数列上下极限的不同定义方式及相关性质

1、目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质一、数列的上极限、下极限的定义011. 用"数列的聚点”来定义012. 用"数列的确界”来定义023. 数列上、下极限定义的等价性02二、数列的上、下极限的性质及定理04参考文献14英文摘要15数列上下极限的不同定义方式及相关性质-完整版学习资料分享-摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的 重要作用.又成为数学分析中重要的理论部分本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式 及其等价证明和一些相关定理.关键词：数列、上极限、下极限.聚点、函数一.数列的上极限.下极限的定义关于数列的上极限、下

2、极限的定义常见的有如下两种形式：1. 用“数列的聚点”来定义定义1若在数a的任一邻域内都含有数列兀的无限多项，则称a为数列乙 的一个聚点.例1数列(-ir)有聚点-1与1；n + 数列抽手有-1,-芈,0,芈和1五个聚点；数列丄只有一个聚点0；n常数列1,1,丄只有一个聚点1.定义2有界数列暫的最大聚点皎与最小聚点®、分别称为数列兀的上极 限和下极限，记作ay = lim ; a小=limx” 例 2 ih(-l)/r = 1 ,nm(-l)= -1“TZ 7? + l 三 n + 厂.nrt n7t11 m sin =1 Jim sin =一1“Tz 4 k 4lim = lim

3、- = 0"Tg nii2. 用“数列的确界”来定义定义3任给数列兀,定义lim xn = lim sup兀 ; limxM = lim inf 母(1)HT+X”TOC 立”去左”7° 炷“分别称为数列兀的上极限和下极限.若定义1中的d可允许是非正常点P或Y0,贝IJ：任一点列兀至少有一个聚 点，且存在最大聚点与最小聚点不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为-HC（-OO）.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限+oc（Y）例 3 lim (-1)" +1)/7 = -ho , lim (-1)5 = Jim(l)nw = s口 T+*3. 数列上.下

4、极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即a= lim xn = limsupjx；"TY也a- = limxn = liminfxA)忙忑 “too k>n证明：如果limsup以 = +8 ,由于supxA关于川单调递减，所以sup兀 = +s,"T8 k>9xk>nk>nPn> N 于是，可取 nx eN (自然数)sl.x >1，又可取 n2 eN, n2 >n,s.t.x >2,-,所以，得到数列暫的子列卜；+00（«+00）.这就证明了 +S为数列的聚点，且为最大聚点大山此可得a t

5、 = lim xn = +co = limsiip耳);如果 limsupx, V +cc ,则 limsupx. = -s 或实数.i k>n”7° k>n设d数列兀的任一聚点，则必有耳的子列，V心饨叫 SsiipxJ,k>n« = limxn/<supxj,a < lim supA* ,r k>n所以，数列儿的最大聚点满足lim x < lim sup忑)HT+3CHTOO 炷 口另一方面，Vy>易见,y,+oo）中最多含有数列兀中的有限多项因 此，37VeN,当k>N时，有忑vy,从而,当n>N时，有完整版学

6、习资料分享一sup “ S ” k>n由此可得lira sup兀 < y 心30 k>n令ythxS ,推岀limsiipl* < lim xn HF k>n“ty综合上述，有a.= lim xn = limsupx). “T+H"TH 畑类似 的可证明或应用上式于-暫可证得a. = limx, = liminfix.丿' "OC如k如果lim infxj = -oc ,山于infjx关于"单调递减，所以infx& = y> ,对 “TY k>nk>9ik®5>N .于是，可取自然数山

7、使得XnX<-，又可取自然数勺 ”2>®使得S < -2所以，得到数列%,的子列兀； T Y0 .这就证明了 - 00为数列的聚点,且为最小聚点G小山此可得5、=鱼11兀=出呼感忑;TOO“r-*如果 lim infA>-oo,则 lim infx = +oo 或实数.HT-oo kiui/r>-x k>n设a数列¥”的任一聚点，则必有%,的子列，兀” >6/(/>-ho).任意的n是自然数当®时,有x >infx,* ktina > lim inf 忑n->4-x k >it所以，数列

8、69;的最小聚点满足另一方面，对任意的y> limx”易见，(-s,y中最多含有数列兀中的有限多项.因此，存在N是自然数当k>N时，有兀y，从而，当n>N时，有山此可得lim infxk > y.令 y-> limx 1 ',推出|91综合上述，有lim infxk > lim x” HTZi,_xxa j、= Hm 斗=lim inf 忑)応忑 HTZ k>9l下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上.下极限的性质及定理设有数列©与数列儿，则数列的上、下极限有以下性质性质1性质2lim xn > lim

9、x“ ；(2)lim xn= A <> lim xn = lim xn = A /r->+x“T+x例4用上下极限理论证明：若耳是有界发散数列，则存在兀的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是于是存在兀的两个子列 "T+30“toox妆,心,使lhn f = Yirn x , Inn = lim x” ,即存在xtl的两个子列收敛于不同的极限.性质3（保不等式性质）设有界数列兀, 儿满足：存在"（>>0,当n>No时有兀S儿，则lim xn < lim yn ;>4-30f!”lim.v/r <li

