-二重积分的应用

1、$9-3二重积分的应用2一、问题的提出一、问题的提出(Presence of the question)把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分

2、量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU$9-3二重积分的应用3实实例例一一颗颗地地球球的的同同步步轨轨道道通通讯讯卫卫星星的的轨轨道道位位于于地地球球的的赤赤道道平平面面内内，且且可可近近似似认认为为是是圆圆轨轨道道通通讯讯卫卫星星运运行行的的角角速速率率与与地地球球自自转转的的角角速速率率相相同同，即即人人们们看看到到它它在在天天空空不不动动若若地地球球半半径径取取为为R，问问卫卫星星距距地地面面的的高高度度h应应为为多多少少？通通讯讯卫卫星星的的覆覆

3、盖盖面面积积是是多多大大？二、曲面的面积二、曲面的面积(Area of curved surface)卫星卫星hoxz$9-3二重积分的应用4设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， dAd d),(yxMdAxyzs o ds$9-3二重积分的应用5,面上的投影面上的投影在在为为

4、xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1 dAd 小曲面块小曲面块dS上点上点M(x,y,f(x,y)处切平面处切平面的法向量为的法向量为 ,1xynff $9-3二重积分的应用6设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得$9-3

5、二重积分的应用7例例 1 1 (P127,习题习题 9-3，1) 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积. 由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz , 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx222222221()()xyaxyaxy $9-3二重积分的应用8dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 1Dcosra oxy22cos2004()aaard 204(sin )aaad 2204(cos

6、)a $9-3二重积分的应用9例例 2 2( (补充补充) )求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积. 解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 222zaxy 22xyaz222xya D$9-3二重积分的应用10 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221xyzz2, dxdyyxaaSxyD 22244

7、1故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a2222221()()xyxyxy$9-3二重积分的应用11 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11 三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心 (Center of gravity of plane thin slices) ,xyMMxy分别为质点系对 轴和 轴的静矩分别为

8、质点系对 轴和 轴的静矩$9-3二重积分的应用12当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中( , ),( , )yDDxx y dMxMx y d ( , ).( , )xDDyx y dMyMx y d ,由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心d ( , )x y xyo$9-3二重积分的应用13例例 3 3 (补充补充) 设平面薄板由设平面薄板由

9、)cos1()sin(tayttax，)20( t 与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标 解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy$9-3二重积分的应用14 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，$9

10、-3二重积分的应用15 设设xoy平平面面上上有有 n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处 ， 质质 量量 分分 别别 为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niiiyxmI12. 四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量(Rotational inertia of plane thin slices)$9-3二重积分的应用16,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在

11、在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量yd ( , )x y xyo$9-3二重积分的应用17例例 4 4( (补补充充) ) 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量. 解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对

12、y轴的转动惯量为轴的转动惯量为2yDIx dxdy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 3301(1)3byadyb $9-3二重积分的应用18.1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2 .1213 ab 2yDIx dxdy $9-3二重积分的应用19例例5 5( (P P1 12 28 8, ,习习题题9 9- -3 3，8 8) ) 已已知知均均匀匀矩矩形形板板（面面密密度度为为常常数数）的的长长和和宽宽分分别别为为 b和和 h，计计算算此此矩矩形形板板对对于于通通过过其其形形心心且且分分别别与与一一边边平平行行的的两两轴轴的的转转

13、动动惯惯量量. 解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb$9-3二重积分的应用20将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2 .123 hb $9-3二重积分的应用21薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy

14、面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a ,xyzFF F F 五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力 (Gravitation of plane thin slices on particles),( , )DdP x yd在 上任取小闭区域是上一点在 上任取小闭区域是上一点d近似看作质量为（x,y)d 位于点P(x,y)的质点 近似看作质量为（x,y)d 位于点P(x,

15、y)的质点 $9-3二重积分的应用2232222( , ),()xDx y xFGdxya 32222( , ),()yDx y yFGdxya 32222( , ).()zDx yFaGdxya G为引力常数为引力常数dZ 对 轴上质点的引力的大小近似为对 轴上质点的引力的大小近似为2( , )x y dGr 222, ,Px yarxya 0 0引引力力方方向向与与M M一一致致d 对质点的引力为对质点的引力为 2( , )1, ,x y dGxdyrrFa 力的大小力的大小力的方向力的方向薄片薄片D对质点的引力在坐标轴上的投影为对质点的引力在坐标轴上的投影为$9-3二重积分的应用23例例

16、6 6 (P127)求求面面密密度度为为常常量量、半半径径为为R的的均均匀匀形形 薄薄片片：222Ryx ，0 z对对位位于于 z轴轴上上的的 点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a 解解 由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF32222( , )()zDx yFaGdxya 322221()DaGdxya oyzxF20032221()RaGdrdrra $9-3二重积分的应用2420032221()RaGdrdrra 22112.GaaRa 所求引力为所求引力为22110, 0, 2.GaaRa $9-3二重积分的应用25几何应用：曲面

17、的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结(Brief summary)$9-3二重积分的应用26思考题思考题(Consideration).)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar (P128,习题习题9-3,4(3)$9-3二重积分的应用27ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答(Solution to the consideration)$9-3二重积分的应用28练练 习习 题题(Exercises)$9-3二重积分的应用29五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引