函数值域的求法大全

1、函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值12例1已知f(x)=-(xR,且XM1),g(x)=x+2(xR).1十(1)求f(2),g(2)的值；求fg(3)的值.S S上上1上上11解 f(x)二1十， f(2)二苹二3.2又g(x)=x十2, g(2)=22十2=6.(2)vg(3)=32+2=11,一r1 1-fg(3)=f(11)=1十11=佗反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f g(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意fg(x)与gf (x)的区别.十1跟踪训练4已知函数f(x)=齐.(1)求f(2)；

2、(2)求ff(1).x+12+1 3解；f(x)二XT2，二f(2)二2T2二4.2+1r1+12r235f(1)二1+2=3,ff二f(3)二2二8.3+ +2_ 25.已知函数f (x)=x+x-1.1求f(2),f(x)；若f(x)=5,求x的值解f(2)=22+2-1=5,21111+x-xf ( )= p+ 1=2-.x x xx(2) f(x)=x2+x1=5,. x+x6=0,I x=2,或x= 3.4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,贝Uf(5)=_答案6解析f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f (1)+1=3,f (3)=f

3、 (2)+1=4,f (4)=f (3)+1=5,f (5)=f(4)+1=6.、值域是函数y=f（x）中y的取值范围常用的求值域的方法：（I） 直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（II）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R,值域为R;ky -（k 0）反比例函数X的定义域为x|x0，值域为y|y 0;二次函数f (x) ax2bxc（a 0）的定义域为R,y

4、 | y当a0时，值域为2 2(4ac b ). (4ac b )y | y4a；当a0,. y1- 12rx丿2当x0时，则当x时，其最小值ymin2a(4ac b2)；4a当a0)时或最大值(a0,故3+.2 3x3。函数的值域为3,.2、求函数y x22x 5 , x 0,5的值域X1时,ymin4解： 对称轴 X 10,5X 5 时,ymax20值域为 4,201单调性法例3求函数y=4x1 3x(x1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=.1 3x,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1 3x在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3

5、)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y3)2换元法例4求函数 y x 2 ,1 x 的值域解：设 一 1 x t，则 yt22t 1 (t 0)点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=.X 1 x的值域。(答案：y|y-3/4求1sin xcosx的值域;sinx cosx(3)若题目中含有.1 x2，则可设x cos，其中0 (4)若题目中含有.1 x2，贝U可设x tan，其中(三角换元法)求函数yx 1 x2的值域解：1 x 1设 x cos0,

6、小结：(1)若题目中含有 a1，则可设a sin或设acos ,0(2)若题目中含有a2b21贝U可设a cos ,b sin，其中0(5)若题目中含有x y r (x Qy Qr 0,则可设 x jFcoS ,y *rsin 其中3平方法（选）求函数 y x 3. 5 x 的值域解：函数定义域为：x 3,54分离常数法x 1例6求函数y 的值域由y 1己1，可得值域yy1小结：已知分式函数y聲丄（c Q），如果在其自然定义域（代数式自身对变量的cx d要求）内，值域为yy旦；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采cb ad用部分分式法将原函数化为ya （adbe），用复合函数法来求值域。

7、c cx d练习求函数y和的值域x求函数y=+的值域；（y（-1，1）x2 1求函数y3x3x1的值域例7求y X 3 x 1的值域4, x 1解法一：（图象法）可化为 y 2 2x ,1 x 34, x 3练习：y x x 1的值域1,解：（换元法）令t x22x （x 1）21，则 y(t1)如图,-1 0 1观察得值域解法二：（不等式法）x 3 |x 1 (x 3) (x 1) 4x 3 x 1 (x 1) 4 x 1-4同样可得值域4求函数y 9x3x2 (x0,1 ）的值域解：（换元法）设3xt，贝U 1 t 3原函数可化为1解法一：（逆求法）X2J 01 y 11 y解法二：（换元

8、法）设X21 t，则解法三：（判别式法）原函数可化为（y 1）x20 x y 1 01)y 1时不成立2)y 1时，00 4(y 1)(y 1)01 y 1综合1)、2)值域y| 1 y 1解法四：（三角换元法）xR设x tan-,-，则原函数的值域为y| 1 y 11）y 0时，不成立2)y 0时,3x1 13x例13函数yx21x21的值域例14求函数y52x24x3的值域解法一：（判别式法）化为2yx24yx （3y 5） 0综合1）、2）值域y|0 y 5解法二：（复合函数法）令2x24x 3 t，则y5t0 y 5所以，值域y|0 y 5i例15函数y x - 1的值域x2解法一：（

