数学物理方程学习指导书第8章贝塞尔函数

1、第8章 贝塞尔函数本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例.81 贝塞尔方程的求解在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以表示自变量，表示未知函数，则阶贝塞尔方程为 (8.1)其中为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现的项，所以在讨论时，不妨暂先假定设方程(8.1)有一个级数解，其形式为， (8.2)其中常数和可以通过把和它的导数代入(8.

2、1)来确定.将(8.2)及其导数代入(8.1)后得化简后写成要使上式成为恒等式，必须各个幂的系数全为零，从而得下列各式：由得，代入得.现暂取，代入得因为，由知而都可以用表示，即由此知(8.2)的一般项为是一个任意常数，取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把取作，这样选取可使一般项系数中2的次数与的次数相同，并可以运用下列恒等式使分母简化，这样选后，一般项的系数就整齐了 (8.3)以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类贝塞尔函数，记作 (8.4)至此，我们就求出了贝塞尔

3、方程的一个特解当为正整数或零时，故有 (8.5)取时，用同样方法可得(8.1)式另一特解 (8.6)比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把换成，即可得到(8.6)式，因此不论是正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.当不为整数时，这两个特解与是线性无关的，由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为 (8.7)其中为两个任意常数.当然，在不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与线性无关的特解，它与就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中

4、取则得到(8.1)的一个特解 整数） (8.8)显然，与是线性无关的，因此，(8.1)的通解可写成 (8.7)由(8.8)式所确定的函数称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数.82 当为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)式确定，当为整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当为整数时，与是线性相关的，事实上，我们不妨设为正整数（这不失一般性，因为负整数时，会得到同样的结果），则在(8.6)中，当时均为零，这时级数从起才开始出现非零项，于是(8.6)可以写成即与线性相关，这时与已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方

5、程的通解，还要求出一个与线性无关的特解.取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当为整数时(8.8)的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成(8.7)的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义. 在为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为 （=整数）. （8.9）由于当为整数时，所以上式右端的极限是形式的不定型的极限，应用洛必塔法则并经过冗长的推导（可参阅A.萨波洛夫斯基著特殊函数，魏执权等译，中国工业出版社出版），最后得到 (8.10)其中称为欧拉常数.根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与是线性无关的（因为当时，为有限值，而为无穷大）.综合上面所述，不论是否

6、为整数，贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为，其中为任意常数，为任意实数.83 贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节我们来建立反映这种联系的递推公式.首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在(8.5)中令及得：取出第一个级数的第项求导数，得 这个式子正好是中含这一项的负值，且知的第一项导数为零，故得关系式 (8.11)将乘以并求导数，又得 即 (8.12)以上结果可以推广，现将乘以求导数，得 即 (8.13)同理可得 (8.14)将(8.13)和(8.14)两式展开，并经过化简，则分别得及将这两式相减及相加，分别得到 (8.15) (8.16)以上

7、几式便是贝塞尔函数的递推公式.它们在有关贝塞尔函数的分析运算中甚为有用.特别值得一提的是，应有(8.15)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来.因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，则利用此表和(8.15)，即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值.第二类贝塞尔函数也满足与第一类贝塞尔函数相类似的递推公式. (8.17)作为递推公式的一个应用，我们来考虑半奇数阶的贝塞尔函数，先计算由(8.4)可得而 从而 (8.18)同理，可求得 (8.19)利用递推公式(8.15)得到.同理可得一般言之，有 (8.20)从(8.20)可能看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数.84 贝塞尔

8、函数的零点与模值贝塞尔方程的固有值与固有函数都与贝塞尔函数的零点有密切关系.同时，为了将一个函数按贝塞尔函数展开，需要用到贝塞尔函数的模值.本节我们来叙述贝塞尔函数零点的有关结论并计算贝塞尔函数的模值.6.4.1 贝塞尔函数的零点第一类贝塞尔函数的零点的几个重要结论：有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布着的.因而必有无穷多个正的零点；的零点与的零点是彼此相间分布的，即的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个的零点；图8-1以表示的正零点，则时无限地接近于，即几乎是以为周期的周期函数. 与的图形见图8-1.为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数零点的数值已被详细计算出来

9、，并列成表格.下表给出了的前9个正零点的近似值. nm01234512.4053.8325.1366.3807.5888.77125.5207.0168.4179.76111.06512.33938.65410.17311.62013.01514.37315.700411.79213.32414.79616.22317.61618.980514.93116.47117.96019.40920.82722.218618.07119.61621.11722.58324.01925.430721.21222.76024.27025.74827.19928.627824.35225.90427.421

10、28.90830.37131.812927.49329.04730.56932.06533.53734.9896.4.2 贝塞尔函数的模值所谓贝塞尔函数的模值就是指定积分的平方根，其中是的正零点，a为一正常数.为了计算这个积分，以，分别表示下列函数， 为任意参数）.则，分别满足方程以乘第一个方程减去以乘第二个方程，然后对从0到a积分，得由此可得当时，上式右端是型，利用洛必塔法则计算这个极限，得这个公式在下节计算傅里叶-贝塞尔级数的系数时就要用到.85 贝塞尔方程的边值问题在7.1中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的固有值问题.方程(8.21)的通解为由条件(8

11、.23)可得 ，即利用条件(8.22)得即应该是的零点，以的正零点，则方程(8.21)的固有值为 （），与这些固有值相对应的边值问题（8.21）（8.23）的固有函数是根据施特姆-刘维尔理论，关于权函数是正交的，即同时，下述展开定理成立：任何一个下两次可微的函数，若在处有界，而且在处等于零，则它可以展开为绝对一致收敛的傅里叶-贝塞尔级数： （8.25）其中系数可用下述方法确定：在展开式(8.25)的两端同乘以并对从0到a积分，由正交关系式(8.24)得利用前面计算过的贝塞尔函数的模值公式得到 （8.26）下面我们举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程.例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，

12、边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为，其中是圆盘内任一点的极半径，求圆内温度分布规律.解 根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题： 采用极坐标系，并考虑到定解条件与无关，所以温度只能是的函数，于是上述问题可写为 此外，由物理意义，还有条件令 代入方程(8.27)得或 由此得 (8.30) (8.31)方程(8.31)的解为，因为，时只能小于零，令则此时方程(8.30)的通解为由的有界性，可知，再由(8.28)得，即是的零点，以表示的正零点，则综合以上结果可得从而 利用叠加原理，可得原问题的解为由条件(8.29)从而 因 即 故得 另外 从而 所以，所求定解问题的解为 (8.32)其中是

13、的正零点.例2 求下列定解问题 的解.解 用分离变量法来解，令采用例1中同样的运算，可以得到 (8.36) (8.37)由在处的有界性，可知即 (8.38)再根据边界条件(8.34)中第一式，得因不能为零，故有利用贝塞尔函数的递推公式(8.11)可得即是的正零点，以表示的所有正零点，则即 (8.39)将(8.39)分别代入(8.38),(8.37)，得从而 利用叠加原理可得原定解问题的解为将条件(8.35)代入上式得 (8.40) (8.41)由(8.40)得 由(8.41)并利用下面的结果（见习题八第14题）：如果是的正零点，则得到所以最后得到定解问题的解为 (8.42)习 题 八1、当为正整数时，讨论的收敛范围.2、写出是正整数）的组数表示式的前5项.3、证明其中.4、.5、6、证明为方程的解.7、证明8、试证是方程的一个解.9、试证是方程的一个解.10、设是方程的正根，将函数展开成贝塞尔函数的级数.11、设是的正根，将函数展开成