BS模型在资产评估中的应用

1、B-S模型在资产评估中的应用主讲老师赵强一、Black-Scholes 模型介绍(一) Black-Scholes 模型介绍Black-Scholes 模型是Fisher Black 和Myron Scholes 首先提出了一种估算期权价值 的方法：Black-Scholes 模型(即：B-S模型)。除此之外，期权价值还可以采用以下方法估算：(1 )二项式定价模型方法；(2) 风险中性定价方法。期权定价存在多种方法中，B-S模型最为常用。(二) B-S模型的适用前提B-S模型是建立在以下假设基础上的：(1) 股票价格是一个随机变量服从对数正态分布；f(x)=e(2 )在期权有效期内，无风险利率

2、是恒定的；(3) 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；(4) 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；(5) 不存在无风险套利机会；(6) 证券交易是持续的；(7) 投资者能够以无风险利率借贷。设：卩为股票每年投资回报率期望值；b为股票价格的年波动率。在t时刻股票价格为 S,则在t + dt时刻股票的价格应该为 S+卩S,如果用微分方程描述就是:上述推导过程说明，股票价格与时间之间的关系服从指数函数的关系。 进一步推导，可以得出结论：即：Ln ( St) - Ln ( S0 )= Ln (S/So)N (卩一 72 ) T,b2T)。 其中：S0：股票初始价格；T:是初始

3、时间距目前阶段的时间。进一步：Ln ( St)N ( Ln ( S) + (-b 2/2 ) T,b 午)如果设St是股票在T时刻的价值，则看涨期权的价值应该可以用下列函数表述:二缶X 当尙F (Sr> - -0如果St是一个随机变量，满足 St> X的概率为P,则满足StV X的概率就是1 P,这样 投资者获利的数学期望值就是：E ( St) = ( St X)x P+ 0 X( 1 P)这就是看涨期权C的价值估算。对于看跌期权P:-0当ST>XF (Sr)=-X-Sf当s7<x如果满足StV X的概率为P,则满足St> X的概率就是1 P,这样投资者获利的数学

4、期望值就是：E ( St) = ( X St)X P+ 0 X( 1 P)这就是看跌期权P的价值估算。B-S模型的推导：由于看涨期权的收益：-rT-rTC= e E ( max( St X), 0)= e E (S X/St>X) + E (S X/StV X)上式中的后半部分，根据看涨期权的定义是等于0的，因此可以得到看涨期权的收益:-rTC= e E ( S X/St> X)Srp设：Y= Ln (：£-")，则Y服从正态分布，而二：=eY，这样看涨期权的收益C可以改写为：C 二 e rlE(ST - I /ST >= Soe'rrE>

5、£)r 1s. s, $shfl0QV=丄2 >丄)S s=站 叮 T U7 - 衲叮 J-灯叮 / f(ndrh0sl%二 - XerfH(d2)注意关注下式：= r . r(r/rJ1n(m该等式定义了 N( d2)是随机变量大于行权价 X的概率，也就是发生行权事件的概率。(三) B-S模型的分类B-S模型一般分为两类：(1) 不含分红派息的B-S模型：所谓不含分红派息的 B-S模型就是在估算股票期权价值 时，认为标的股票在期权到期日之前这段时间内没有分红派息，或者说不考虑分红派息；(2) 含分红派息的B-S模型：所谓含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时， 需要考

6、虑标的股票在期权到期日之前这段时间内进行的分红派息对期权价值的影响。不含分红派息的买期权 C( Call Option ):C0= SN (di) Xe-rTN (d2)上式中：G:不含分红派息买期权(看涨期权)；X:期权执行价；S:标的资产现实价格；r :连续复利计算的无风险收益率；T:期权到期时间；N ():标准正态密度函数；di, d2： B-S模型的两个参数。(莺、In+r ?j .1 d =trV?-上式中：X:期权执行价；S:标的资产现实价格；r :连续复利计算的无风险收益率；T:期权到期时间；“股票波动率。含分红派息的买期权 C (看涨期权)：-& T-rTC= Se N

7、 (di) Xe N ( d2)上式中：C:含分红派息的买期权(买期权、看涨期权)；X:期权执行价；S:标的资产现实价格；r :连续复利计算的无风险收益率；T:期权限制时间；3:连续复利计算的股息率；N ():标准正态密度函数；di, d2： B-S模型的两个参数。In上式中：期权执行价；标的资产现实价格；连续复利计算的无风险收益率；期权到期时间；X:s：T："股票波动率；3:连续复利计算的股息率。不含分红派息的卖期权 P0 (看跌期权)：-rTF0= Xe N (-d2)- SN(-di)含分红派息卖期权 Pi (看跌期权)：-rT- 3 TPi= Xe N (-d2)- Se N

