FD二维圆柱散射

1、基于fdtd的PML的TM波散射和mur边界的TE波散射组员：樊家伟、黄登祥、袁一粟、江亚男、陈永炜我们的任务? 1、没有吸收边界条件下的TM波同轴圆柱散射；? 2、PML吸收边界条件下的TM波同轴圆柱散射；? 3、Mur吸收边界条件下的TE波圆柱散射。1、二维FDTD基本原理重写Maxswell方程组?D1? ? H?t?0?0*rD?=? ?E? ? ?H1? ? ? E?t?0?0二维Maxswell方程组标量方程H?H?D1?yxz?t?x?y?0?0?D?=?E? ? ? ? ?zz*r?HxE1?z?t?0?0?y?Hy?Ez?t?0?0?x1对时间和空间差分后，迭代公式对时间和空

2、间差分后，迭代公式1?tnnD?i, j ? Di, j ?Hi ?1/ 2, j ? Hi ?1/ 2, j? ?y?y?x?00n?1/2zn?1/2z1?tnn?Hi, j?1/ 2 ? Hi, j?1/ 2?x?x?y?001?tn?1/2n?1/2Hi, j ? Hi, j ?Ei, j?1 ? Ei, j?z?z?y00n?1xnx?1?tn?1/2n?1/2Hi, j ? Hi, j ?Ei ? 1, ji, j?E?z?z?x00n?1yny?n?1/2n?1/2nnDi, j ? Di, j ? 0.5 Hi?1/ 2, j ? Hi?1/ 2, j? ? ?y?zzynn?

3、 0.5 Hi, j?1/ 2 ? Hi, j?1/ 2?x?xn?1nn?1/2n?1/2Hi, j ? Hi, j ?0.5 Ei,1j? Ei, j? ? ?xxzz?n?1nn?1/2n?1/2Hi, j ? Hi, j ?0.5 Eij?1,? Ei, j? ? ?yyzz?2、完全匹配层基本原理完美匹配层（Perfectly matched Layer, PML）是由Berenger 提出的，使用最为灵活、广泛的一种ABC（Absorbing Boundary Conditions）。其基本原理是：电磁波的反射量由两个介质的波阻抗决定：?A?B?A?B其中? ?2.1 在X 方向上

4、实现PML（仅仅保留与X 方向有关的F* 、 F* ）?H?H1?y?xj?D?x?x?y?00?*zFz?Ezj?H?xc? ?0?y*xFx将F* 、 F*带入到左式?H?H() x ?y?xDj?D1? c?z?0?x?y?0?j?(x)?EDzj?H1? ?c?x?0?y0?j?(x)?EDzj?H1? c?y0j?x0?1?Ezj?H?x? c0?x*yFy(1)(2)(3)注意到： H x方向上的磁导率与 H y方向上的磁导率互成倒数。因此，满足了PML 的第二个条件。?H?H(x)?y?xj?D1? c?z?0?x?y?0?j对(1)式左边进行差分?() x() x ?Dj?D1

5、? j?DD?z?z?z?0?0?j时域?Dz?D(x)?Dz?t?0n?1/2n?1/2n?1/2n?1/2Di, j ? Di, jDi, j ? Di, j?(i)z? ?z?z? ?z? ?D?t20?D?n?D?(i)?t(i)?t11?1/2? Di, j1? Di, j1? ?z?t?t0?0?2?2n?1/2z?H?H(x)?y?xj?D1? c?z?0?x?y?0?jnn?Di, j ? gii 3Di, j ? gii 20.5 Hi ?1/2, j ? Hi?1/2, j? ? ?yy?nn?Hi, j?1/2 ? Hi, j?1/ 2?xx?n?1/2zn?1/2z其中

6、?t1c0?x21gi2 i ?1?i ?t/?2?D01?i ?t/?2?D0gi3 i ?1?i ?t/?2?D0?(x)?EDzj?H1? c?0y?j?x0?(2)式同理11n?n?1111?n?1n22Hi?, jfi3 i?Hi?, jfii 20.5 Ei?1, jE?i, j?yyz?z?2222?其中?t1c0?x21?1 ?fi2 i?1 ?2 ?1?i?t/?2?D0?2 ?1 ?1?D?i?t/?2?0?2?1 ?fi3?i?2?1?i?1 ?0?t/?2D?2?(x)?EDzj?H1? ?c?x?0?y0?j?1(3)式1?1?1?n?H?i, j? Hurl _ex

