材料科学基础典型习题助解

1、材料科学基础典型习题助解材料科学基础基本概念及典型习题助解前言一结晶学基础为什么研究晶体结构要使用任意坐标系？晶体是构成晶体的物质基元在三维空间重复排列而形 成的固态聚集体。在研究莫种晶体时，通常把那种晶体的布 拉菲晶胞作为晶体的结构基元。用数学方法研究晶体时，需 要在晶体中建立坐标系以确定晶体中更指定晶胞的空间方 位。通常，以布拉菲晶胞的莫个结点的空间位置来表征该晶 胞的空间位置。确定莫个晶胞的一个结点作为坐标原点，以过坐标原点 的三条不共面棱边作为三条坐标轴的基矢建立的坐标系，能 够保证每一个晶胞的相同结点的坐标值都为整数。这一点很 重要，它能保证我们对晶体模型进行数学研究时有一个相对 简

2、捷的过程和结果。自然界中的物质，绝大多数在微米尺度上是有序的，即 所谓长程有序。这是我们用晶体模型研究材料结构的前提。自然界中的物质结构千变万化，用正交等长度坐标系很 难甚至不能对晶态结构进行有效的描述和研究，根据每一种 晶体结构建立相应的坐标系具有实用价值。这就是我们研究 和运用任意坐标系的意义所在。三维空间可用三轴坐标系描述。三条坐标轴的单位长度 各不相同，每两条坐标轴之间的夹角也不相同的坐标系称为 任意三轴坐标系。当三条坐标轴的单位长度相等、任意两条 坐标之间的夹角都等于 90o时，就得到我们常用的三等轴正 交坐标系一一笛卡尔坐标系。当用任意坐标系描述空间莫点位置时，应该过该点作三 条与

3、坐标轴平行的直线，使这三条直线所确定的三个平面与 三条坐标轴所确定的三个平面结合构成一个平行六面体。这 个平行六面体的三条共点不共面的棱边长除以相应坐标轴 的单位长度后就是被描述点的坐标。更便捷的做法是：要确定奥点A在任意坐标系O-xyz中的的z坐标，就通过 A点作一条平行于 O-xy面的直线，使 其与z轴相交，交点处的 z值就是A点的z坐标；x、y坐标 类推。 需要特别注意的是被描述点的各个坐标轴向长度与 相应坐标值的区别。每个坐标轴向长度除以相应的单位长度 后才是该轴向的坐标值。譬如：在一个x轴单位长度为1; y轴单位长度为2; z轴单位长度为3的任意坐标系O-xyz中， A的三个轴向长度

4、分别是 1; 2; 3。用Bravais点阵群理论描述晶体结构有何特点？ 空间对称性和周期性是晶体结构的基本特点。法国晶体学家 Bravais于1850年用数学方法推导由具有一定对称性的空间点阵只有14种，分属于 7大晶系。Bravais点阵群理论有些抽象，一般的材料类教科书上都只 给由结论，掌握起来有相当难度。从概念上理解Bravais点阵群理论要注意以下几点：1 Bravais 点阵是具有一定对称性的空间点阵。即一种 点阵结构通过点对称、面对称、滑移反映等对称操作中的一 种或几种操作后点阵结构能完全重合。譬如简单三斜点阵没 有对称轴和对称面，但有对称点；而底心单斜点阵具有1个2度旋转对称轴

5、和1个对称面。2 Bravais 点阵用点阵基元即Bravais 晶胞来表示。Bravais晶胞的选取原则有三条：一是能充分反映空间点阵 的对称性；二是晶棱夹角B、丫尽可能取直角；三是晶胞体积尽可能取小。其中第三条要以第一条为前提，要能充 分反映晶胞的空间对称性，否则所有Bravais晶胞都成了平行六面体了。3 一种晶体结构可能具有多种 Bravais晶胞取法，譬如 面心立方点阵的基元可以取面心立方晶胞，也可以取菱方晶 胞，还可以取体心正方晶胞。但面心立方的空间对称性表现 更充分，因此通常都采用面心立方晶胞作点阵基元。4需要强调一点的是，点阵基元的选取还要以晶体材料 的理化特性为依据。譬如莫种