8、 (-di)看涨期权实际就是当标的资产的价格St高于约定的行权价 X时，期权拥有人就会行权，按行权价X买入标的资产，这时由于St> X,因此期权拥有者可以获利 St- X,反之当标的资 产价格StV X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0, 上述情况可以用以下函数表述：亍厂当 s7>xF (ST) “0当 ST<X看涨期权函数曲线看跌期权实际就是当标的资产的价格St低于约定的行权价 X时，期权拥有人就会行权，按行权价X卖出标的资产，这时由于 St<X,因此期权拥有者按 X价卖出标的资产，还可以 按St再买回标的资产，这样就可以获利X- St,反之当标的资产价格 St&

9、gt; X时，权利人不会行权，这时期权价值就是 0，上述情况可以用以下函数表述：x-s7F (ST)1)看跌期权函数曲线(四) 特殊形式的期权两点式期权(Bi nary Option ):所谓两点式期权就是具有不连续收益的期权。典型的例子就是现金或无值(Cash-or-Noth ing )期权。现金或无值(Cash-or-Nothing )看涨期权当标的资产价格低于执行价时该期权价值为 0,当标的资产价格高于执行价时，期权价值为给定值QIr0当 * v XF (ST) »-Q 当ST>X现金或无值(Cash-or-Nothing )看涨期权的图形:i期权育效区域现金或无值(Ca

10、sh-or-Nothing )看跌期权当标的资产价格低于执行价时该期权价值为Q当标的资产价格高于执行价时，期权价值为制定值0。Q当 SKXF (ST) = JL 0当s7>x现金或无值(Cash-or-Nothing )看跌期权的图形:抵I期权有败区域 ;i>0X在B-S看涨期权模型中：-& T-rTC= Se N (di) Xe N ( d2)标的资产价格高于执行价的概率为 N( d2)，因此当标的资产低于执行价时现金或无值 (Cash-or-Nothing Call )看涨期权价值为 0，当标的资产价值高于执行价时，该期权价值 为：-rTQ= Xe N (d2)在B-S

11、看跌期权模型中：-rTF0= Xe N (-d2) SN( -dj当标的资产高于执行价时现金或无值(Cash-or-Nothi ngPut)看跌期权价值为 0，当标的资产价值低于执行价时，该期权价值为：-rTQ= Xe N (-d2)(五) 股票波动率c的估算1. 股票波动率一般有两个估算途径(1) 采用历史数据估算；(2) 采用隐含方式估算。2. 采用历史数据估算c的计算方法(1) 采用与期权到期时间 T相同年限的股票历史数据计算；(2) 每期数据采用 Ln (S + i/St)(t=1 , 2, 3，n);(3) 估算历史数据的标准差。3. 采用历史数据法估算c的方法(1) 采用标的股票历

12、史数据估算c。(2) 采用对比公司或行业多个股票历史数据估算c。由于股票波动是随机的，因此对于某个特定股票的预期波动率与其历史数据之间应该不 存在关系，因此最好采用该股票所在行业的多个对比股票或全部股票的波动率方差平均值估 算。(3 )采用隐含法估算c, 一般都采用彭博数据，目前国内尚没有相关机构提供相关数据。 所谓隐含法就是向相关专业人员进行股票期权询价，采用专业认定的期权价格反算股票的波动率。B-S模型中无风险收益率r、期权到期时间T和波动率c三个参数估算应该相互匹配： 如果r是采用年收益率，则 T需要按年计算，c也需要估算其年度波动率；(T。cr 年=o月 X V12 = <rx

13、V52 = cr t x如果r是采用月度收益率，则 T需要按月计算，也需要估算其月度波动率; 实际中多采用年度为时间单位计算r、T和二、B-S模型在股票期权公允价值评估中的应用（一）股票期权作为一种管理层激励的一种手段越来越多地被国内上市公司所采用按照相关会计准则的要求，企业实施股权（票）激励，需要按公允价值计量；实施股权（票）激励的企业每年至少需要将其正在实施的股权（票）激励的期权的公允价值评估出来，为财务报告目的服务；期权的公允价值评估的基准日选择需要根据需要与企业或审计人员协商后确定。（二）股票期权激励的概念所谓股票激励期权通常是上市公司的董事会以决议的方式确定无偿授予公司高级管理人员一

