专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版）

1、专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版） 专题十六 三角恒等变换、三角函数的应用 知识精讲 一 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 三角恒等变换、 三角函数的应用 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值、化简 角的范围 三角函数图象变换 左右平移 由图象求函数的解析式 五个关键点 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题 公式运用及三角函数的图象与性质 二 二. 学法指导 1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值 2.

2、给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ()； 2 2； 2()()； 2()(). 3已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 4.辅助角公式及其运用 (1)公式形式：公式 asin bcos a 2 b 2 sin()(或 asin bcos a

3、2 b 2 cos()将形如 asin bcos (a，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角 的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 5.公式 t () 的结构特征和符号规律： (1)结构特征：公式 t () 的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和 (2)符号规律：分子同，分母反 6利用公式 t ( ) 求角的步骤： (1)计算待求角的正切值 (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息 (3)根据角的范围及三角函数值确定角 7.公式 t

4、() 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tan 4 1，tan6 33，tan 3 3等. 要特别注意tan èæøö4 1tan 1tan ，tan èæøö4 1tan 1tan . 8.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用"两头凑'的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： 先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； 本着"复角化单角'

5、"异名化同名'"变换式子结构'"变量集中'等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 9.化简问题中的"三变' (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等 10.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成 yasin xbcos xk 的形式，

6、借助辅助角公式化为 yasin(x)k(或 yacos(x)k)的形式，将 x 看作一个整体研究函数的性质. 11.应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. (2)注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质，寻找数量关系.注意实际问题中变量的范围.重视三角函数有界性的影响. 12.由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yasin(x)(a0，0)的图象，其变化途径有两条： (1)ysin x相位变换ysin(x)周期变换ysin(x) 振幅变换yas

7、in(x) (2)ysin x周期变换ysin x相位变换ysin ëéûù èæøöx sin(x)振幅变换yasin(x) 13.确定函数 yasin(x)的解析式的关键是 的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入 此时 a， 已知)或代入图象与 x 轴的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 . (2)五点法：确定 值时，往往以寻找"五点法'中的第一个零点 èæøö ，0 作为突破口."五点'的 x

8、的值具体如下：,"第一点' 即图象上升时与 x 轴的交点 为 x0；,"第二点' 即图象的"峰点' 为 x 2 ；,"第三点'即图象下降时与 x 轴的交点 为 x；,"第四点' 即图象的"谷点' 为 x 32；,"第五点'为 x2. 14.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 yasin(x)和余弦型函数 yacos(x)不一定具备奇偶性对于函数 yasin(x)，当 k(kz)时为奇函数，当 k 2 (kz)时为偶函数；对于函数 yacos(x)，当 k(kz)

9、时为偶函数，当 k 2 (kz)时为奇函数 15与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)确定函数 yasin(x)(a0，0)单调区间的方法：采用"换元'法整体代换，将 x 看作一个整体，可令"zx'，即通过求 yasin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间 16.解三角函数应用问题的基本步骤 三 三. 知识点贯通 知识点 1 给角求值问题 公式：cos()cos_cos_sin_sin_ cos()cos_cos_sin_sin_ s

10、in()sin_cos_cos_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin 22sin_cos_ cos 2cos 2 sin 2 tan 22tan 1tan 2 例 1.(1)cos 1312的值为( ) a.6 24 b.6 24 c.2 64 d6 24 (2)求值：cos 75cos 15sin 75sin 195； (1)【答案】d 【解析】cos 1312cos èæøö12cos12 cos èæøö4 6cos 4 cos6 sin4 sin6 22322212 6 24. (2

11、)【解析】cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015) cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60 12 . (3)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为( ) a32 b 12 c.12 d.32 (4)若 是第二象限角且 sin 513 ，则 cos(60)_. (5)求值：(tan 10 3) cos 10sin 50. (3)【答案】d 【解析】(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50， 原式cos 70sin 50(si

12、n 70)cos 50sin(5070)sin 12032. （4）【答案】 125 326 【解析】 是第二象限角且 sin 513 ，cos 1sin 2 1213 ， cos(60) 12 cos 32sin 12 èæøö 121332 513 125 326. (5)【解析】 原式(tan 10tan 60) cos 10sin 50 èæøösin 10cos 10 sin 60cos 60cos 10sin 50 sin(50)cos 10cos 60cos 10sin 502. （ （6 ）cos

