。余数分别是1，2，0，2， 2，1， 0，1，1，2，0，2，2，1，0，1 发现数列余数的周期是（ 1，2，0，2，2，1，0，1）。【搭配课堂训练题】【难度分级】 B13.有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55， 从第三个数开始，每个数都是它前 面两个数之和，那么前 1000 个数中，有（ ）奇数。四、讲练结合题1. 有同样大小的红珠、白珠、黑株共有 160 个？按 4 个红株， 3 个白株， 2 个黑株的顺 序排列着。黑株共有几个？第 101 个株子是什么颜色？2. 国庆节，路旁挂起一排彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿

10、灯个一盏，那么， 第 80 盏灯应是什么颜色的？3. 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动物按顺序轮 流代表各年号。如果 1940 年是龙年，那么， 1996 年是什么年？1 ?4. （2016 年学而思）2011 6 0.00049603174 这个循环小数点后第 2016 位的数字是（ ）。35. 2 用循环小数表示，小数点后第 2012 位上的数字是（ ）。76. 12415 表示 15 个 124 连乘，所得积的末位数字是几？7. （2015 年天河省实） 2000 名学生排成一排，按 1，2，3，4，5，6， 7，6，5，4，3，2，1，1，2，3，

11、4，5，6，7，6，5，4，3，2，1，循环报数，则第 2000 名学生所报的数 是。8. （2016 学而思）我国农历纪年方法是干支纪年法，十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚、辛、壬、癸，十二地支为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。从天 干的第一个字 “甲”与地支的第一个字 “子 ”开始配对，依次为：甲子、乙丑、丙 寅、 ，天干或地支取完了就从头再取，直到 “癸亥 ”，为一周期。 苏轼曾写下一篇赤壁赋，是中国文学史上的名著，开篇两句是这样的： “壬戌之秋，七 月既望。 ”已知苏轼生于 1037 年，卒于 1103，而且今年（ 2016 年）是农历丙申年。根据上 述条件，请你

12、推算一下赤壁赋写于哪一年。9. （2016 学而思） 2015 年的元旦是星期四，那么 2015 年的 5 月 1 日是星期（）。五课后自测练习1. （2014 天河省实）有一列图形： ，根据规律，第 71 个图 形是 。2. （2013 年广大附中）节日的大街上挂起一串串彩灯，从第一盏开始，按照5 盏红灯， 4盏黄灯，三盏绿灯， 2 盏蓝灯重复拍下去，请问：第 2013 盏灯是颜色3. （ 2017 玉岩天健） 观 察图形 的排列情况，第 2017 个 图形是（ ）。2016 个数字154. （2016 年希望杯初试）将 化成小数，小数部分从左到右第375. （2015 年广大附中）一串数

13、: 1，9, 9,1,4,1,4,1，9,1,9,4,1,4,1,9,9,1，4,4，共有 2008 个数 .1） 这串数中有多少个 1,多少个 9,多少个 4?2） 这些数的总和是多少 ?6. （2015 年广雅） 2014 年 5 月 17 日（星期六）是面试日期，则这天以后的第2014 5 17 天是星期（ ）。7. 甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取牛奶是星期一，那 么甲第 100 次取牛奶是星期几？8. 把 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上 1 到 16 号。现在有一个人从第一号椅子顺时针 前进 213 把椅子，再逆时针前进 285 把椅子，又顺时针前进 2

14、13 把椅子，再逆时针前进285 把椅子，又顺时针前进 12 把椅子，这时他到了第几号椅子？9. 自然数如下表的规则排列，求：（1） 上起第 10 行左起第 13 列的数（ 2） 数 127 应排在上起第几行左起第几列？18第十讲 周期问题【答案】 例 1 根据题意，小朋友所画一组图形是 3 个图形的循环，第三个是三角形，第六个也是三 角形，所以所有排列是 3 的倍数的图形都是三角形，比三的倍数多 1 的是正方形，比三的 倍数多 2 的是圆形。题中 60 是 3 的倍数，所以第 60 个图形是三角形；121 是 3 的倍数（ 120）多 1 ，所以第 121 个图形是正方形。【搭配课堂训练题】

15、1. 因为这串珠总共有 126 个，（ 126-1 ） 4=311，则最后一个珠子为白颜色白颜色的 珠子共有 31+1=32 个故这串珠子中最后一个珠子是白颜色的，共有 32 个2.20 6=32 。 故第 20 个图形是。3. 根据观察及其分析 :一白两黑 ,3 个一个周期 , 200 3 60 个 2 个 所以第 200 个是黑色的 ;200 10=20 因此，本题正确答案是 :A.例 2 2353 78 1（我）2354 58 3 （好） 答：所以第 235 组是（我好）【搭配课堂训练题】4. “我、们、爱、数、学”是 5 个一组进行循环， 825=162所以第 82 组对应的字是们；“

