311 312空间向量及其加减与数乘运算用精编版

1、浙江省玉环县楚门中学吕联华 一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念 平面向量平面向量 定义定义 空间向量空间向量 具有大小和方向的量具有大小和方向的量 具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法 几何表示法几何表示法 表示法表示法 字母表示法字母表示法 aAB 字母表示法字母表示法 aAB向量的模向量的模 向量的大小向量的大小 aAB 向量的大小向量的大小 aAB 长度相等且方向相同长度相等且方向相同 长度相等且方向相同的长度相等且方向相同的相等向量相等向量 向量向量 的向量的向量 长度相等且方向长度相等且方向 长度相等且方向长度相等且方向 相反向量相反向量 相反的向量相

2、反的向量 相反的向量相反的向量 单位向量单位向量 零向量零向量 模为模为1的向量的向量 长度为零的向量长度为零的向量 模为模为1的向量的向量 长度为零的向量长度为零的向量 思考：思考：空间任意两个向量是否都可以平移到空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？同一平面内？为什么？ B b O A a O 结论结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。内，成为同一平面内的两个向量。 概念概念 加法加法 减法减法 运算运算 运 算 律 二、空间向量的加法、减法运算二、空间向量的加法、减法运算 平面向量平面向量

3、 空间向量空间向量 定义定义: :具有大小、具有大小、 方向的量方向的量, ,表示法、表示法、 相等向量相等向量. . 加法加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法减法:三角形法则 减法:三角形法则 加法交换律加法交换律 加法交换律加法交换律 a? ?b? ?b? ?aa? ?b? ?b? ?a 加法结合律加法结合律 加法结合律加法结合律: : (a? ?b)? ?c? ?a? ?(b? ?c) (a? ?b)? ?c? ?a? ?(b? ?c)四、空间向量加法与数乘向量运算律 a + b = b + a； 加法交换律：加法交换律： 加法结合律：加法结合律：

4、( a + b) + c =a + ( b + c)； a a c b b c 说明说明 对空间向量的加法、减法的说明对空间向量的加法、减法的说明 空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广 两个向量相加的平行四边形法则，三角形两个向量相加的平行四边形法则，三角形法则，减法法则在空间法则，减法法则在空间 仍然成立仍然成立 空间向量的加法运算可以推广至若干个空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加向量相加 推广推广 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：向量的起点指向末尾向量的终点的向量

5、即： A1A2?A2A3?A3A4? ? ?An?1An?A1AnA1A2A3AnAn?1A4 推广推广 （2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即： A1A2?A2A3?A3A4? ? ?An?1An?AnA1?0A1A2A3AnAn?1A4 平行六面体平行六面体 A?B? C? D? 平行四边形平行四边形ABCD平移向量平移向量 a 到到 的轨迹所形成的几何体，叫做的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体平行六面体记记作作ABCD A?B? C? D? D C 平行六面体平行六面体的六个面都是平的六个面都是平行四

6、边形，每个行四边形，每个A B 面的边叫做面的边叫做平行平行六面体的棱六面体的棱 a A D B C 例题例题 例例 已知平行六面体已知平行六面体ABCD? ?A BC D，化简下，化简下列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出化简结果的向量：化简结果的向量：D AB? ?BC；AB? ?AD? ?AA ；A C B D C A B 例题例题 例 已知平行六面体ABCD?ABCD，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB?BC；AB?AD?AA ；解： AB?BC? ACA AB?AD?AA ?AC?AA ?AC?CC?ACD A D B C 始点相同的三个不共面向量之和，始点相同的三个

7、不共面向量之和，等于以这三个向量等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量为始点的对角线所示向量 C B 共线向量与共面向量 a? ?b回回 顾顾 B b O a 结论结论：空间空间任意两个任意两个向量向量都可都可平移平移到到同一个平面内同一个平面内，成为同一平面内的向量。成为同一平面内的向量。 因此凡是涉及因此凡是涉及空间任意两个向量空间任意两个向量的问题，的问题，平面平面向量向量中有关结论仍中有关结论仍适用适用于它们。于它们。 回回 顾顾 空间向量数乘运算 ?与空间向量 ?a仍然是一个向量 a的乘积 1）实数 ? （1）方向：方向：a与

8、向量 a方向相同 当 ?0时， ?0时， 当? ? 与向量 方向相同 aa? 当? a是零向量 ?0时，?（2）大小：）大小： |?|倍 ?a的长度是 a的长度的 2. 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 即：即：? ?(a? ?b)? ? ?a? ? ?b （? ? ? ?） a? ? ?a? ? ?a? ?(? ?)a? ?(?)a1.1.回回 顾顾 1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？ 方向相同或者相反的方向相同或者相反的非零非零向量叫做向量叫做平行向量平行向量. .