13、7 cos37cos 57的值为( ) a. 14 b14 c.18 d18 (7)求下列各式的值： cos 4 15sin 4 15； 1tan2 75tan 75 （6）【答案】d 【解析】cos 37cos 47，cos 57cos 27， cos 7 cos37cos 57cos 7 cos27cos 478sin 7 cos7 cos27cos 478sin 7 4sin 27cos 27cos 478sin 72sin 47cos 478sin 7sin 878sin 7 18 . (7)【解析】cos 4 15sin 4 15(cos 2 15sin 2 15)(cos 2 15

14、sin 2 15)cos 2 15sin 2 15cos 3032. 1tan2 75tan 7521tan 2 752tan 75 21tan 1502 3. 知识点二 给值求值、求角问题 公式：cos()cos_cos_sin_sin_ cos()cos_cos_sin_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ 题 例题 2 ：(1)已知 sin sin 132，cos cos 12 ，则 cos()( ) a32 b 12 c.12 d.32 (2)已知 sin èæøö3 1213 ， &#

15、232;æøö6 ，23，求 cos 的值 (1)【答案】d 【解析】因为 sin sin 132， 所以 sin 2 2sin sin sin 2 èæøö1322 ， 因为 cos cos 12 ，所以 cos2 2cos cos cos 2 è æøö122 ， ，两式相加得 12cos()11 3 34 14 所以2cos() 3 所以 cos()32. (2)【解析】 èæøö6 ，23， 3 èæø

16、46;2 ， ， cos èæøö3 1sin 2 èæøö3 1 èæøö12132 513 . èæøö3 3 ， cos cos ëéûùèæøö3 3cos èæøö3 cos3 sin èæøö3 sin3 513 12 1213 32 12 3526. （3）已知 c

17、os 55，sin()1010，且 ， èæøö0， 2.求：cos(2)的值； 的值 (3)【解析】 因为 ， èæøö0， 2， 所以 èæøö 2 ，2，又 sin()10100， 所以 0 2 ， 所以 sin 1cos 2 2 55， cos() 1sin 2 () 3 1010， cos(2)cos()cos cos()sin sin() 553 1010 2 551010210 . cos cos()cos cos()sin sin() 553 1010 2 5

18、5101022， 又因为 èæøö0， 2，所以 4 . （4）已知锐角 ， 满足 cos 2 55，sin() 35 ，求 sin 的值 【解析】 因为 ， 是锐角，即 0 2 ，02 ，所以2 2 ， 因为 sin() 35 0，所以 cos()45 ， 因为 cos 2 55，所以 sin 55， 所以 sin sin()sin cos()cos sin()5545 2 5535 2 55. （ （5 ）已知 cos èæøö 4 35 ，2 32，求 cos èæøö

19、2 4的值； (5)【解析】 2 32， 34 4 74. cos èæøö 40， 32 4 74， sin èæøö 4 1cos 2 èæøö 4 1 èæøö352 45 ， cos 2sin èæøö2 22sin èæøö 4cos èæøö 42èæøö 4535

20、2425 ， sin 2cos èæøö2 212cos 2 èæøö 412èæøö352 725 ， cos èæøö2 422cos 222sin 222èæøö 242522 725 31 250. 知识点三 辅助角公式的应用 辅助角公式：asin xbcos x a 2 b 2 sin(x)，其中 èæøötan ba 题 例题 3 .(1)sin

21、12 3cos12 _. (2)已知 f(x) 3sin xcos x，求函数 f(x)的周期，值域，单调递增区间 (1)【答案】 2 【解析】原式2 èæøö12 sin12 32cos12. 法一：(化正弦)原式2 èæøöcos 3 sin12 sin3 cos12 2 èæøösin12 cos3 cos12 sin32sin èæøö12 32sin èæøö 4 2. 法二：(化余弦)

22、原式2 èæøösin 6 sin12 cos6 cos12 2 èæøöcos 6 cos12 sin6 sin122cos èæøö6 122cos 4 2. (2)【解析】 f(x) 3sin xcos x2 èæøösin x32cos x122 èæøösin xcos 6 cos xsin6 2sin èæøöx 6， t 2 2，值域2,2 由

23、 2 2kx6 2 2k，得递增区间 ëéûù 3 2k，232k ，kz. 知识点四 两角和与差的正切公式的运用 两角和与差的正切公式 tan()tan tan 1tan tan tan()tan tan 1tan tan 题 例题 4 (1)已知 ， 均为锐角，tan 12 ，tan 13 ，则 _. (1)【答案】 4 【解析】tan 12 ，tan 13 ， tan()tan tan 1tan tan 12 131 12 131. ， 均为锐角，(0，)， 4 . (2) 1tan 151tan 15_. (3) 1 3tan 753tan 75

