131柱体椎体台体的表面积与体积优秀课件精编版

1、导入新课导入新课在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？正方体和长方体是由平面图形围成的多面正方体和长方体是由平面图形围成的多面体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。是展开图的面积。534表面积为：表面积为：434+452=88求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积 。1.3.1柱体、锥体、台体的柱体、锥体、台体的表面积与体积表面积与体积棱柱的展开图棱柱的展

2、开图正六棱柱的侧面展开图是什么？正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？如何计算它的表面积？ah正棱柱正棱柱的侧面展开图的侧面展开图棱锥的展开图是三角形棱锥的展开图是三角形 。同理，棱台的展开图呢？同理，棱台的展开图呢？棱台的展开图是梯形棱台的展开图是梯形 。棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的 表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。例一例一已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四，各面均为等边三角形的四面体面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 。分析：分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。四面体的展开图

3、是由四个全等的正三角形组成。S解：解：先求先求SBC的面积，过的面积，过S作作SDBC，交，交BC于点于点D。?3A因为因为BC=a，SD?SB?sin60 ?a211332BDCSABC? BC?SD? a?a?a所以：所以：2224322因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积：的表面积：S ? 4?a ?3a4圆柱的表面积圆柱的表面积rO?O2?r圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的表面积圆柱的表面积rO?O2?r圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形S圆圆柱柱表表面面积积? 2?r ? 2?rl? 2?r(r? l)2圆锥的表面积圆锥的表面积2?rlrO圆锥的侧

4、面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的表面积圆锥的表面积2?rlrO圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形S圆圆锥锥表表面面积积?r ?rl?r(r? l)2圆台的表面积圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?2?r2?rrOlrO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环圆台的表面积圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象

5、圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?2?r2?rrOlrO22圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环S圆圆台台表表面面积积?(r? ? r ? r? l ? rl)例二例二一个圆台形花盆盆口直径一个圆台形花盆盆口直径 20 cm，盆底直径，盆底直径为为15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为 1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（2 取取3.14，结果精确到，结果精确到1 cm ）？）？解：解：由圆台的表面积公式得由圆台的表面积公式得20cm花盆的表面积：花盆的表面积：?15?15?201.5?S

6、? ?15 ?15? ?22? 2 ? 2 ?2215cm15cm? 999(cm )2答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是 999 cm2探究探究圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？么关系？rO?lrrr上底扩大上底扩大O?lr0上底缩小上底缩小lOOS锥锥? r(r ? l)22S ? 2r(r ? l)S台台? ( r? ? r ? r?l ? rl)rOr2.柱体、椎体、台体的体积柱体、椎体、台体的体积我们已经学习了特殊的棱柱 正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：V?Sh（S为底面面积，h为高）一般柱体体积

7、也是：V ? Sh一般柱体一般柱体其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高。为棱柱的高。思考思考3:3:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理：（1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等；（2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和；（3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等；（4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做 等积体等积体. .将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱

8、锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？3 32 21 11 13 32 2圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：1V ?Sh（其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高）31圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的3棱锥的体积公式：棱锥的体积公式：1V ?Sh（其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高）31棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的3思考思考4:4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？高高h h1V ?Sh31它是同底同高的柱体的体积的它是同底同高的柱体的体积的3底面积底面

9、积S S13。由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等1于底面面积乘高的。3V ? Sh1V ?Sh3探究探究如何求台体的体积？如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此用两个锥体的体积差。得到圆台 (棱台)的体积公式:p p上底面上底面积积S S高高h hV ? VP?ABCD? VP?A?B?C?D?1?(S?S?S?S)h3D DA AB B其中其中S，S分别为上、下底面分别为上、下底面面积，面积，h为圆台（棱台）的高。为圆台（棱台）的高。C C下底面下底面积积S S柱体、锥体与台体的体积V柱体? Sh( S是底面积, h

