摩擦引起振动的分岔与混沌

1、摩擦引起振动的分岔与混沌引言摩擦引起的振动是动力学界广泛研究的现象，这是因为摩擦模型的重要产业关联性和不断发展的新进展。在本文中，我们将报告一个单一的自由度机械振动的表面上一个单一的程度的分岔的研究结果。我们使用的摩擦模型是由canudas de Wit等人开发的一个日益受到社会各界的认可的力学模型。利用这个模型，我们发现在一个稳定的极限环在中间的滑动速度为一个单一的自由度机械振子，而且，机械振子可以表现出混乱的运动。对于某些参数，数值模拟表明Silnikov同宿轨道的存在性。这是不应该在一个单自由度系统中存在。由于摩擦模型中包含一个内部变量，这样混沌的发生就成为可能。这实验演示了一个独特的摩

2、擦模型特性。与大多数的摩擦模型不同的是，本模型是能够同时在非常低的滑动速度建模自我激励和预测粘滑。1.简介摩擦引起的振动对机械和工程系统有着不同的影响。制动尖叫是一个摩擦引起振动的众所周知的例子。摩擦引起的振动，往往会导致过度磨损机器部件，限制生产过程的精度和生产率，并降低了控制系统的精度。此外，摩擦振动引起的噪声同样是令人讨厌的。摩擦力学系统的动力学研究有着悠久的历史。最早是由Den Hartog研究的稳态响应机械振荡器结合库仑摩擦和粘性阻尼。DEN Hartogs论文清楚地说明了存在摩擦动力学系统的非线性性质；非线性体现在激励和响应之间的比例的损失。其他涉及摩擦自激振动和坚持的重要动力学现

3、象包括滑移现象。由于两者之间的接触表面基本物理和化学的复杂性，所以精确建模的摩擦仍然是一个活跃的研究领域。由于涉及两个固体表面互相滑动摩擦，所以摩擦力是受许多因素影响，如散装和表面层材料的性能，接触表面的粗糙度，应力水平的滑动速度、温度、环境，以及润滑剂和润滑条的性能。此外，摩擦往往伴随着磨损。可以想象的是，摩擦力可以是与时间相关的。在这些潜在变量中，好的摩擦模型是捕获必要的点，但不是太复杂，这样会使他们不切实际。库仑摩擦模型，也许是区别静态和动态摩擦系数之间最简单的摩擦模型。但库仑模型的不确定和不连续的性质使得它非常难以模拟机械系统的动力学、间歇性的粘滑表面之间的发生情况。因此，动态研究，摩

4、擦模型必须包括依赖性最低的速度。在引入的速度依赖性是否满足动力学摩擦系数是否确实是一个递减函数的滑动速度。很显然，这些争论都是通过实验来解决的。在典型的实验装置中，摩擦是不可避免地耦合到系统的惯性、弹性力和耗散力，提取的数据往往需要进行理论模型的研究。由于摩擦力破坏了动态系统响应于它的输入比例，这种非线性将导致出现复杂的现象，这往往是不被赞赏的简单的模型。基于简单模型的系统动力学理论研究为解释实验数据提供了必要的理解。在本文中，我们研究了一个单一的振荡器耦合到一个滑动摩擦表面的分岔和混沌。我们证明Silnikov同宿轨道意味着混沌动力学在一个单自由度系统的数值证据存在。虽然混沌已被证明发生在涉

5、及多自由度系统摩擦中，但通过实验证明存在混沌的一个单自由度的自由度系统有助于说明实验难以识别的摩擦模型参数。我们使用的是由canudas de Wit等人提出的模型。该模型包含一个内部变量，当耦合到一个单一的自由度系统中，我们有一个三维一阶自治常微分系统方程。我们选择了滑动速度作为分岔参数，研究了固定点的稳定性和参数变化的稳定性。我们发现Hopf分岔，即固定点的稳定性发生改变。固定点不稳定时，产生自激振荡。此外，通过数值模拟已经确定了同宿轨道系统的发生。当这样的轨道存在时，混乱已经发生了。我们特别指出在其中中提出的摩擦模型的显著特点。在第3节中，我们进行局部分叉分析的固定点和它的稳定性。在4节

6、中，我们提出了一个常微分方程组的数值积分的结果。特别是，我们表明系统同宿轨道和混沌。我们在最后一节做了一些总结性发言。2摩擦模型在2中给出的摩擦模型的文献中已经提出了许多摩擦模型。由于摩擦过程的复杂性，直观上明显的简单模型往往是不够的。例如，库仑摩擦模型可以解释坚持滑移现象，却不能解释自激振荡没有滑棒棒（滑移不会发生如果两个表面滑动速度不够快彼此相对）。其他模型的摩擦力与速度曲线的负斜率可以预测将自激振荡但难以建模滑棒。canudas de Wit等人提出了一种摩擦模型，集成了一个内部变量（类似于在8中定义的变量），在滑动面考虑到小的弹性变形的“毛”，这个内部变量由以下公式控制： （1）其中V