6、晶体的点阵基元既可取面心立 方，也可取体心正方，而又存在各向异性的理化参数时，取体心正方为点阵基元可能更便于研究材料微观结构与宏观 特性的联系。说到这儿，可能有同学觉得理论性不强， 有点实用主义 其实，所有理论都是用于解释现实存在的。如果理论不能解 释现实存在，就必须进行修正甚至抛弃。这一点对于已习惯 于纯理论学习的大二学生来说很重要，要有意识地克服长期以来形成的 单一思维模式，把一个理论的建立前提、推理条件和结论适 用范围整理清楚，有助于以后专业课程的学习。用作图法说明一个面心立方结构相当于体心正方结构，也可相当于菱方结构。例解：这道题的参考答案见附图。要点提示：从此题可以直接得由的结论是：

7、一种晶体可能有多种结 构晶胞选择方式。对于这种一因多果的习题或现象大家已不陌生，以前学 习解二次、三次方程式中多有接触。现在的问题是在研究具 有这一类结构的材料时，究竟选用哪种结构晶胞模型更合适？选用不同结构晶胞模型做同类现象分析时，会 不会由现不一致的结果？研究材料的显微结构是为了更好的使用材料。因此哪一 种模型能够更好的解释或研究那种材料的理化特性，我们就 选用那种模型。比如金、银、铜三种金属，结构晶胞都具有面心立方、体心正方和棱方三种模型，但是用面心立方结构 能简明清晰的解释三种金属的良好塑性，这就是选用面心立 方晶胞作为三种金属的“晶体结构”的依据之一。对于从小学到大二都基本学习 “纯

8、理论”的同学们来说, 上述解释显得有些“实用主义”。其实，知识就是实用的； 那些看起来远离实用的“纯理论”也是用来指导实用的。只 是在指导实用时，必须根据实际情况对“纯理论”加以修正 或适用条件限制。这部分内容在专业基础课和专业课中会大 量遇到，预先作好心理准备，有利于改进和完善思维习惯， 在学习内容基础课向专业课转型的过程中能够顺利过渡。至于选用不同结构晶胞模型做同类现象分析时，会不会 由现不一致的结果的担心，我们需要注意两点：一是分析的 前提条件要一致，包括各种影响因素在内；二是分析过程以 及过程中采用的修正条件要一致，任何因素差异都会造成结 果不同。在基础课中学习的内容，基本上都是单一因

9、素对理 想模型影响的规律性总结。在这部分内容的学习过程中，往 往注重推理过程而忽略前提条件与结果之间的联系，这种思 维惯性一旦形成，极不利于以后专业课学习，因此需要同学 们在专业基础课学习阶段自觉地调整和完善。在实际工作中，对具体个案的分析处理时还牵涉到许多 方法论内容，专业基础课和专业课中都也有所涉及，需要同 学们留心领会其精髓，对学习和以后工作都有好处。已知Al晶体在550c的空位浓度c=2X10-6,计算空位 均匀分布时的平均间距.例解：Al晶体为面心立方点阵，设点阵常数为a,原子直径为d, a= d 2 （从手册上查d=）o设单位体积中的阵点数为N,因一个面心晶胞（V=a3）含4个阵点

10、（原子），则： N=4/V=4/（d2）3= 2/d3空位浓度是单位体积内的空位数与阵点数之比c=n/N。所以单位体积内的空位数：n=Nc=2X2X 10-6/d3设空位平均间距为L,则以L为棱边的立方体中含一个空位：n/L3=1 即：L=（1/n）1/3=d/（2 X 2X10-6）1/3= 答：（略） 要点提示：解本题的关键是要正确理解空位平均分布的含义，即空位在晶体三维方向上等间隔分布。在一个简单立方二维晶体中，画由一个正刃型位错和一个负刃型位错，试求：（1）用柏氏回路求生正负刃型位错的柏氏矢量。（2）若将正负刃型位错反向时，说明其柏氏矢量是否也随之反向。（3）具体写生该柏氏矢量的方向和