7、?i, j?c2?2?2?1 ?n?1/2? fi1?i?IHx?i, j?2?n?1x其中curl _e? Ei, j ? Ei, j?1?n?1/2zn?1/2x11?n?1/2I?ij ,? Iij ,? curl_eHx?22?n?1/2Hx?t?D?i?fi1?i?2?0c0?t? 0.5?x引进辅助参数?t?Dxn?2?0随着电磁波进入到 PML，该参数是增大的。?ixni.333? 0?ength_ pm l?l3i=1,2, length_pml1gi2?i?1? xn?i?1? xn?i?gi3?i?1? xn?i?1,0.75?1,0.5?0,0.333?fi1?i?注意到

8、参变量 i/length_pml的变化范围是从0 到1，而权值0.333 是保持稳定状态的最大值2.2 在y 方向上实现PML(1)?H?H(x)() yy?xDDj?1?1?D ? c?z0?x?y?00?j?j? ?() x()y ?EDDzj?H1?1? ?c? ?0 x?j?y0? ?0?j?() x ?() y ?EDDzj?1?1?H ? c?y0?x0?0?j?j?1?1(2)(3)?H?(1)H(x)() yy?xDDj?1?1?D ? c?z0?x?y?00?j?j?n?1/2n?1/2Di, j ? gi3 i gj3 j Di, j? ?z? ?znn? gi2 i gj

9、2 j 0.5 Hi1/2, j ? Hi1/ 2, j?yy?nn?Hi, j?1/2 ? Hi1/ 2?x?, j?x? ?() x() y ?EDDzj?H1?1? ?c(2)? ?0 x?j?y0? ?0?j?111?1 ?n?1?1 ?H?i, j? fj3Hi, j?fj2curl _ex?j?j?22?2?2?2?1?n?1/2? fi1 i Ii, j?Hx?2?n?1x其中curl _e? Ei, j ? Ei, j?1?n?1/2zn?1/2x11?n?1/2I?ij ,? Iij ,? curl_eHx?22?n?1/2Hx?t?D?i?fi1?i?2?0c0?t? 0.

10、5?x?() x ?() y ?EDDzj?1?1?H ? c?y0?x0?0?j?j?1(3)Hn?1y?1?1?n?1?i?, j? fi3?i?Hy?i?, j?2?2?2?1? fi2?i?0.5curl_e?2?1?1 ?n?/12? fi1?i?0.5IHy?i?, j?2?2?其中curl _e? Ei, j ? Ei, j?1?n?1/2xn?1/2x11?n?1/2I?ij , ? Iij , ?curl _eHy?22?n?1/2Hy?源程序?clear all；clc;%设置网格数IE = 101; % x 方向网格100,实际有101个点JE = 101; % y 方向

11、网格多少%设置圆柱中心ic = round(IE / 2);jc = round(JE / 2);%总场区区域ia=15;ib=IE-ia+1;ja =15;jb=JE-ja+1;%初始化设置ddx = .01; %空间网格大小，x 方向和y 方向网格大小相同dt = ddx / 6e8; %时域网格大小epsz = 8.8e-12; %介电常数epsilon=30; sigma=0.3;pi = 3.13159; %常数PIc=3e8;?%初始化系统变量dz = zeros(IE,JE); %电场通量Dhx = dz; %x 方向磁场强度hy = dz; %y 方向磁场强度ihy = dz;

12、 %用于中间变量ihy，是用来计算磁场强度的，是curl_e 的积分ihx = dz; %用于中间变量ihy，是用来计算磁场强度的，是curl_e 的积分ga = ones(IE,JE); %电场强度与D 之间的关系矩阵，gb=zeros(IE,JE);iz=gb;real_pt=gb;imag_pt=gb;real_in=0;imag_in=0;amp=zeros(JE,1);%由于做了归一化，同时在真空中，因此ga 为1?%初始化变量ez_inc=zeros(JE,1);hx_inc=ez_inc;hy_inc=ez_inc;ez_inc_low_m1=0;ez_inc_low_m2=0;

13、ez_inc_high_m1=0;ez_inc_high_m2=0;radius = 15;epsilon=10;%越大衰减越大sigma=0.3;%越大衰减越大for j=ja:jbfor i=ia:ibxdist=ic-i;ydist=jc-j;dist=sqrt(xdist*xdist+ydist*ydist);if(dist=radius)ga(i,j)=1./(epsilon+(sigma*dt/epsz);gb(i,j)=sigma*dt/epsz;endendend?%内圆radius1 = 10;epsilon1=1000;sigma1=10;for j=ja:jbfor i=

14、ia:ibxdist=ic-i;ydist=jc-j;dist=sqrt(xdist*xdist+ydist*ydist);if(dist=radius1)ga(i,j)=1./(epsilon1+(sigma1*dt/epsz);gb(i,j)=sigma1*dt/epsz;endendend?%输入PML Cell 个数，即PML 有多少个单元网格，在此，x 方向和y 方向上的PML 网格相同?npml = input(Please input the number of PML Cell: );?%x 方向用*i*表示，一方向用*j*表示?%x 方向上的PML 参数设置?for i =