14、个购买股票的权利， 该权利规定授权人可以在一个特定时间内，在一定的条件下， 以某一个特定的价格购买公司若干股股票。上市公司仅仅是授权公司高管可以以约定的价格购买股票，也就是授权仅是可以购买股票，并不是授给公司高管股票。从另外一个角度分析，股票期权就是上市公司与公司的高级管理人员约定进行一项股票 交易。上市公司是约定股票的卖方（空头），其承担义务是一旦买方要求购买股票，则其必须要按约定的价格卖出其持有的股票。公司管理人员则是股票的买方（多头），其具有一项权利，可以在一个有效期内，按照 约定低价格去购买一定数量的股票，管理人员可以选择实际购买，也可以选择不购买。上述交易中空头方给予多头方的权利不是

15、免费的，需要多头方给予对价补偿，这个对价就是期权的价值。但是股票激励实务中，管理层并不实际支付这个对价，因此造成上市公司需要自行支付对价，即在当期损益中增加相应的成本，这也是需要进行财务报告目的评估的原因，准确计量上市公司替管理层支付这个期权的成本。从上述分析中可以看到股票激励期权应该是一个有权购买股票的权利，因此是一个看涨期权（Call Option ）。（三）股票期权公允价值评估案例分析1 案例情况介绍ABC公司同事会决定对公司高管给予40万份股票期权激励。股票期权的授予日为：2011年X月28日。股票期权行权价格为 16.85元，但是股票期权有效期内发生资本公积转增股本、派发股票红利、股

16、份拆细或缩股、配股、派息等事宜，行权价格将做相应的调整。行权安排：本计划授予的股票期权自本期激励计划授予日起满12个月后。2 模型选择股票激励期权的模型是看涨期权，通常包括两种:（1）不含分红派息模型C= SN（ dj Xe-rT N （ d2）(2)包含分红派息模型O Se- 8TN (di) Xe-rT N (d2)根据案例介绍，本次授予的期权是要考虑分红派息问题的，因此应该选择含有分红派息的模型：O Se- 8TN (di) Xe-rT N (d2)3.参数取值估算S:现实股票价格，取评估基准日ABC公司的股票均价15.1元/股；X:行权价格，根据 ABC公司2011年X月28日的关于股

17、票期权授予相关事项的公告， 股票期权的行权价格为16.85元；T:股权有效期，选择行权日距基准日的期间，按年计算，本次评估为一年(12个月)；r:连续复利计算的年无风险收益率，在Wind数据中选择剩余年限为 1-2年内的国债年到期收益率平均值为 3.579%;“股票波动率，选取Wind行业中可选消费-耐用消费品与服装一家庭耐用消费品一家用器具与特殊消费品行业中的上市公司作为对比公司，取其基准日前股价并计算1年(12个月)的股票波动率为 32.933%，并以此作为期权的预期波动率；3:连续复利计算的股息率，ABC公司于2007年上市，截止评估基准日共进行两次分红，通过计算其历史平均分红率为0.5

18、30%，以此作为未来股息收益率。股票期权评估案例计算表证券代码证券筒称距到期日时同（年）到期收谥率 2011-6-28MM090015. IBD9附层国债15k 052艮506019915. SHosBffiis1. 0528. 589100915. S2国債0915k 052乳5S9020009. IB強国债0厂1 060乱507050009, IB隨国债091. 1623,515010500. SH0丘因债9）1, 1G2氐591100509. SZ圉债篦091. 162E 591090022. IB09附息国债221, 2063. 518019922. SH朋国债221 2063. 59

19、1100922. SZ13 债 09221, 2063. 551070017, IE训国债M1. 3212. 525019717. SH078171, 3213. 593100717. SZ園 07171. 3213. 593090029. IB09附息国债291 397& 528019929, SH09国债291. 39?3. 594=100929. S2圍债09四1. 397M 591010513. SH050®<13)L”生起3. 438050013. IB破国债131+ 4143. 529100513. SZ国 05131. 414：3. 595060001.

20、IBg国债011+ 6713. 531100601. SZ国债M011. 6713. 599010601. SH0E国债（1）1. 671100006. IE10附息国债0E1. 7233. 534:019006. SH10国债061. 7233. 599101006. SZ園债100B1. 7233. 5强030002. IE03圉债此1. 7843, 535030005. IB強国债0旨1” 8163. 535019805. SH国债05-816攵&01100805. SZ13 债 0M51. 3163. B01060006. IB06国债061, 9LQ乳535P 010606.