11、大小。（4）求由此两位错的柏氏矢量和。例解：画由二维简单立方晶体的完整晶格图和正负刃型位错图。在离位错线几个原子间距的外围，绕正负位错线各画一 条柏氏回路。在完整晶格图上以相应柏氏回路同样走向和步数作两 条回路，具终点和起点的连接矢量就是对应位错的柏氏矢量 bi。若将正负刃型位错反向时，用相同作图方法作图则柏氏 回路反向，柏氏矢量也必然随之反向。，求生相应位错的矢量：bi=a(xi2-xi1, yi2-yi1) 。其中 n 的求法是：n=V(xi2-xi1)2+( yi2-yi1)2,本例中n=1。写由相应位错的柏氏矢量：b1= a10/n= a10。 *|b1|= a= a/n ,得 n=1

12、。 b2= a i 0/n= a i 0。* |b2|= a= a/n ,得 n=1。 两位错相加：b= a10+ a i 0=0。 答: 要点提示：1用作图法求柏氏矢量是通过柏氏回路和对比回路比较 而实现的，两个回路有相同走向和相同步数。2柏氏矢量要在坐标系中确定起终点坐标才能用用数学 表达式表达清楚。从图上也可以看由，两条位错线相遇，则上下两个半原 子面复合成一个完整晶面，错位消失。b2= a(9-10, 4-4) y(a)b2: a i 0b1= a(4-3, 1-1)bl: a10O x(a)若面心立方晶体中有 b1= a由1/2的单位位错及 b2= a12 i/6的不全围错，此二位错

13、相遇后产生位错反应。(1)此反应能否进行？为什么？(2)写由合成位错的柏氏矢量，并说明合成位错的性 质。例解：位错反应式：b= b1+ b2=a 101/2+ a12i/6 = ai11/32因为b12+b22>b ,所以此反应能进行。(2) 合成位错的柏氏矢量为b= a 111/3 oill晶向上的原子间距为a，3, |b|b ,所以此反应能进行。(2)合成位错的柏氏矢量为b= a H1/3 oill晶向上的原子间距为 a，3, |b|< a，3,又ill ±( 111) , 111晶面族中没有相互垂直的晶面存在，因此b=a H1/3不在面心立方晶体滑移面111上，所以

14、b为一弗 兰克不全位错。要点提示：本题的难点是要阐述清楚合成位错的性质：是否全位 错？是否可滑移？如果可滑移，应该是什么类型？首先，已推由合成位错的柏氏矢量为b= a H1/3，又i11晶向上的原子间距为a，3, |b|< a，3,因此合成位错是一不全位错其次，面心立方晶体的滑移面为111 , 111晶面族中没有相互垂直的晶面存在。此位错存在于面心立方晶体中，柏氏矢量指向为111 o 111 ±( 111),因此 b= a i11/3 不在面心立方晶体滑移面111上。与弗兰克不全位错的特性相比，可以判定此位错为一弗兰克不全位错。*如果发现位错的柏氏矢量在滑移面上，则此位错是可

15、滑移位错；需再将其柏氏矢量指向与滑移系中所有滑移方向 比较，判定是刃型、螺旋型还是混合型位错。奥斜方晶体晶胞含有两个同类原子，坐标位置分别为 (3/4,3/4,1) 和(1/4,1/4,1/2),该晶体属于何种布拉菲点 阵？写由该晶体的(100) , (110) , (211) , (221)等晶面反射 线的squareF值。例解：把坐标点(1/4,1/4,1/2) 移到(0,0,0),则(3/4,3/4,1) 相应移到(1/2,1/2,1/2),此可以判定此晶胞为体心斜方， 且结构因子：F(HKL户fa1+(-1)exp(H+K+L) squareF(100)=squareF(221)=0

16、。squareF(110)=squareF(211)=4squarefa 要点提示：(1)结构因子计算公式中，只有原子坐标而无基矢，因 此F值只与晶胞所含原子数及原子位置有关而与晶胞形状无 关。此题已给由晶体为斜方晶系，通过坐标平移看由一个原 子在晶胞顶角(0,0,0), 一个原子在晶胞体心 (1/2,1/2,1/2),因此判定为体心斜方点阵。(2)结构因子计算公式是以晶胞内莫个原子位置为坐 标原点推导由来的(通常都以所有原子坐标取正值来确定坐 标原点)。当题设条件没有晶胞原子在坐标原点时，一定要 通过坐标平移使晶胞内莫个原子处于坐标原点，对应公式的 推导条件。此题若直接将(3/4,3/4,1

