高等数学导数的四则运算法则

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。即：函数的变化率。 微分指明微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。多少。 本章内容包括：本章内容包括： 两个概念两个概念导数与微分；导数与微分； 六个法则六个法则导数的四则运算法则，复合函数求导法则，导数的四则运算法则，复合函数求导法则， 反函数求导法则；反函数求导法则； 若干导数应用问题。若干导数应用问题。第一节第一节 导数的概念导数的概念0导数的定义导数的定义0用定义求导数用定义求导数0

2、导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义0可导与连续的关系可导与连续的关系一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 自由落体自由落体运动的路程运动的路程S S是时间是时间t t的函数：的函数：221)(gtts 2. .作变速直线运动的质点在某一时刻作变速直线运动的质点在某一时刻t

3、 t的瞬时速度问题的瞬时速度问题 质点运动的路程质点运动的路程S S是时间是时间t t的函数：的函数：S=S(t).S=S(t).从从时刻时刻t t到到t+t+ t t时间段内时间段内，质点走过的路程为：，质点走过的路程为： S=S(t+t)-S(t)S=S(t+t)-S(t)在时间间隔在时间间隔tt内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为: :ttSttStSv )()(ttSttSLimtvvt )()()(0 平均速度平均速度 与与tt的取值有关，一般不等于质点在时的取值有关，一般不等于质点在时刻刻t t的速度的速度v v，但，但tt的值愈小，的值愈小， 愈接近于愈接近于t t时

4、刻的速度时刻的速度v(t)v(t)。因此。因此, ,取极限取极限 t t0,0,质点在时刻质点在时刻t t的瞬时速度的瞬时速度: :vv3.曲线的切线问题曲线的切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置MN T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线 T0 xxoxy

5、)(xfy CNM处处的的切切线线的的斜斜率率的的斜斜率率就就转转化化为为曲曲线线在在割割线线MMNMTMNxx就转化为切线就转化为切线割线割线,0的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx xyx 0lim共性：共性：函数值的改变量函数值的改变量自变量的改变量自变量的改变量二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与

6、如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即 0 xf 的的导导数数不不存存在在。在在不不存存在在，则则称称如如果果000)()()(lim0 xxfxxxfxfxx .,)()()1000变变化化的的快快慢慢程程度度因因变变量量随随自自变变

7、量量它它反反映映了了处处的的变变化化率率是是因因变变量量在在点点的的导导数数在在点点函函数数xxfxxf .)(,)()2内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数内的每点处都可导内的每点处都可导在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明关于导数的说明.)(),(,.)(.)(,)3dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记记作作的的导导函函数数这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数导导数数值值的的一一个个确确定定的的都都对对应应着着对对于于任任一一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.)()(00 xxxfxf 而而

8、)()(00 xfxf右导数右导数:4) 单侧导数单侧导数左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.0,0,sin0,)(2的的可可导导性性讨讨论论在在点点设设函函数数 xxxcbxaxxfbxccbxaxxfxffxx 200lim)0()(lim)0(5) 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可

9、导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.例例: 001sinlim)0()(lim)0(00ccxcxxfxffxx不不. 1)0(,0)(1, 0 fxfbc点点可可导导在在时时，当当且且仅仅当当三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,

10、sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaa

11、xhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0(

12、ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)()(000 xxxfxfy ).()(1)(000 xxxfxfy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的

13、几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即例例8 8.,)8 , 3(2写出切线方程写出切线方程的切线的切线做曲线做曲线过过xyM 解解.)8 , 3(2上上不不在在曲曲线线易易见见点点xyM ),(2002xxPMxy点点的的切切线线的的切切点点为为的的过过设设曲曲线线 002)(xxfP 点点的的切切线线的的斜斜率率为为曲曲线线在在38020 xxk切切线线的的斜斜率率42,238000020 xxxxxk或或得得

14、到到例例8 8.,)8 , 3(2写出切线方程写出切线方程的切线的切线做曲线做曲线过过xyM )2(44-, 4)2(),4 , 2(, 2)1(0 xyfx切切线线方方程程为为切切点点)4(816-, 8)4(),16, 4(, 4)2(0 xyfx切切线线方方程程为为切切点点2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非

15、均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 举例举例xy2xy 0 xy ,0,0,)(2 xxxxxf,0处不可导处不可导在在 x注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导连续函数未必可导)

16、.31xyxy01, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x例例9 9.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例1010?,1)(,1,1,)(2应取什么值应取什么值处连续且可导，处连续且可导，在在为了使函数为了使函数设函数设函数b

17、axxfxbaxxxxf 解解1lim)01(21 xfxbabaxfx )(lim)01(11)1( f1,1)( baxxf则则连续连续在在若若211lim)1(21_ xxfxaxaaxxbaxfxx 1lim11lim)1(11)1()1(,2_ ffa时时当当处连续且可导处连续且可导在在时时当当1)(,1b2, xxfa六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续,再再直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.Z 思考思考 函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导