材料力学平面图形的几何性质安徽理工大学精品课程要点

1、本章重点1、静矩与形心2、惯性矩、极惯性矩和惯性积3、平行移轴公式、转轴公式关键概念静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴 目录§-1静矩和形心§-2极惯性矩惯性矩惯性积§-3平行移轴公式"4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的§-1静矩和形心一'、基本概念1 .静矩（或一次矩）x?dAy?dA微面积对y轴的静矩一一微面积对x轴的静矩Sy=?AxdA 整 个平面图形对y轴的静矩Sx=?AydA 整个平面图形对x轴的静矩常用单位：m3或mm3。数值：可为正、负或0。2 .形心坐标公式x=xdA =SyAAy=ydAASx=A3

2、 .静矩与形心坐标的关系Sy=A xSx=A y推论：截面对形心轴的静矩恒为 0,反之，亦然。二、讨论：1 .组合截面的静矩根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：Sy=Z2 Ai xii=1nSx= £ Aiyii=1n2 .组合截面的形心坐标公式 组合截面静矩Sy=E Ai xii=1nSx=£ Aiyii=1nn组合截面面积A=E Aii=1组合截面的形心坐标公式为：例I 1:计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并 确定图形的形心坐标。2z=h? ? 1-y? b2y? 4bh22? dyb?=1

3、5Sz=? ydA=A? yh22 ? bh0? 1-b2? dy=4b2A=?dA=A? h? 1-y20? b形心坐标为：?2?bh?ySz?C=A=2bh=？ 3? 4bh2? zC=Sy=2h? A2bh5? 3例I2:确定图示图形形心 C的位置。解：ySC=zA=10? 120? 5+70? 10? 451200+700=19.7mmzC=目录（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯 性矩之和。）3 .惯性积Ixy= ? AxydA（其值可为正、为负或为零）结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。4 .惯性半径iyy=iAix=IxA （单

4、位：长度的一次方）例I3：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。解：取平行于x轴的狭长条则 dA=b dy2h2h-23Ix=? AydA=?同理 bhbydy=1223hbIy=12思考题I 1:平行四边形对形心轴x的惯性矩应怎样计算?§-3平行移轴公式1.平行移轴公式推导左图是一面积为 A的任意形状的平面，c为其形心，xcyc为 形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy,形心c在oxy坐标系下的坐标为（a , b）ff意微面元dA在两坐标系下的 坐标关系为：x=? ydA= ? (yc+a)dAIx AA22二? ycdA+2a? ycdA+aAA22

5、 ? AdA=Ixc+Sxc+aA=Ixc+aA22同理，有：？ Iy=Iyc+bA? I=I+abA?xyxycc? 2注：式中的a、b代表坐标值，有 时可能取负值。例I4：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：(1)求形心坐标 b(y)=2R2-y2dSx=? AydA= ? 20yb(y)dyd3=? 20y? 2R2-y2dy=d123y=Sxd2dcA=兀d2=342)求对形心轴xc的惯性矩九d44I兀dx=2=128思考题I2: O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点。且分别平行 于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知b>a):(A)

6、 Ixy > 0 ( B) Ixy< 0(C)Ixy= 0 (D) Ix=IyA (思考题 I2) x (思考题 Ibx思考题I3: x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴(即图中 a：(1)惯性积 Ixy=(2)惯性矩 Ix=、Iy。目录§-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩1 .转轴公式新坐标系oxlyl旧坐标系o x yx1=xcos a+ysin ay1=ycosin涨!"上述关系代入平面图形对x1轴的惯性矩：1x1 =y2A1dA规定：上式中的a的符号为：逆时针为正，顺时针为负。讨论: 将上述转轴公式中的前两式相加可得：Ix1+Iy1=

7、Ix+Iy 即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常 数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。2 .截面的主惯性轴和主惯性矩从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着 a角作周期性变 化，且有正有负。因此，必有一特定的角度aQ使截面对与该角对应的新坐标轴X0、y0的惯性积为零。依此进行如下定义：(1)主惯性轴：截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。(2)主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。(4)形心主惯性矩：截面对于形心主惯性轴的惯性矩。3 .主惯性轴位置的确定设坐标轴转动角度为aQ则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得： Ix-Iy 2经整理，得 sin2 a 0+Ixycos2 a 0=0 tan2 a 0=Ixy Ix-Iy4 .主惯性矩的确定由上面tan2 a的表达式求出cos2aQ sin2 a后，再代入惯性矩的转轴公式，化简 后可得主惯性矩的计算公式如下：-J例I6:计算截面的形心主惯性矩。解：作形心坐标轴xcyc图所示。（1）求形心坐标：（aI ,b I)、 (an ,b n)、Iyc1 , Ixc2、Iyc2(3)由平行移轴公式求整个截面的Ixc、Iyc、Ixcyc如 4)由转轴公式得tan2 o 0=-2IxcycIxc-Iyc =1.093y