高等数学 1 函数的单调性与函数的极值及最值

1、教学要求：教学要求：1. 掌握用导数判断函数的单调性的方法掌握用导数判断函数的单调性的方法; 2. 掌握用导数求函数极值的方法掌握用导数求函数极值的方法;3. 掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用. .函数单调性的判别法函数单调性的判别法一一 .函数极值的判别法函数极值的判别法二二 .函数的最值函数的最值三三1. 定义：定义：,21Ixx ; )( ),()( , 2121上单增上单增在在则则若若时时当当Ixfxfxfxx . )( ),()( , 2121上单减上单减在在则则若若时时当当Ixfxfxfxx 具有正斜率的切线具有正斜率的切线 .函数单

2、调性的判别法函数单调性的判别法一一xoy)(xfy 0)( xf0)( xg具有负斜率的切线具有负斜率的切线xoy)(xgy 2. 判别法判别法 定理定理1. 设设 f (x) 在区间在区间 I上可导上可导.; )( , 0)(, (1)上单增上单增在在则则若对于一切若对于一切IxfxfIx . )( , 0)( , (2)上单减上单减在在则则若对于一切若对于一切IxfxfIx Proof.21Ixx ,Lagrange, 21中值定理得中值定理得上用上用在在xx. ),)()()(211212xxxxfxfxf . 0 12 xx又又).()( , 0)(0)( (1)12xfxffxf 则

3、则若若 ; )( 上单增上单增在在 Ixf).()( , 0)(0)( (2)12xfxffxf 则则若若 . )( 上单减上单减在在 Ixf注意注意: (1) 该判别法为充分条件判别法该判别法为充分条件判别法.(3) 判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间.(4) y=f(x) 连续可导的条件不可少，有导数不存在的点连续可导的条件不可少，有导数不存在的点 时，函数的单调性须重新考虑时，函数的单调性须重新考虑.(5) 对于连续函数，用导数为对于连续函数，用导数为0的点和导数不存在的点来的点和导数不存在的点来 划分定义区间，就可得出各部分区间上函

4、数的单调性划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性.(6) 利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间，利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间， 还可证明不等式、讨论根的存在性还可证明不等式、讨论根的存在性.(2) 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这 一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符 号来判别一个区间上的单调性号来判别一个区间上的单调性Example 1. ,)( 2区间区间判定其单调性并求单调判定其单调性并求单调设设xxexf Solution.).,( )(的定义域为的定

5、义域为xf)2()(22xxeexfxx ),21(22xex , 0)( xf令令.22 x得得列表讨论如下列表讨论如下: x)22,( 22 )22,22( 22),22()(xf 00 )(xf ,22,22 )( 的单增区间为的单增区间为xf ).,22( )22,( 和和单减区间为单减区间为Example 2. 32的单调区间的单调区间确定确定xy Solution.).,( 32 的定义域为的定义域为xy,323xy 没有导数为没有导数为0的点的点,但但 x=0 为不可导点为不可导点. 列表讨论如下列表讨论如下: x)0 ,(0), 0(y 不存在不存在 y), 0( 32 的单增

6、区间为的单增区间为xy).0 ,( 单减区间为单减区间为如图如图.xoyExample 3.1arctan)1ln( ,0 xxxx 证明证明时时当当Proof. 当当 x=0 时时, 等号成立等号成立.,arctan)1ln()1()( ,0 xxxxfx 设设时时当当2111)1ln()(xxxf )0( 01)1ln(22 xxxx所以所以 f(x) 单调递增单调递增.从而从而, ),0()(,0fxfx 时时当当. 0)0( f且且. 0arctan)1ln()1()( xxxxf.1arctan)1ln( xxx 即即Example 4.111 bbaababa 证明证明Proof.