21、 SH06国债1. 9108. S02100606. SZ園债06061, 9103, 602100016. IElOPftfe 匡1 债161. 9343. 568019016, SH国愦161. 9乱3, 603101016. SZ国债10"1. 934B03S. 5791妙叭1即城列邸辺忤:用程门旻羽恥翊叽込PHMK皿砂加磴涔£:炸：曲?甘加-£晦«fuKWi'i彌归二:.NHmtU90>-fi切:卜昨!门師虫屮6»WEI>跡卜严严»15»>溯A苟娜sowt即關卜葡恥即必T隠軌虬代觎険W凰諒w

22、th 血m厉料乱二1*：>.-raw Y徳:"潞汕酸刚匚妙山ttCLT】2袴二佔.'丿g):.- 二档釦:工二静卿彳wal耳谿芯TM卅期溯$严吃王门站韓'nw>硼m蔗旳汎:的世瞠!垃1进湎丁爲儡8欣1-牌i%瑚驰ij即汪5泗B輩艸:war細皿“帐汽匸诸.ESTOX沁H迫牌畑陆站际Q曲:闊耳aor(-:左说工<!?1 >加二H1將尊U6WQ錨略皿&smoWeh>曲MP轴:巾脚&二岷：伽卜血汽曲跖卜1上二斡妇站皿y-x-ix巒碗i：<-i?e41父尿W-EJ总嶷代<«曽髒利曲黠群餾瞬制镭鵰HIT鹃黏督昴胛

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24、amp;理）牝閭解閨腳脚色阳®a&(¥>«割上萬谒WfiElit=1 ,1ELIN 訂JTH 话 9831luee(x)和Il士皈和元)rd：L卿dift 丽 T：1世%哋a31畑201膳$'pa33osl11(5他:牝也E沪"郎.貝展捷輒斃二DM鮮札0014三、B-S模型在限制流通股价值评估中的应用(一) 采用期权估价方式估算缺少流通性折扣最早出现在1993年David B.H. Chaffe ，III建议采用对冲交易手段作为缺少流通折扣的估算模式；1995 年，Francis Longstaff发表了一个研究。采用的对冲交易策略

25、是利用一个回望式看跌期权( Look-back Put )。(二) 采用B-S模型估算限制流通价值的思路分析设股票现实价格为 S,限制期为T年后的股票价格为X,如果投资者仅单买股票：(1 )当限制期T年后，股票价格 X>S时，可以认为这个 T年的限制期对于投资者没有 损失，不论股票是否存在限制，T年后全部盈利 X- S;(2)当限制期T年后，股票价格 XVS时，可以认为这个 T年限制使得投资限制流通股 票的投资者损失S- X。如果投资者在投资买股票的同时又购买了一个期限为T,并且在期限T满后的卖出股票行权价为股票初始价 S的卖期权(看跌期权)：(1 )当限制期T年后，股票价格 X>

26、 S时，股票投资盈利 X- S,投资者不会行权，期权 价值为0;(2)当限制期T年后，股票价格 XV S时，股票投资损失 S-X,但投资者拥有一个行权 价为S卖期权，因此仍然可以以S的价格卖出股票，因此期权的价值为S-X,也就是可以对冲股票投资的损失。结论：如果限制股票投资者在买股票的同时，再买一个相应卖期权，就可以有效对冲股票限制可能造成的损失。(三) 采用B-S模型估算限制流通股价值案例1. B-S模型选择(1) 最好应该选择含分红派息法 B-S模型；(2) 选择行权日为限制期结束时的欧式期权。2 各类参数的估算S:标的股票现实价值，取评估基准日标的股票的收盘价(或均价)；X:标的股票行权

27、价，限制期结束日股票的期望价格，可以选择按无风险收益率计算的 标的股票现价的按限制期计算的到期日终值，即S( 1 + r) T;T:期权到期日，选择限制股票的限制期；r:无风险收益率，取与剩余年限与股票限制匹配的国债到期收益率的平均值；“股票波动率，采用历史数据法估算，选择与标的股票位于同一行业的可比上市公司 的历史数据，历史数据年度与限制期相同，采用后复权价；S:标的股票的股息率，采用标的股票历史年份派现金红利数据计算年平均股息率，历史数据年份采用向前推的年份与限制期年份长度一致，如果标的股票没有足够的上市历史， 则或可以采用行业可比上市公司的平均年股息率替代。限制流通股评估案例计算表mom翳tiitllE4EZ3 EHI 4TT w mm » HUTX士 AM IK rtwHUM ms 顷*atm inawife Hlhi：MH(xiOptllDmm 啦】甜扌in!nn211 训*nmMilXK1 JflLm'M i1!他t nr国假對JH收益寧计算表序诗证券世码诽怙马朋日丹轴（元）範诃期H«1闸（毎剧咧收益申001.Q10620. SH脚国佻（2%1003 1630,2LO062O. SZ100. 03.16