201x高考数学大一轮复习 9.2两直线的位置关系 理 苏教版

1、两直线的位置关系数学数学 苏（理）苏（理）第九章 平面解析几何 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型分类题型分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 练出高分练出高分1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2 .()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.k1k2两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2 .()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.k1k21(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2

2、xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2 .(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d .(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d .知识拓展1.一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化

3、直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.u 思考辨析思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()题号答案解析1234 7xy10或xy301解析解析例例1已知两条直线l1：axby40和l2

4、：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；思维点拨解析思维升华题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直线的平行与垂直例例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直线的平行与垂直本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.思维点拨解析思维升华例例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直

5、线的平行与垂直解解方法一由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.此种情况不存在，k20.思维点拨解析思维升华例例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直线的平行与垂直又l1过点(3，1)，3ab40. 由联立，解得a2，b2.方法二l1l2，a(a1)(b)10.即ba2a. 又l1过点(3，1).思维点拨解析思维升华例例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.

6、(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直线的平行与垂直3ab40.经验证，符合题意.故a2，b2.思维点拨解析思维升华例例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直线的平行与垂直(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.思维点拨解析思维升华例例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l

7、1l2，且l1过点(3，1)；题型一两条直线的平行与垂直题型一两条直线的平行与垂直(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维点拨解析思维升华例例1(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华例例1(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.例例1(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解解l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，思维点拨解析思维升华例例1(2)l1l2，

8、且坐标原点到这两条直线的距离相等.思维点拨解析思维升华例例1(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.思维点拨解析思维升华例例1(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维点拨解析思维升华跟踪训练跟踪训练1已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；解解方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0

9、，显然l1不平行于l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.(2)l1l2.解解因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.思维点拨解析思维升华题型二两直线相交题型二两直线相交例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交可先求出l1与l2的交点，再用点

10、斜式；也可利用直线系方程求解.思维点拨解析思维升华例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交得l1，l2的交点坐标为(1,2)，于是由直线的点斜式方程求出l：思维点拨解析思维升华例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交方法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.方法三由于l过l1，l2的交点，故l是

11、直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.思维点拨解析思维升华例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交代入直线系方程得l的方程为5x3y10.思维点拨解析思维升华例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)常见的三大直线系方程思维点拨解析思维升华例例

12、2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR).思维点拨解析思维升华例例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程.题型二两直线相交题型二两直线相交过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.思维点拨解析思维升华跟踪训练跟踪训练2如图，设

13、一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.解解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，跟踪训练跟踪训练2如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.(1)(1)(2)120.例例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.思维点拨解析思维升华题型三距离公式的应用题型三距离公式的应用例例3正方形

14、的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.题型三距离公式的应用题型三距离公式的应用中心C到各边的距离相等.思维点拨解析思维升华例例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.题型三距离公式的应用题型三距离公式的应用设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，解得m5(舍去)或m7，思维点拨解析思维升华例例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.题型三距离公式的应用题型三距离公式的应用所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与

15、x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.思维点拨解析思维升华例例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.题型三距离公式的应用题型三距离公式的应用正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.思维点拨解析思维升华例例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.题型三距离公式的应用题型三距离公式的

16、应用运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式.思维点拨解析思维升华跟踪训练跟踪训练3已知点P(2，1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；解解过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离.解解作图可证过P点与原点O距离最大

17、的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1.由直线方程的点斜式得y12(x2)，(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离.即2xy50，即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.例例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；思维点拨解析思维升华题型四对称问题题型四对称问题例例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；题型四对称问题题型四对称问

18、题解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题.思维点拨解析思维升华例例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；题型四对称问题题型四对称问题解解设A(x，y)，思维点拨解析思维升华例例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；题型四对称问题题型四对称问题解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.思维点拨解析思维升华(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；思维点拨解析思维升华(2)直线m：3x2y6

19、0关于直线l的对称直线m的方程；解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题.思维点拨解析思维升华(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；解解在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上.设对称点为M(a，b)，则思维点拨解析思维升华(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.思维点拨解析思维升华(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l1、l2关

20、于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上思维点拨解析思维升华(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程.思维点拨解析思维升华(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程.解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题.思维点拨解析思维升华(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程.解解设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.思维点拨解析思维升华(3)直线l关于点A(1

21、，2)对称的直线l的方程.思维点拨解析思维升华(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上跟踪训练跟踪训练4(2013湖南改编)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的重心，则AP_.解析解析建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为xy4，设P(a,0)，其中0a4，则点P关于直线

22、BC的对称点P1(x，y)，易得P关于y轴的对称点P2(a,0)，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，代入化简可得3a24a0，一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.思想与方法系列思想与方法系列15 妙用直线系求直线方程妙用直线系求直线方程典例典例1：求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例典例1：求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0 (c1).思 维 点

23、 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例典例1：求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.解解依题意，设所求直线方程为3x4yc0 (c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例典例1：求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10 (C1C)，再由其他条件求C1.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它

24、们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解.典例典例2：求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例典例2：求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例典例2：求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典

25、例典例2：求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再

26、用待定系数法求解.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：

27、3x4y50垂直的直线l的方程.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1xB1yC10与A2x思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒三、过直线交点的直线系典例典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直

28、的直线l的方程.B2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.失 误 与 防 范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要

29、单独考虑.1.已知两条直线l1：xy10，l2：3xay20且l1l2，则a_.23456789101解析解析由l1l2，可得131a0，a3.32.从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_.34567891102解析解析由直线与向量a(8,4)平行知：34567891102又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式得所求方程为x2y40.答案答案x2y403.(教材改编)若A(3，4)，B(6,3)两点到直线l：axy10的距离相等，则a_.245678911034.已知直线3x4y30与

30、直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_.2356789110425.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_.23467891105解析解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，234678911056.与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_.23457891106设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，所以l1与l2平行，所以l的方程为12x8y150.12x8y1507.已知点A(1,1)，B

31、(2，2)，若直线l：xmym0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是_.23456891107解析解析直线l：xmym0可化为xm(y1)0，所以直线恒过定点P(0，1).直线l：xmym0与线段AB相交(包含端点的情况)，234568911078.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.23456791108解析解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，234567911089.若直线l过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点，且AB5，求直线l的方程.23456781109解解过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.求得B点坐标为(1,4)，此时AB5，即x1为所求.设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，23456781109(k2，否则与已知直线平行).23456781109即3x4y10