7、是表面的滑动速度和函数g（v）是描述摩擦力在稳定状态依赖滑动的速度。在非稳定状态下，摩擦力取决于滑动速度和状态变量如下： （2）请注意，如果（1）被替换为（2），摩擦力是由刷毛与滑动速度的偏转所决定的。21静态极限根据上面提出的模型，当一个力逐渐被应用于表面滑动时，摩擦力会先将两者保持在一起，并且只会出现微小的刷毛。这是真的，直到达到一个极限的摩擦时。这种准静态过程没有宏观滑动，方程（2）表明毛偏转，即内部变量，比例与摩擦力增大。刷毛自由（改变符号）当时。因此，最大静摩擦发生在， 和时。在 6 ，函数是以下： （3）因此，在准静态载荷作用下，参数是最大静摩擦系数。22稳定滑动摩擦力在稳定状态下

8、，当两表面滑动彼此相对为时，给出摩擦力如下： 这个函数的导数是由 （4）上述第一项是可以忽略不计的很小的和很大，相比与滑动速度的两个特殊值，记为和。摩擦力速度函数是在和单调增加。对于，摩擦力是单调递减函数的速度。在和，摩擦力与滑动速度曲线的斜率为零。和的值可以通过求解方程确定，即 (5)由于较小，设，我们得到一个近似值： (6)的值接近和得到迭代： (7)与初始猜测。在表1中给出的参数中，我们发现稳态摩擦力与滑动速度曲线具有负斜率的区间为，其中和。摩擦力与滑动速度曲线的特点如图1所示。表1在模拟中使用的参数值图.1摩擦力与滑动速度在稳定状态下的示意图23在规定的力量下滑动当一个规定的力被施加到

9、导致一个质量的滑动上，如图2，由运动方程给出 (8)对于上述模型的摩擦模型，在表1中给出了已被用来研究结果的外力的数值方法。图3中显示了规定的力、摩擦力、质量和内部变量的位移。规定的力是在第一个斜坡，然后水平撤销到一个值。图3的加载过程很慢。由于物体被卡住，只有微观位移（10-5米）。图3代表慢反应。几乎相同的结果时，得到的加载速率是图中的10倍。图.2在规定力的表面上的物块滑动力学模型.图.3缓慢施加力下系统的响应。最大的力量是1.425N，略低于,只发生微观位移.图.4快速施加规定力下系统的响应.最大的力量是1.425N，略低于当加载速度是图3中的100倍时，我们注意到在图4中，物体发生宏

10、观位移。在表面发生滑动。刷毛的挠度减小，摩擦力也下降。这表明该模型的一个非常有趣方面：即使最大的力从未超过，不发生宏观滑动。3在表面上滑动的单一的振荡器动力学 上面的摩擦模型可以用来研究单自由度振荡器自激振荡。考虑图5所示的力学模型。根据其表示物体的速度，我们有以下的运动方程： （9） 图.5滑块、弹簧、皮带系统的力学模型这些三维非线性常微分方程是可以改变的（时间不明确）。3.1稳态（不动点）的局部分岔分析及其稳定性 对应于滑动速度恒定的稳态解，即。因此可得到： 小扰动在稳态，我们可以通过检查在评价的雅可比矩阵特征值的稳定性研究；对于足够小扰动附近的稳定滑动，滑动速度不反向。我们可以让，由于线

11、性稳定性是基于“无穷小”，故从稳态扰动不断滑动的矩阵是：稳态的稳定性是由矩阵的特征值，这是下面的特征方程的根： （10） （11） （12）由于始终是正的，特征方程的特征值不能为零。换句话说，对稳态的稳定性只能通过Hopf分岔的变化，即通过对复杂的根穿越虚轴。这种分歧的必要条件是： （13）由于，和，取决于和，同时受到Hopf分岔的质量和系统的刚度影响。一旦一对复杂的特征值的交叉纯虚轴，他们可以成为在真正的轴第一次合并。当它们合并时，特征方程将有2个重复的根。因此，下面的两个方程同时求解：二次方程是通过区分第一个相对于X的第二个方程，以消除k，我们找到了条件，对复杂的特征值变化到两个正的方程：

12、 (14)当满足上述方程时，复共轭双特征值的虚部为零。对于表1中给出的参数，在区间的分岔集即。这如图6所示。Hopf分岔发生在几乎垂直的两条平行线之间。这两条线是非常接近和时。图.6固定点附近的分叉集和局部向量场。所有参数都在表1中给出.在（6）和（7）。看d到Hopf分岔主要发在由摩擦力的负斜率与滑动速度曲线相同地方。对于表1中给出的参数，弹簧的刚度和质量不出现影响的Hopf分岔。然而，当我们改变R1的值到一个更大的值时，依赖的Hopf分岔曲线上的弹簧刚度和质量是显而易见的。我们指出图6中固定点的性质。注意：在两个垂直线之间的参数是不确定的。左边的垂直线对应。因为是很小的区域，左边的这条线也