24、_. (2)【答案】 3 【解析】原式tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)tan 60 3. （3）【答案】1 【解析】原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75 tan(3075)tan 451. 知识点五 恒等变换与三角函数图象性质的综合 例 5.已知函数 f(x) 3cos èæøö2x 32sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期 (2)求证：当 x ëéûù 4 ，4时，f(x) 12 . 【解析】(1)f(x)

25、3cos èæøö2x 32sin xcos x32cos 2x 32 sin 2xsin 2x12 sin 2x32cos 2xsin èæøö2x 3，所以 t 22. (2)证明：令 t2x 3 ，因为4 x4 ， 所以 6 2x3 56， 因为 ysin t 在 ëéûù 6 ，2上单调递增，在 ëéûù2 ，56上单调递减， 所以 f(x)sin èæøö 6 12 ，得证 知识点六 三

26、角函数图象之间的变换 1. 对 ysin(x)，xr 的图象的影响 2(0)对 ysin(x)的图象的影响 3a(a0)对 yasin(x)的图象的影响 例 6.(1)将函数 y 2cos èæøö2x 3的图象向左平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为_ (2)将 ysin x 的图象怎样变换可得到函数 y2sin（2x 4 ）1 的图象？ (1)【答案】y 2cos 2x3 【解析】y 2cos èæøö2x 3的图象向左平移 3 个单位长度， 得 y 2cos ë&#

27、233;ûù2 èæøöx 3 3 2cos(2x) 2cos 2x， 再向下平移 3 个单位长度得 y 2cos 2x3 的图象 (2)【解析】 法一：(先伸缩法)把 ysin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到y2sin x 的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y2sin 2x 的图象；将所得图象沿 x 轴向左平移 8 个单位，得 y2sin 2 èæøöx 8的图象； 将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位， 得 y2sin è

28、30;øö2x 41 的图象 法二：(先平移法)将 ysin x 的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位，得 ysin èæøöx 4的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y sin èæøö2x 4的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y2sin èæøö2x 4的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin èæøö2x 41 的图象 知识点七 已知函

29、数图象求解析式 例 7.已知函数 f(x)acos(x)b èæøöa0，0，| 2的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析 式为( ) ay2cos èæøöx2 44 by2cos èæøöx2 44 cy4cos èæøöx2 42 dy4cos èæøöx2 42 【答案】a 【解析】由函数 f(x)的最大值和最小值得 ab6，ab2，所以 a2，b4， 函数 f(x)的周期为 

30、5;éûù2 èæøö 244，又 0， 所以 12 ，又因为点 èæøö2 ，6 在函数 f(x)的图象上 所以 62cos èæøö12 2 4，所以 cos èæøö4 1， 所以 4 2k，kz，所以 2k4 ，kz，又|2 所以 4 ，所以 f(x)2cos èæøö12 x44. 知识点八 三角函数图象与性质的综合应用 例 8 (1)已知函数 f(x)si

31、n èæøöx 3(0)，若 f èæøö6f èæøö3，且 f(x)在区间 èæøö6 ，3上有最小值，无最大值，则 ( ) a. 23 b.143 c. 263 d. 383 (2)已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 r 上的偶函数，其图象关于点 m èæøö34，0 对称，且在区间 ëéûù0， 2上是单调函数，求 和 的值 (1)【答案】b

32、 【解析】因为 f èæøö6f èæøö3，所以直线 x6 32 4 是函数 f(x)图象的一条对称轴， 又因为 f(x)在区间 èæøö6 ，3上有最小值，无最大值， 所以当 x 4 时，f(x)取得最小值 所以 4 3 2k2 ，kz，解得 8k103，(kz) 又因为 t 2 3 6 6 ，所以 12，又因为 0， 所以 k1，即 8 103 143. (2)【解析】 由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， f(x)在 x

33、0 时取得最值，即 sin 1 或1. 依题设 0，解得 2 . 由 f(x)的图象关于点 m 对称，可知 sin èæøö34 20，即 34 2 k，解得 4k3 23 ，kz. 又 f(x)在 ëéûù0， 2上是单调函数，所以 t，即 2 . 2，又 0，k1 时， 23 ；k2 时，2. 故 2 ，2 或23 . 知识点九 三角函数模型的实际应用 例 9.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0t24，记 yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.