15、1:npml?xnum = npml -i + 1; %从npml 到0?xd = npml;?xxn = xnum / xd; %辅助变量xxn，从1 到03?xn = 0.33 * xxn3; %成立方衰减?i?gi2(i) = 1 / ( 1 + xn );xni0.333?ength_ pm l?gi2(IE-i+1) = 1 / ( 1 + xn );?l?gi3(i) = (1 - xn) / (1 + xn);?gi3(IE-i+1) = ( 1 - xn ) / ( 1 + xn );?xxn = ( xnum - 0.5 ) / xd;?if(xxn0)?break;?end

16、?xn = 0.33 * xxn3;fil(i) = xn;fil(IE-i+1) = xn;fi2(i) = 1 / ( 1 + xn );fi2(IE-i+1) = 1 / ( 1 + xn );fi3(i) = ( 1-xn ) / ( 1 + xn );fi3(IE-i+1) = ( 1 - xn ) / ( 1 + xn );end;%y 方向上的PML 参数设置for j = 1:npml+1xnum = npml - j + 1;xd = npml;xxn = xnum / xd;xn = 0.33 * xxn3;gj2(j) = 1 / ( 1 + xn );gj2(JE+1-

17、j) = 1 / ( 1 + xn );gj3(j) = ( 1 - xn ) / ( 1 + xn );gj3(JE-j+1) = ( 1 - xn ) / ( 1 + xn );xxn = ( xnum - 0.5 ) / xd;?if(xxn0)breakendxn = 0.33 * xxn3;fj1(j) = xn;fj1(JE-j+1) = xn;fj2(j) = 1 / ( 1 + xn );fj2(JE-j+1) = 1 / ( 1 + xn );fj3(j) = ( 1 - xn ) / ( 1 + xn );fj3(JE-j+1) = ( 1 - xn ) / ( 1 + x

18、n );end;%高斯脉冲变量设置t0 = 40;spread = 10;T = 0;%输入nsteps 必须为正整数nsteps = input(Please input the number of nsteps );%设置循环次数，从常数可以得到空间和时间上的传输情况? for n = 1:nsteps?T = T+1;?for j=2:JE?ez_inc(j)=ez_inc(j)+0.5*(hx_inc(j-1)-hx_inc(j);?end?real_in=real_in+cos(2*pi*frequency*T*dt)*ez_inc(ja);?imag_in=imag_in-sin(

19、2*pi*frequency*T*dt)*ez_inc(ja);?%边界条件?ez_inc(1)=ez_inc_low_m2;?ez_inc_low_m2=ez_inc_low_m1;?ez_inc_low_m1=ez_inc(1);?ez_inc(JE)=ez_inc_high_m2;?ez_inc_high_m2=ez_inc_high_m1;?ez_inc_high_m1=ez_inc(JE-1);D?ij ,? gi3 i gj3 j D?ij ,? ?%计算D?gi2 i gj2 j 0.5 Hi1/2, j ?Hi1/2, j? ?for j = 2:JE?Hij1/2 ?Hij1

20、/2?, ?, ?for i = 2:IE?dz(i,j) = gi3(i) * gj3(j) * dz(i,j) + gi2(i) * gj2(j) * 0.5 * ( hy(i,j) - hy(i-1,j) - hx(i,j) + hx(i,j-1) );?end;?end;n?1/2zn?1/2znynynxnx?% 激励元 在此采用正弦波，频率为1.5G，可选为高斯脉冲?% hard source?%pulse_choice = input(Enter 1 for Gaussian, 2 for sine wave pulse: );?%if pulse_choice = 1?puls

21、e = exp( -0.5 * ( t0-T ) / spread ) 2 ) ;?%clear j;?%pulse=1;%exp(-j*omiga*ddx*T/c);?%dz(IE/2,JE/2) = pulse + dz(IE/2,JE/2);?%else?%pulse = sin( 2*pi*1500*1e6*dt*T);?ez_inc(10) = pulse;?%end;?for i=ia:ib?dz(i,ja)=dz(i,ja)+0.5*hx_inc(ja-1);?dz(i,jb)=dz(i,jb)-0.5*hx_inc(jb);?end?%计算Efor j = 1:JEfor i

22、= 1:IEez(i,j) = ga(i,j) * (dz(i,j)-iz(i,j);iz(i,j)=iz(i,j)+gb(i,j)*ez(i,j);end;end;%Set the Ez edges to 0, as part of the PMLfor j=1:JEez(1,j) = 0;ez(IE,j) = 0;end;for i = 1:IEez(i,1) = 0;ez(i,JE) = 0;end;for j=1:JE-1hx_inc(j)=hx_inc(j)+0.5*(ez_inc(j)-ez_inc(j+1);endfor j=1:JEfor i=1:IEreal_pt(i,j)=