16、A、 B、C、D”是 4 个一组进行循环的，824=202所以第 82 组对应的字母是 B；答：第 82 组是（们 B）.（2） 如果（爱 C）代表 1978 年，那么（我 A）就代表 1976 年；2006 1976+1=31315=6 1所以 2006 年对应的字是我；314=7 3所以 2006 年对应的字母是 C ；答： 2006 年将对应 （ 我 C）5. “学、好、数、学”是 4 个一组进行循环，2894=721所以第 289 组对应的字是学；“看、亚、运”是 3 个一组进行循环的，2893=961所以第 289 组对应的字母是看；“广、州、亚、运、会”是 5 个一组进行循环，28

17、95=574所以第 289 组对应的字是运；答：第 289 组是（学看运）例 3能够整除 , 故数到 25 个周期结束的时候恰好到了 200, 所以数到 200 正好到了食指上 .答: 当数到 200 的时候 , 正好数到食指上 .【搭配课堂训练题】 6.1 2015 3 671 1所以 2015 在第 671 1 672行 该行为偶数列，从右往左数第2列，即 C 列。2 B列的前 40 个数：2、6、8、12、14 6、120分成两组求和：6 12 18 120 12602 8 141260 118016 118022407.106 4=262答：106 在第二条直线 b 上 4（561）+

18、1=221答：直线 a 上第 56 个数是 221 故答案为： 直线 b ； 221例 4 （801） 7 11 4所以再过 80 天是星期一。（365 1）7 52 2 所以明年的 6 月 1 日是星期六。（ 365366 365 3651） 7 208 6 所以 2014 的 6 月 1 日是星期三。搭配课堂训练题】 8. 再过 80 天是星期几，则， 807113，余 3 天，就是从星期五往后数 3 天，即是星 期一.9. 30 7=42，今天是星期五，再过30 天是星期天， （31- 16）7=21，这个月的31 号是星期二， （28- 1） 7=3 6，所以这个月的 28 号是星期五

19、 .故答案为： 星期天；星期二；星期五例 5 （ 1） 200 6 33 2所以 1 化成小数点后第 200 个数是 4；7（ 2）3006 50（ 14285 7）50 1350所以小数点后 300 位数字的和是 1350 。【搭配课堂训练题】10. 循环节是 012345679,9 位0+1+2+3+4+5+6+7+9=37100 9=11 余1 所以有 11 个循环节， 在加上第一位的 0 所以是 1137+0=407例 6 21 末尾数 =222 末尾数 =423末 尾数=824末 尾数=625末 尾数=226末 尾数=4所以每四次一循环20164=504所以末尾数应为 6【搭配课堂训

20、练题】11. 因为 3 ，33=9，333=27，3333=81，33333=243，积的个位数是 3 、9、7、1 的循环，又因为 19934=4981，所以 33333（ 1993 个 3）的个位数是 3.12. 可以先看一下 7 相乘得到的积的末位上的数字的变化规律，7，77 49，777343，7777 2401，7777716807可以看出末位数字的变化呈现出7 、9、3、 1 这样的变化规律， 1998 里面包含数字的组数是 1 99844992，所以末尾的 数字是 9.例 7 1999 8 249 7答：这个数列第 1999 个数除以 3 的余数是 0 ，既能被 3 整除。 【搭

21、配课堂训练题】13. 这个数列是按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环重复排列的; 每一组循环中有 2 个奇数和 1 个偶数 ;1000 3 3331, 余数是 1, 余下的这个数是奇数 ;所以奇数有 :333 2 1 667 个答:共有 667 个奇数.四、讲练结合题1.由题意可知，一组珠中含有 4 个红珠、3 个白珠、2 个黑珠，每 9 个珠循环一次 . 1609177黑珠的个数为： 172 34（ 个）1019=11 2，可以知道第 101 个珠子是红颜色的 . 答：黑珠共有 34 个，第 101 个珠子是红颜色的 .2. 80 4 20（ 组 ）. 所以第 80 盏灯是绿色 .3. 199

22、6 -1940 56 年56 12 4 8余数是 8, 龙年再过 8 年是鼠年 .答:1996 年是鼠年 .4.65. 2 3用循环小数表示是 2.4. 28571. ,循环节是六位数 ;72012 6 335 2 ；那么小数点后第 2012 位上的数字是循环节的第二位上的数字 ,也 就是 2。6. 由 444 64，可得每 3 个个位上是 4 的数相乘，个位上还是 4；所以把 12415 中 15 个 因数分成每 3 个一组，共 5 组，每组都是 3 个124 相乘，而 3 个124 相乘的积的个位上还 是 4，那么三组数相乘的积的个位上还是 4 ，用这个结果再与剩下的另外两组积相乘，得出 最后积的个位上仍是 4.答：积的末位数字是 47. 提示 1 ：观察学生所报数的特点，知道按 1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1、循 环报数，即每 13 个数为一个循环，所以 2000 除以 13 ，看余数对应的循环数中的几就是该 名学生所报的数提示 2 ：关键是找出循环数，再找出余数对应的是循环数中的几解：200013=15311，因为，在 1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1 这组循环数中，第 11 个数是 3， 答：第 2