9、判别式法）原式可化为x d y）x 10解法二：（不等式法）1）当x 0时，x -2 y 3x综合1）2）知，原函数值域为，1 3,2解法二：（不等式法）原函数可化为y（xx1）11 x 1x1!2（x 1）当且仅当x 0时取等号，故值域为 2,1x (x)人22)x 0时，x(x)y 1例16 （选）求函数yx22x 2x 1(x1）的值域解法一：（判别式法）原式可化为x2(2 y)x 2 y 01例17(选)求函数yx22x 2x 1x 2）的值域解：（换元法）令x 1 t，则原函数可化为y t1（ 1 t 3） ooo小结：已知分式函数y巧bx c（a2d20），如果在其自然定义域内可采

10、用判别dx ex f式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以 化为二次式（或（选）y一次式（或E y一次式）的形式，米用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数ay x （x 0）的单调性去解。x利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式 求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别 式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据2例1、求函数y -x的值域

11、x2x 1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。2解：由y斗一得：2x 12(y-1)x+(1-y)x+y=0上式中显然y1,故式是关于x的一元二次方程用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验x2x 1例：求函数y二的值域。2x22x 3错解：原式变形为(2y 1)x2(2y 1)x (3y 1)0(*)231 x R ,(2y 1)24(2y 1)(3y 1)0，解得-y -。10 23 1故所求函数的值域是U10

12、21 1 1错因：把y1代入方程(*)显然无解，因此y1不在函数的值域内。事实上，y；时，方程(*)的二次项系数为0,显然不能用“ ”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为(2y 1)x2(2y 1)x (3y 1)0(*)1(1) 当y 2时，方程(*)无解；综合(1)、(2)知此函数的值域为 辽丄)10 2二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化131(2)当y时，Tx R，二(2y 1)24(2y 1)(3y 1) 0，解得 扁y -。x24x 3例2:求函数yX23的值域。x x 6错解：将函数式化为(y 1)x2(y 4)x (6y 3)0(1) 当y 1时，代入上式得3x 90，

13、二x 3，故y 1属于值域；(2) 当y 1时，(5y 2)20,综合(1)、(2)可得函数的值域为y R。错因：解中函数式化为方程时产生了增根(x 3与x 2虽不在定义域内，但是方程的根)，因此最后应该去掉x 3与x 2时方程中相应的y值。所以正确答案为y|y 1，且y自。5三、注意变形后函数值域的变化例3:求函数y x .1 x2的值域。错解：由已知得y x 1 x2，两边平方得(y x)21 x2整理得2x22yx y210，由(2y)28(y21)0，解得 2 y 2。故函数得值域为-2,22 9 11(或利用对勾函数图像错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了y的取值范围易知y x 1，

14、因此函数得最小值不可能为.2。：x 1时，y 1, ymin1，故函数的值域应为1, . 2。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例4:求函数 y 二4的值域。x 5- t错解：令t、x24，则y二 ，Ayt t y 0，由1 4y 0及y 0得值t 1域为y (0,。错因：解法中忽视了新变元t满足条件t 2。二设f(t) yt2t y , y 0 , t 2,)，0,y 0综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从 而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须 考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是

15、否符合要求。练习:1211、y x29(x0)；x由函数得定义域为1,1f0或f (2) 012y2 20 y5。故函数得值域为(。5解：x 0，y2x ! 9(x I)211，Ay 11xx2 9 11(或利用对勾函数图像另外，此题利用基本不等式解更简捷：y x24 9x法)52x24x 30SIMM建y一叭oy-0y氛一二WWSWOO(二)COSXS8淡達ySinX3古釜M。fS8MM建ysinxcosx3y全sinx(x) -君5XRsinx(x)二三3y紡向i-Hy-I2&1ss05446USa9淡達 y2X5_og;x二2X10)3叫M。解：令yi2x5,y2log3.x 1则yi，

16、y2在2,10上都是增函数 所以y yiy2在2,10上是增函数yi23in当x=2时，log3.2 1185当X=1（时，ymax2log3、933,33故所求函数的值域为：8例10.求函数y x 1x 1的值域。y解:原函数可化为：2一x 1. x 1令ylX 1，y2x 1，显然y1，y2在1，上为无上界的增函数所以y y1，y2在1,上也为无上界的增函数-2丘所以当x=1时，y y1y2有最小值2，原函数有最大值2显然y 0，故原函数的值域为(27.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换 元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数y x x 1的值域。解:令x 1 t，(t 0)则X t12X又t0,由二次函数的性质可知当t 0时，ymin1当t 0时，y故函数的值域为1，）2解：因1（X1）即（X1）2故所求函数的值域为0,1 23X Xy -例13.求函数x42X21的值域。1 2Xy二2解：原函数可变形为：2 1X(t故可令X1 cos0,-y cos1. 1 cos2sincos例12.求函（X1）2的值域。2X1 X22X22cos2Xt上务Sin 2 )可令X tg，j则有1X1k1ymax当2