10、是高)V锥体1?Sh( S是底面积, h是高)31V台体?(S?SS ? S)h3(S,S分别是上下底面面积 ,h是台体高)思考:你能发现三者之间的关系吗？圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？么关系？上底扩大上底缩小S? SV ?1(S?S?S ? S)hS? 0V ? Sh31V ?Sh3思考思考6:6:在台体的体积公式中，若在台体的体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？1V ?(S?S? S? S)h3S=SS=SS=0S=01V ?Sh3V ? Sh例三例三有一堆规格相同的铁制（铁的密是有一

11、堆规格相同的铁制（铁的密是7.8g/cm）六）六角螺帽共重角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺，问这堆螺帽大约有多少个（帽大约有多少个（取取3.14）？）？3解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，积之差，即:31022V ?12 ?6?10? 3.14?() ?104233? 2956(mm ) ? 2.956(cm )所以螺帽的个数为（个）答：这堆螺帽大约有 252 个讲授新课1、球的概念、球的概念与定点的距离小于或等于定长的点的集合，与

12、定点的距离小于或等于定长的点的集合，叫做叫做球体球体，简称，简称球球定点叫做球的定点叫做球的球心球心定长叫做球的定长叫做球的半径半径与定点的距离等于定长与定点的距离等于定长的点的集合，叫做的点的集合，叫做球面球面直径直径O O半径半径球心球心2、 球的表面积球的表面积o定理：半径为定理：半径为R的球的表面积是的球的表面积是S? 4?R思考：思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？表面积有什么关系？2球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等于球的大圆面积的 4 4倍倍3、 球的体积球的体积43定理：半径为定理：半径为R的球的体积是的球的体积

13、是V ?R3例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.证明: (1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.得:ROS球球? 4?R2S圆柱侧圆柱侧? 2?R?2R ? 4?R2? S球球? S圆柱侧圆柱侧222QS?4 R2 R6 R圆柱全圆柱全(2)S球球?4?R2?S球球2?S圆柱全圆柱全3理论迁移理论迁移如图，圆柱的底面直径与高都等于如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：球的直径，求证：2（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的3；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）

14、球的表面积等于圆柱的侧面积. .课堂练习课堂练习练习二练习二2倍倍.1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 _4倍倍.1:2 2.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为 1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_31 :4.4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_例例3.3.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积和表面积求它的体积和表面积. .434531253解:V?R ? ( ) ?(cm )33265222S?4?R ?4?( ) ?

15、25?(cm)212532答:钢球的体积为?cm,面积为25?cm.6(变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g, 外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.( 钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )“内径内径”是指内壁的直径，是指内壁的直径，“外径外径”是指外壁直径。是指外壁直径。解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是453437.9 ?()?x ?? 3x? ()? 11 .327.9 ? 4?3x ? 2.242x ? 4.5答答:空心钢球的内径约为空心

16、钢球的内径约为4.5cm.( (变式变式2)2) 把把直径为直径为5cm钢球放入一个正方体的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中有盖纸盒中, , 至少要用多少纸至少要用多少纸? ?分析：用料最省时分析：用料最省时, , 球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系 ? ?球内切于正方体球内切于正方体解：当球内切于正方体时解：当球内切于正方体时用料最省时用料最省时此时棱长直径此时棱长直径5cm? S全? 6?5 ?150cm2答：至少要用纸答：至少要用纸150cm22两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切的各面相切.例4.如图，正方

17、体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。Q解：解： 正方体内接于球正方体内接于球?球的直径等于正方体的体球的直径等于正方体的体对角线长对角线长ADD?(2R)?3a?R?222232a43332BOC?S?4?R?3?a且V? R?a31A1C1B1两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都一个几何体的所有顶点都 在另一在另一个几何体的表面上。个几何体的表面上。(变式变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表