7、).1( 1)( xxxxf设设2)1()1()(xxxxf 0)1(12 x所以所以 f(x) 单调递增单调递增.,baba ),()(bafbaf babababa 11 即即babbaa 11.11bbaa Example 5.,0 )( 上二次可微上二次可微在在设设axxf , 0)(, 0)0( xff且且.), 0( )( 内单增内单增在在证明证明axxfProof.,)()( xxfxF 设设.)()()(2xxfxfxxF ).()()( xfxfxxG 又设又设)()()()(xfxfxxfxG 所以所以 G(x) 单调递增单调递增.)0()( ,0 GxGx 时时当当. 0

8、)()( xfxfx即即. 0)( xF所以所以 F(x) 单调递增单调递增.), 0( )(内单增内单增在在axxf).0( 0)(axxfx . 0)0( fExample 6.)0( ln有几个实根有几个实根方程方程 aaxxSolution.),0( ln)( xaxxxf设设,1)(axxf .1, 0)(axxf 得得令令. 0)(,1)1( xfax时时当当.)(单调递增单调递增xf,)(lnlim)(lim00 axxxfxx且且, 11ln1 aaf, 011ln,1 aea时时当当, 011ln,1 aea时时当当,10时有一实根时有一实根故当故当ea .1时没有实根时没有

9、实根当当ea . 0)(,1)2( xfax时时当当.)(单调递减单调递减xf,)(lnlim)(lim axxxfxx且且, 11ln1 aaf, 011ln,1 aea时时当当, 011ln,1 aea时时当当,10时有一实根时有一实根故当故当ea .1时没有实根时没有实根当当ea .,ln,1)3(exexxea 则则时时当当,10,时方程有两实根时方程有两实根当当综上所述综上所述ea ,1时没有实根时没有实根当当ea .1exea 时有一实根时有一实根当当 .函数极值的判别法函数极值的判别法二二1. 函数极值的定义与图形函数极值的定义与图形: xoy注意注意: (1) 极值是局部性质极

10、值是局部性质.(2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然极大值不一定比极小值大，反之亦然.2. 极值存在的必要条件极值存在的必要条件定理定理1. 0)(,)(000 xfxxxf则则为极值点为极值点若若可导可导在在设函数设函数-Fermat定理定理注意注意: (1) 导数为导数为0的点称为函数的驻点的点称为函数的驻点.)0)(0 xf(2) 可导函数的极值点一定是驻点可导函数的极值点一定是驻点.(3) 驻点只是可能的极值点驻点只是可能的极值点.:03的情况的情况在在考虑考虑 xxy,0, 032是驻点是驻点得得由由 xxy.03的极值点的极值点不是不是但但xyx 如图如图.xoy(4) 极值点应

11、包含在驻点和不可导点之中极值点应包含在驻点和不可导点之中.:0的情况的情况在在考虑考虑 xxy,0处不可导处不可导在在由定义可得由定义可得 xxy.0的极值点的极值点是是但但xyx 如图如图.xoy3. 极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件 定理定理2. 0)( ,),( )(00 xfxUxf且且内可导内可导在在设函数设函数 , 0)( , 0)( (1)00 xfxxxfxx时时当当时时当当).()(00 xfxxf处取得极大值处取得极大值在在则则, 0)( , 0)( (2)00 xfxxxfxx时时当当时时当当).()(00 xfxxf处取得极小值处取得极小值在在则则, 0)(

12、0)(),( (3)0 xfxfxUx或或时时当当 .)(0不是极值不是极值则则xfProof., 0)(, (1)0 xfxx时时当当故故 f(x) 单调递增单调递增.).()(0 xfxf , 0)(,0 xfxx时时当当故故 f(x) 单调递减单调递减.).()(0 xfxf ).()( ,),(00 xfxfxUx 都有都有时时即即 . )(0为极大值为极大值xf同理可证得结论同理可证得结论(2),(3)成立成立.由极值的定义来证明由极值的定义来证明. 极值存在的第一充分条件的极值存在的第一充分条件的图形记忆法图形记忆法.极大极大xoy 0 :y极小极小xoy 0 :y没有极值没有极值

13、xoy :yxoy :y4. 极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件 定理定理3.则则且且内二阶可导内二阶可导在在设设. 0)( , 0)(,),( )(000 xfxfxUxf . , 0)( (1)00为极小值点为极小值点则则若若xxf . , 0)( (2)00为极大值点为极大值点则则若若xxf Proof.000)()(lim)()1(0 xxxfxfxfxx 0)(lim00 xxxfxx, 0)(, 0 xfxx时时当当. 0)(, 0 xfxx时时当当. 0是极小值点是极小值点从而从而 x同理可证得同理可证得(2)成立成立.注意注意: (1) 使二阶导数不为使二阶导数不为0