17、) 和(1/4,1/4,1/2)代入公式计算，则计算的只是晶胞内的两个原子散射波在晶胞外坐标 原点处的叠加结果而不是晶胞散射波。(3)碰巧，此题若不作坐标平移，直接将两个原子坐标 位置代入结构因子公式算由的squareF与坐标平移后计算的相同(但F不同)，但不表明不平移也对。反例如下：单原子晶胞散射波就是原子散射波本身，与原子所在晶 面无关。若坐标原点在晶胞内，原子位置只能是(0,0,0),贝U: F=fa , squareF=squarefa 。若坐标原点在晶胞外，如原子位置是(1/4,1/4,1/4),则：F=fa(-1)exp(H+K+L)/2。squareF=squarefa (-1)

18、exp(H+K+L)wsquarefa 。原子散射波与原子所在晶面相关，显然不对。金刚石属面心立方点阵，每个晶胞含8个碳原子，坐标分别为：(0,0,0) ,(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2),(1/4,1/4,1/4),(3/4,3/4,1/4),(3/4,1/4,3/4),(1/4,3/4,3/4) o原子散射因子用fa表示，具结构因子用 F 表示的话，求其系统消光规律square|F| ,并据此说明结构消光的概念。例解：F=fa1+(-1)exp(H+K+L)/21+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L )+(-1)exp(L+H) squa

19、reF=64squarefa 。与面心立方晶胞的结构因子F=fa1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H) 相比， 多生了一个因式1+(-1)exp(H+K+L)/2。在金刚石的系统消光现象中，包含有点阵消光和结构消光两部分，其中点阵消光规律因式1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H) 表述， 结构消光规律因式1+(-1)exp(H+K+L)/2 表述。因 式1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H)的取值规律讨论很简单：当 H,K,L全取奇数或全取偶数时为4。当H,K,L奇偶混

20、取时为0。现在我们来看看因式1+(-1)exp(H+K+L)/2的取值规律：讨论之前先引入一个单偶数和倍偶数概念：当一个偶数被2一次除即成奇数，这种叫单偶数；当一个数被2两次及两次以上除后成奇数，这种数叫倍偶数2n+1, 1+(-1)exp(H+K+L)/2=1当为奇数时，可以写成±i，该加该减n是单偶数还是倍偶数决定。当取单偶数时，1+(-1)exp(H+K+L)/2=0。 当取倍偶数时，1+(-1)exp(H+K+L)/2=2 。此我们得由金刚石的消光规律为：当H,K,L奇偶混取时，F=0O当H,K,L全取奇数时，F=4(1 ± i)fa ; square|F|=16

21、x (1 ± i)(1± i) x squarefa=32squarefa。当H,K,L全取偶数且为单偶数时，F=0。当H,K,L 全取偶数且为倍偶数时，F=4 x 2=8fa ; square|F|=64squarefa 。 要点提示：把金刚石结构中111晶向上的相邻两个原子看成是结构基元，则结构基元两个原子构成，相对位置为(0,0,0)和(1/4,1/4,1/4),结构基元在三维空间呈面心立方结构。因 此，在金刚石的系统消光现象中，包含有点阵消光和结构消 光两 部分。 (1) 分 别 把(0,0,0), (1/4,1/4,1/4);(1/2,1/2,0),(3/4,3/

22、4,1/4);(1/2,0,1/2),(3/4,1/4,3/4); (0,1/2,1/2), (1/4,3/4,3/4) 看成 4 个双原子基元，可以推由基元散射波的相对振幅为 Fj=fa1+(-1)exp(H+K+L)/2。把基元散射波的相对振幅代入面心晶胞结构因子公式也能得由金刚石结构因子： F=fa1+(-1)exp(H+K+L)/21+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L )+(-1)exp(L+H) (2)多原子基元散射波已由现衍射现象， 必然影响晶胞的消光规律。结构消光是在单原子晶胞的消光 规律之上附加的消光现象。也就是说，多原子基元的晶胞消 光晶面数必定比单原子基元的晶胞消光晶面数多。就金刚石而言，在面心晶胞的消光基础上，增加了当H,K,L全取偶数且为单偶数时也由现消光。于是在面心立方结构可以产生衍射线的 (200) , (222) , (420)等晶面，在金 刚石立方中都没有衍射线出现。