9、由于由于 任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 所以平行向量也叫做所以平行向量也叫做共线向量共线向量 ? ?a / b(b?0 )的充要条件是：存在唯一的充要条件是：存在唯一 问题问题2：平面向量中，平面向量中，?，使，使 a?b的实数的实数 1.1.共线向量共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),记作记作 a/ b零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线 . . ?问题问题1 1：若：若a / b(a?0

10、 )则则 a,b所在直线有那些位置关系 ? ? ?a / b(b?0 )的充要条件是：存在唯一的充要条件是：存在唯一 问题问题2：平面向量中，平面向量中，?，使，使 a?b的实数的实数 能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？ ? 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 ， ， :2.共线向量定理共线向量定理ba? ?的充要条件是存在唯一实数的充要条件是存在唯一实数， a/ b(b?0 )? 使使 a?b(b?0 )如图，如图，l 为经过已知点为经过已知点A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 a 的直线，的直线， 若点若点P P是直线是直线l l上任意一点，则上任意一点，则 a B A

11、 P ? 由由 l/ a知存在唯一的知存在唯一的t, 满足满足 AP?ta对空间任意一点对空间任意一点O, l AP?OP?OA ,即 ?所以 OP?OA?taO ?OP?OA?ta 若在若在l上取上取 则有则有AB?a 和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定。一点及直线的方向向量唯一决定。 OP?OA?tAB由此可判断空间任意三点共线由此可判断空间任意三点共线。 OP?OA?tAB 还可表示为：进一步进一步，OPA a B P 1-t OA?_t OBOP?_因为因为 AB?OB?OA ,所以所以 OP ?

12、OA?t(OB?OA)O 1则有则有 特别的，当特别的，当t= 时，时，21OP ?(OA?OB)2P点为点为A,B 的中点的中点 ?(1?t) OA?tOBA、B、P三点共线三点共线 AP?tAB（有公共点A）OP?OA?tABOP?xOA?yOB(x?y?1 )二二. .共面向量共面向量: : 1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量. b c a d 注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量 既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面 那么什么情况下三个向量共面呢？那

13、么什么情况下三个向量共面呢？ ?ae2?e1?e1，e 2由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 是平面内的两个不共线的向量，那么是平面内的两个不共线的向量，那么 ?对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 a?，有且，有且? 只有一对实数只有一对实数，使使a?1e1?2e212?p 共面共面 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ，b a那么可将三个向量平移到同一平面那么可将三个向量平移到同一平面 ，则，则 有有 p?x?yb?a， 反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量，如，如b?p与向量与向量 , 果果 p?x?yb，

14、那么向量，那么向量 ab有什么位有什么位 置关系？置关系？ bC pPAaB? xa,yb分别与a，b共线，?xa,yb都在a，b确定的平面内并且此平行四边形在 a， b确定的平面内，?p?xa?yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面?2.共面向量定理共面向量定理：如果两个向量如果两个向量 不共线不共线， a，b? 与向量与向量 ， 则向量则向量 p 共面的充要条件是共面的充要条件是ba存在唯一实数对存在唯一实数对x,y使使 p?x?yb推论推论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数对序实数对x,y使使 AP?xAB?yACC pPbAaB

15、对空间任一点对空间任一点O,有有OP ?OA?xAB?yACp bC PAaBO填空：填空：OP ?(_)1-x-OA?(_)x OB?(_)y OC 式称为式称为空间平面空间平面ABC的向量参数方程的向量参数方程，空间中任，空间中任 意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。 y 2 P与与A,B,C共面共面 AP?xAB?yACOP?OA?xAB?yACOP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1 )例例1. 已知已知A、B、C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面 ABC外外的任一点的任一点O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点

16、 P是否与是否与A、B、C一定共面？一定共面？ (1 )OB?OC?3 OP?OA(2 )OP?4 OA?OB?OC解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只四点共面，只要证明存在有序实数对（要证明存在有序实数对（x,y）使得）使得 AP?xAB?yAC(1 )共面，因为OB?OC?2 OA?3 OP?3 OA即(OB?OA )?(OC?OA )?3AP11所以AB?AC?3AP ,所以AP?AB?AC33又AB ， AC 不共线，所以AB ， AC ， AP 共面且有公共点A从而A,B,C,P四点共面。例例1(课本例课本例)如图，已知平行四边形如图

17、，已知平行四边形ABCD,从平从平 kOB, OE?面面AC外一点外一点O引向量引向量 kOA , OF ? OG?kOC, , OH?kOD求证：求证： 四点四点E、F、G、H共面；共面； 29 例例1 (课本例课本例)已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 OE? ?kOA,OF? ?kOB,OG? ?kOC ,OH? ?kOD求证：四点求证：四点E、F、G、H共面；共面； 证明：证明： 四边形四边形ABCD为为 OAC? ?AB? ?AD EG? ?OG? ?OE? ?kOC? ?kOA（） DC? ?k(OC? ?OA)? ?kAC? ?k(AB? ?AD)

18、（）代入（）代入 ? ?k(OB? ?OA? ?OD? ?OA)AHBG? ?OF? ?OE? ?OH? ?OEEF? ?EF? ?EH所以所以 E、F、G、H共面。共面。 30 小结小结 共线向量共线向量 共面向量共面向量 定义定义 向量所在直线互相平向量所在直线互相平平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量 ,行或重合行或重合 叫做共面向量叫做共面向量. 定理定理 ?推论推论 ?a/ b(a?0 )OP?OA?tAB?abp?a?b共面共面 p?x?ybOP?OA?xAB?yACOP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1 )O P?xOA?yOB (x?y?1 )运用运用 判断三点共线，或两判断三点共线，或两判断四点共线，判断四点共线， 直线平行直线平行 由此可判断空间