14、的点一定是极值点的点一定是极值点., ,)(0)( )2(00只能用第一充分条件只能用第一充分条件定定不能用第二充分条件判不能用第二充分条件判不存在不存在或或若若xfxf 5. 求极值的步骤求极值的步骤 ).( (1)xf 计算计算(2) 求出驻点和不可导点求出驻点和不可导点.(3) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4) 求出极值点处的函数值即得全部极值求出极值点处的函数值即得全部极值.Example 7.211232)(23的极值的极值求求 xxxxfSolution.).,( )(的定义域为的定义域为xf).2)(1(61266)

15、(2 xxxxxf. 2, 1 , 0)(21 xxxf得得令令列表讨论如下列表讨论如下: x)1,( 1 )2 , 1( 2), 2()(xf 00 )(xf极大极大极小极小,28)1( f极大值为极大值为. 1)2( f极小值为极小值为Example 8.)52()(32的极值的极值求求xxxf Solution.).,( )(的定义域为的定义域为xf.3)1(10)(3xxxf . 1 , 0)( xxf得得令令.0 为不可导点为不可导点且且 x列表讨论如下列表讨论如下:x)0 ,(0)1 , 0(1), 1( )(xf 不存在不存在0 )(xf极大极大极小极小, 0)0( f极大值为极

16、大值为. 3)1( f极小值为极小值为Example 9.1)1()(32的极值的极值求求 xxfSolution.).,( )(的定义域为的定义域为xf.)1(6)(22 xxxf. 1, 0, 1 , 0)( xxxxf得得令令列表讨论如下列表讨论如下: x)1,( 1 )0 , 1( 0)1 , 0(1), 1( )(xf 000 )(xf极小极小. 0)0( )( fxf只有极小值只有极小值注注: 也可用二阶导数来判定极值也可用二阶导数来判定极值!Example 10.)(,21 210 )(的极值的极值求求设设xfxxxxxf Solution. 01)( ,10 xfx时时当当.

17、01)( ,21 xfx时时当当.)(没有驻点没有驻点xf1)1()(lim)1( 1 xfxffx但但, 1112lim1 xxx1)1()(lim)1(1 xfxffx, 111lim1 xxx.1为不可导点为不可导点 x列表讨论如下列表讨论如下: x)1 , 0(1)2 , 1()(xf 不存在不存在 )(xf极大极大. 1)1( )( fxf有极大值有极大值Example 11.;,2, 1,ln)(2小值小值并确定是极大值还是极并确定是极大值还是极求求有极值有极值处处在在设设baxxxbxxaxf Solution., 12)( bxxaxf,2)(2bxaxf ,2, 1 )(处有

18、极值处有极值在在 xxxf. 0)2(, 0)1( ff,0142012 baba即即.61,32 ba.3132)( 2 xxf从而从而, 031)1( f; )1(是极小值是极小值f, 061)2( f. )2(是极大值是极大值f .函数的最值函数的最值三三1. 闭区间闭区间a,b上可导函数上可导函数 f(x) 的最值的最值. .)(,),(),(),(max1nxfxfbfafM .)(,),(),(),(min1nxfxfbfafm .), 2 , 1( 为驻点为驻点其中其中nixi 2. 闭区间闭区间a,b上连续函数上连续函数 f(x) 的最值的最值. .)(,),(),(,),()

19、,(),(max11mntftfxfxfbfafM .)(,),(),(,),(),(),(min11mntftfxfxfbfafm ;), 2 , 1( 为驻点为驻点其中其中nixi .), 2 , 1( 为不可导点为不可导点mjtj 3. 开区间开区间 (a,b) 或无穷区间上的最值或无穷区间上的最值. 这时可能有最值，可能没有最值这时可能有最值，可能没有最值. 对于对于(a,b), ., )(lim),(lim 都小则没有最小值都小则没有最小值最大值最大值处的函数值都大则没有处的函数值都大则没有比驻点和不可导点比驻点和不可导点若若xfxfbxax ., )(lim),(lim),(都小则没有最小值都小则没有最小值最大值最大值处的函数值都大则没有处的函数值都大则没有点点比驻点和不可导比驻点和不可导若若对于对于xfxfxx4. f(x)在在I内可导内可导, 且只有唯一一个驻点且只有唯一一个驻点x0时的最值时的最值. .)(0为极大值时即为最大值为极大值时即为最大值当当xfxoy.)(0为极小值时即为最小值为极小值时即为最小值当当xfxoy5. 实际问题的最值实际问题的最值 若驻点若驻点x0为极值点为极值点, 0 x0 x实际问题中实际问题中, 可根据问题的性质