18、面积和体积。求此球体的表面积和体积。3分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体体对角线与球的直径相等。Q解： 长方体内接于球长方体内接于球?球的直径等于长方体的球的直径等于长方体的体对角线长体对角线长?(2R)?3?2?( 3)?16?R?2? S ?4?R?16?且V ?R ?32?324332222例题讲解例题讲解例已知过球面上三点例已知过球面上三点 A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面

19、截面O的半径为的半径为r，OAO?R? O? O ?,?ABC是正三角形，是正三角形，2CB232 3O?A ?AB ? r323例题讲解例题讲解例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积解：在解：在Rt?OO? A中中,? OA ? O? O ? O? A ,?R22224? R?.3R2232?()?(),23OAO?44432563V ?R?()?;33381C1664S ? 4?R? 4?.992B课堂练习课堂练习练习一练习一8.1.球的直径

20、伸长为原来的球的直径伸长为原来的 2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上 ,它的棱长是它的棱长是4cm,332 3?这个球的体积为这个球的体积为 cm . 3. .有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面 ,一球切于正方体一球切于正方体的各侧棱的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点 ,求这三个球的体积求这三个球的体积之比之比_.1:2 2:3 3探究：若正方体的棱长为探究：若正方体的棱长为a，则：，则：正方体的内切球的直径正方体的内切球的直径=a与正方体所有侧棱相切的球的直径与正方体所有侧棱相切的球的直径=

21、 =正方体的外接球的直径正方体的外接球的直径=2 a3a课堂练习课堂练习练习二练习二5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为则它的外接球的表面积为_9?.，3,5,156.若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为 12 ,则两球的直径之差为_4.7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么3这个大铅球的表面积是_.12 3?例例5、如图是一个奖杯的三视图、如图是一个奖杯的三视图,单位是单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到精确到0.01cm)z/61581861111/y15/x解：解：这个奖杯的体积为这个奖杯的体积为V=V正四

22、棱台正四棱台+V长方体长方体+ V球球其中其中 V正四棱台正四棱台122?5? (15 ?15?11+11 ) ? 851.6673V长方体长方体=64818=8643V球球=?3?113.0973所以这个奖杯的体积为V 1828.76（cm3）课堂小结课堂小结?了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；?熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练

23、掌握球的体积、表面积公式：43V?R32S? 4?R课堂小结课堂小结柱体、椎体、台体的表面积：柱体、椎体、台体的表面积：rO?lOrrr上底扩大上底扩大O?lr0上底缩小上底缩小lr2O2rOS柱柱? 2r(? l)S台台? ( r? ? r ? r?l ? rl)S锥锥? r(r? l)高考链接高考链接1.（2009 山东）一空间几何体山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（体的体积为（ C C ）222A.A.2?2 3B.B.4?2 3正(主)视图22侧(左)视图2 3D.D.4?2 3C.C.2?33俯视图【解析】【解析】: :该空间几何体为一

24、圆柱和一四棱该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为锥组成的，圆柱的底面半径为 1,1,高为高为2,2,体积体积为为2?, ,四棱锥的底面边长为四棱锥的底面边长为2，高为，高为31所以体积为：所以体积为：?3?2?223?3 ?32 32?所以该几何体的体积为：所以该几何体的体积为：32.（2009 辽宁）设某几何体的三视图（单位辽宁）设某几何体的三视图（单位 :cm）如图所示，（尺寸的长度单位为如图所示，（尺寸的长度单位为 m）.则该几何体则该几何体的体积为的体积为_。34 m正视图正视图3 3侧视图侧视图俯视图俯视图【解析】【解析】由三视图知其为三棱锥，由由三视图知其为三棱锥，由“主左主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽一样高，主俯一样长，俯左一样宽”可知高可知高为为2 2，底面三角形的底面边长为，底面三角形的底面边长为 4 4，高为，高为3 3，则，则所求棱锥体积为：所求棱锥体积为：11V ? ? ? ? ?32课堂练习课堂练习1. 圆柱的一个底面积为圆柱的一个底面积为 S