第二节函数的求导法则ppt课件

1、第二节第二节 函数的求导法那么函数的求导法那么一、函数的和、差、积、商的求导法那一、函数的和、差、积、商的求导法那么么二、反函数的求导法那么二、反函数的求导法那么三、复合函数的求导法那么三、复合函数的求导法那么四、根本求导法那么与导数公式四、根本求导法那么与导数公式一、函数的和、差、积、商的求导法那么一、函数的和、差、积、商的求导法那么定理定理并并且且可可导导, ,处处也也( (分分母母不不为为零零) )在在点点们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导, ,在在点点如如果果函函数数xxxvxu)(),().0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2(

2、);()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证 xxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxx )()(lim)()(lim)()()()(lim )()(000于是法那么于是法那么(1)(1)获得证明获得证明. . 法那么法那么(1)(1)可简单地表可简单地表示为示为vuvu )()()()()()()(lim)()(lim)()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim )()(00000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxxvxuxxvxxux

3、vxuxxxxx 证证(2)(2)于是法那么于是法那么(2)(2)获得证明获得证明. . 法那么法那么(2)(2)可简单地表可简单地表示为示为vuvuuv )()()()()()()()()()()()()()(lim)()()()()()()()()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim)()(20000 xvxvxuxvxuxvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxuxxvxxvxvxxvxuxvxuxxuxxvxxvxxvxuxvxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxxx 证证(3)(3)于是法那么于是法那么(3)(3)获得证明获得证明. . 法那么法那么(3)

4、(3)可简单地表可简单地表示为示为.2vvuvuvu 在法那么在法那么(2)(2)中中, ,当当cxv )(C 为常数为常数) )时时, ,有有CuCu )(例例1 1.9sin22323的导数的导数求求 xxxy解解)cos(2492xxxy 例例2 2 求求 及及,2sincos4)(3xxxxf )2()( fxf 解解443)2(sin43)(22 fxxxf例例3 3 求求 ),cos(sinxxeyx y 解解xexxexxexxexxeyxxxxxcos2)sin(cos)cos)(sin()cos(sin)cos(sin)( 例例4 4.tan的的导导数数求求xy 解解)cos

5、sin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例5 5.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxxx2cos)(cos1cos)1( xx2cos)sin( xxtansec .tansec)(secxxx 即即.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、反函数的求导法那么二、反函数的求导法那么,)(1 )(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且有且有, ,内也可导

6、内也可导在区间在区间那末它的反函数那末它的反函数, ,且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数定理定理或或dydxdxdy1 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .于是有于是有,1yxxy 连连续续, ,)(1xfy , 0lim0 yxxyxfx 01lim )(.)(11lim0yfyxy ,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给的的单单调调性性可可知知由由)(1xfy , 0 y), 0(xIxxx 证证例例6 6.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0co

7、s)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI.11)(arccos2xx 同理可得同理可得)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x )(arcsin x;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc, 0ln)( aaayy且且内内有有, ,在在), 0( xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特别地特别地.1)(lnxx 的导数.的导数.求函数求函数xyalog 例例7 7, ,内内单单调调、可可导导在在),( yyIax解解三、复合函数的求导法那么三、复合函数的求导法那么定理定理).()()()()()(0000000 xufdxd

8、yxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导,可导,在点在点则复合函数则复合函数, ,可导可导在点在点而而, ,可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法那么链式法那么) )证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 推行推行)

9、,(),(),(xvvuufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy 例例8 8.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .dxdvdvdududydxdy 例例9 9 求求,12sin2xxy dxdy解解212sinxxy 可看作由可看作由 复合而成，复合而成，212,sinxxuuy 2222222222212cos)1()1(2)1()1(2)1()2()1(2cosxxxxdxdyxxxxxdxduududy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy22222222

10、22121xaaxaxxa .22xa 例例1010. .的的导导数数求求函函数数axaxaxyarcsin22222 )0( a例例1111的的导导数数. .求求函函数数)2(11ln32 xxxy解解),1ln(31)1ln(212 xxy)1(31211212 xxxy)1(3112 xxx例例1212的导数.的导数.求函数求函数xey1sin 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例13 13 求求 ),cos(lnxey dxdy解解)tan()()cos()sin( )cos()cos(1 )cos(lnxxxxxxxx

11、eeeeeeeedxdy 四、根本求导法那么与导数公式四、根本求导法那么与导数公式1.1.常数和根本初等函数的导数公式常数和根本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.2.函数的和、差、积、商的求导法那函数的和、差、积、商的求导法那么么设设)(),(xvvxuu 都可导，那么

12、都可导，那么1 vuvu )(, 2uccu )(3vuvuuv )(, 4)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.3.反函数的求导法那么反函数的求导法那么,)(1 )(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且且有有, ,内内也也可可导导在在区区间间那那末末它它的的反反函函数数, ,且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间设设函函数数或或dydxdxdy1 4.4.复合函数的求导法那复合函数的求导法那么么).()()()()()()(),(xgufxydxdududydxdyxgfyxgufxguufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数都可导,都可导,及及且且而而设设双曲函数及反双曲函数的求公式双曲函数及反双曲函数的求公式shxy )(21)( xxeeshxy)(21xxee .chx chxshxthx xchxshxchthx222)( chxshx )(于是于是shxchx )(同理可得同理可得xchthx21)( 即即)1ln(2xxarshx )11(1122xxxx 211x 221)1()(xxxxarshx 同理同理112 x)( archx211x )( arthx解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1cosh