13、很小。曲线将两者之间的区域分隔为2个部分。在曲线上，该矩阵具有一对正实部的复特征值。在曲线上，这2个特征值变得真实且积极。在曲线的稳定性没有变化，但附近的固定点的变化从一个不稳定的螺旋到一个不稳定的节点的流量的性质。这个变化是显著时Silnikov同宿轨道，我们不久将描述，发现会引起混沌动力学和Silnikov现象不会发生下面的曲线参数。4.分岔数值的研究 固定点局部分叉的分析，呈现在固定点附近的动态信息。例如，当没有稳定的固定点的存在，可以发生对应于自激振荡周期解。此外，当一个固定点是稳定时，它可能有一个很小的吸引域和偏离稳定的固定点的解决方案，几乎满足所有的初始条件。我们已经进行了数值模拟

14、方程（9）。已使用MATLAB函数ode23s。我们的方程是不光滑的，当滑动速度是接近零。E-12与E-14分别为相对和绝对公差。所有变量都是在零开始。再次使用表1中给出的参数。我们选择目前的k=15000和1500 N / m的仿真结果。4.1 k=15000 N / m的情况下我们的分析表明，固定点大约在间隔,无量纲的滑动速度。当从零初始条件，我们发现自激振荡存在超过一个多间隔较大的滑动速度（，可以证明固定点是稳定的，如果我们使初始条件非常接近固定点。定性的研究结果于图7中的最大速度的质量和最大摩擦力被绘制对无量纲的滑动速度。根据滑动速度，我们观察到三个不同的结果。对于足够大的滑动速度，振

15、荡器的运动最终定为稳定的固定点。下面是临界速度，发生自激振荡。在大多数情况下，导致稳定的周期性振荡自激振荡周期的一个典型的案，如图8所示。随着滑动速度的减小，轨道的周期增大。图9显示了的结果。这个参数值，该变量是非常接近的值在很长一段时间的固定点。周期轨道近似同宿轨道连接固定点本身，图10。它仅仅是一种由于近似同宿轨道会无限长的阶段。在这个参数值中，固定点的特征值是。当一个固定点的鞍焦点型的同宿轨道连接到系统本身现象说起来。该系统包含马蹄映射现象。我们的固定点有2个不稳定和一个稳定流形。在时间相反时，满足Silnikov现象条件。由于时间反转不影响系统的分析，利用已知现象出现在我们的系统。直接

16、产生混沌马蹄图结果。我们观察到的混沌振荡在和0.5。混沌振荡如图11所示为状态变量和时间曲线图。平面如图12所示。图.7K=15000 N / m，即不动点在3以上是3上稳定的分岔图，解是稳定的周期轨道。图.8 周期解的自激振荡。参数：k=15000 N / m，-0:004米/秒图.9长周期解。大部分时间在不稳定固定点附近,参数：k=15000 N / m，-0:0004米/秒图.10.一个周期轨道非常接近一个同宿轨道。参数与图9中的相同上述发生在参数区域中的周期性和混沌振荡，其中的摩擦力与滑动速度的曲线有一个负斜率。我们称这些自激振荡区分他们从坚持滑移现象在下面。图.11混沌振动。参数：k

17、=15000 N / m，-0:0003米/秒。图.12混沌振动表现为在平面内投影。参数与图11中的相同4.2 k=1500 N / m的情况下 当k=1500 N / m代表小弹簧刚度。分岔图如图13所示。如图，除了定期的自激振荡，似乎有两倍的振荡周期解。图14中示出了一个典型的情况，并在图15中显示了相应的周期轨道。自庞加莱克森定理排除期在二维自治系统的周期分叉，这是摩擦模型，使这种可能发生的额外的内部变量。此外，如果我们进一步降低滑动速度，滑块花费大量的时间到皮带上，皮带在一个恒定的速度。这持续到的力量大到足以打破粘附的表面和滑块的摩擦力，直到弹簧再次被压缩和滑块再次移动，图16。这种现象被称为粘滑，因为在特定的时间，没有宏观的滑块和表面之间的滑动。我们看到，在检查的模型中是能够处理自我激励和粘滑多的。图.13 分岔图k-1500 KN / m的。即使在定点在3以上，解决方案是稳定的周期平稳当初始条件是使用，其两次周期是可见的。图.14 两倍周期轨道。参数：k=1500 N / m，-0:018米/秒图.15周期2轨道在平面。参数与图14中的相