23、real_pt(i,j)+cos(2*pi*frequency*T*dt)*ez(i,j);imag_pt(i,j)=imag_pt(i,j)-sin(2*pi*frequency*T*dt)*ez(i,j);endend?%计算Hxfor j = 1:JE-1for i = 1:IEcurl_e = ez(i,j) - ez(i,j+1);ihx(i,j) = ihx(i,j) + fi1(i) * curl_e;hx(i,j) = fj3(j) * hx(i,j) + fj2(j) * 0.5 * ( curl_e + ihx(i,j) );end; end;%修正场区域for i=ia:

24、ibhx(i,ja-1)=hx(i,ja-1)+0.5*ez_inc(ja);hx(i,jb)=hx(i,jb)-0.5*ez_inc(jb);end?%计算Hyfor j = 1:JEfor i = 1:IE -1curl_e = ez(i+1,j) - ez(i,j);ihy(i,j) = ihy(i,j) + fj1(j) * curl_e;hy(i,j) = fi3(i) * hy(i,j) + fi2(i) * 0.5 * ( curl_e + ihy(i,j) );end;end;%修正场区域for j=ja:jbhy(ia-1,j)=hy(ia-1,j)-0.5*ez_inc(j

25、);hy(ib,j)=hy(ib,j)+0.5*ez_inc(j);end?%画图figure(1);surfc(1:IE,1:JE,ez)%surfc(ia:ib,ja:jb,ez(ia:ib,ja:jb)axis(0 IE 0 JE -0.2 1.)pause(.01);end;amp_in=sqrt(real_in2+imag_in2);for j=ja:jbif(ga(ic,j)=0右侧区域同时存在入射波和反射波叠加，此区域中有：式中设左行波右行波Engquist-Majda吸收边界条件?带入得定义微分算子注：保留对 x的导数?算子L做因式分解左行波算子右行波算子Engquist-Ma

26、jda吸收边界条件?将左行波算子作用在平面波上得若在 截断边界处设置条件行波（反射波）成分等于零。，相当于使截断截面处右?将算子具体表示代入上式得?作频域到时域的转换Engquist-Majda吸收边界条件?Engquist-Majda吸收边界条件（截断边界位于区域左侧）（截断边界位于区域右侧）?通过波动方程的因子分解获得直角坐标系下FDTD吸收边界的单向波动方程一阶和二阶近似吸收边界?算子中含有根式运算，限制了数值实现。做近似处理：?利用Taylor级数展开?重写左行波算子?保留级数第一项做近似这就是x=0平面作为区域左侧界面不产生反射波的一阶近似吸收边界条件。一阶和二阶近似吸收边界?保留级

27、数至第二项这就是x=0平面作为区域左侧界面不产生反射波的二阶近似吸收边界条件。?二阶近似比一阶近似吸收边界条件有所改善，残留反射波小。?Mur对表中的吸收边界条件引入了一种简单有效的差分数值算法，即对时间和空间的偏微分取二阶中心差分近似，将单向波方程离散化，便形成了Mur的一阶二阶吸收边界条件，其总体虚假反射在1%5%，能满足许多工程需求。Mur 吸收边界条件?对于二维电磁场问题，Mur指出二阶近似吸收边界可降低为只含E,H分量的一阶导数，从而使数值计算简化。?TM波二维直角坐标TM波将上式对t积分，并设初始场为0Mur 吸收边界条件?对于TE波，同理Mur二阶近似吸收边界条件比一阶近似多出一

28、项一阶导数。?Mur吸收边界条件的FDTD离散式?先看TM波的一阶近似Mur 吸收边界条件i?1/2，j)及t? (n?1/ 2)?t作离散? 将上式在(EZ? 利用下式线性插值关系消去Mur 吸收边界条件?将上式带入，再带入得?整理后得到TM波边界条件的一阶近似?对照Yee元胞图可知位于左截断边界上的EZ节点值是用区域内部节点值及前一时刻边界上的节点值来表示，不涉及截断边界以为的场量。Mur 吸收边界条件?对于TM波的Mur吸收边界条件二阶形式，比一阶多一项离散式线性插值?整理后得吸收边界的离散式：Mur 吸收边界条件?TE波一阶二阶吸收边界条件可类似推导得到Mur 吸收边界条件?对于二维TM波情况，电磁场除了EZ还有Hx、 。Hy由图可知，在用FDTD计算边界处的TM波元胞时并不会涉及截断边界以外E或H的节点。EZ只有涉及截断边界外侧的H节点。因此只需给出边界处切向场分量的吸收边界条件。Hz?对TE波同理只需的边界。Mur 吸收边