10、myn ；”十C特别，若a,0为常数，乂存在7V0>0,当n>N°时有a<alx<p,则* 鱼叫 S lim an<p性质4设兀no,儿“5 = 12），则(3)(4)lim兀鱼卫片S lim俎儿<limx/f- lim片HTOO"TOC“TOC"f+Xlim x” lim yn < lim xnyn < lim xn lim yn“TOO"f Y °HT+3C "T+X"T+X °例5证明：若%收敛,则对任意儿=12），有lim 兀J； = lim xn - lim

11、 片(xn > 0) TVXT+30ll-X证明：分三种情况讨论1、若linLy/r>0,则儿中有无穷多项大于零，作新序列y/ =maxyn,0) = <片,当儿>0时0,当yn<i则儿TO,且匝儿=匝需，对xj y；应用（4）有所以因£收敛,lim xn = lim x“ = lim xn , “T+3C故上式表明，塑B儿+匚!竺m!豐儿、您y” ，您1儿所以2、若 lim yn = y> , 川fWC如此应用1、的结果,阻心（儿+c）py”阻（儿+C）題V)叮= lhn(xnynr=lhnxnyn (因兀 > 0)lim暫儿=lim兀li

12、m儿訂 T+W+X /IW-X在限制条件下，lim xn >0,因此充分大时有xn >0 ,这时等式明显成立.3、若Y v lim yn <0,可取充分大的正常数C>0,使得lim（儿+ C）>0 ,+x再根据（3）,此即从而lim xnyn + lim 忑C= lim 忑 lim ytl + lim 兀】Cn>4-X ”J2>+-Xn>4-W”T0C />*00lim xnyn = lim xn - lim yn,证毕.”f+x” fhOCHT+00性质5在不发生（土s） + （q：s）情况下，有如下不等式成立:1、lim xf1 + l

13、im 儿 < lim (xn + yn) < lim xn + lim ynX”/rX"”TY+3C r2、limxn + lim yn < lim(x + yn)“f 3C"TOO"f 3C3、lim (xn + 儿)5 lim xn + lim 儿/?>-+-XHT+X事实上，这里的等号可以不发生，如对片 = 0,2,0,2,0,2,这时© +儿 = 121,2,12 limxn+limyn =0<lim(x/r+ y/r) = l/?/!->«口 TOOlim (xn + 儿)=2 v lim x/r

14、+ lim 儿=3例6证明：若耳收敛,则对任意儿（“ = 12），有lhnc(xn+yn)=lhnxn+lhn 儿证：我们已有lim兀+ lim儿< lim (xn +儿)< lim £ + lim儿“TH訂 TY” T+X”TTOHf+X注意暫收敛,所以上式即为因此萼胞£=您和lim x” + lim yn < lim (xn + 儿)< lim a;, + lim yn B卩成立. 訂TOO+X HT+R"f+X ' F1T7O 例 7 证明：(1) limxn + lim ytl < lim(xfl + 儿)< l

15、imxl2 + lim yn“TOC"TOO"f X"f A"f+X(2) lim x,. + lim yn < lim (xn + yn) < lim xn + lim yn“TOO"f+X '"f+0C * HTY> '证：先证:(1)设 lim xn = aHT+30则依上极限定义，V£>0,数列兀中至多只有N项大于d + G而有穷项小于"即对,至多有N项小于-a-£ ,而有穷项大于T7 + G所以依下极限定义，有lim(-xw) = -a , 即 lim(-

16、xj = _ lim xn.“too;r>xn+x设limxtl = a , lim yn = b , lim(x/r + y/t) = a + b“TOO"fOC"TOO依下极限定义，Vw>0, BN,当”>N 时，有暫 + 儿 vc + £不妨设£ = *（d + Z?-C）,则当n>N时，xn + yH <c + £ <a + b-£用反证法，设c<a + b,乂有limxn = a 9 limyn=b“TOO"fOC依下极限定义，则当n>N时，xn<a-f当n&l

17、t;N2时yn<b-f2 2由此推出矛盾，故“+b Sc ,即 limy + lim 儿 < lini（xfr + y”），"TOO"FC"TOO又令dn =xn + yn,则xn=dn+（-xn）.于是HmJn+lim（-yJ<limxn,nnn>oo由于lim（-儿）=-lim 儿，所以lim d” < lim（xyl + 儿）5 lim x” + lim yn n>oox/?"f+ac(2)以-儿及-兀分别代替题(1)中的儿与儿，有!lm（-儿）+ lim（-兀）S lim-（xn + yn）<lim y/

18、r + liin -心, nn>x“TOC111一 lim x”一 lim 儿 < 一 lim （心 + 儿）< 一 lim 兀一 lim 儿, /I>4-X"f+9C/r>4-X"f+3Clim x” + lim yn < lim （xrl + 儿）S lim x” + lim yn,"f+oc * HT+3C*"f+x * 打TY '当兀:020丄2,；片:2,3丄2,3,时,题(1) (2)中仅不等号成立.性质6性质7若lim© >0,则川f H“TOClim +3C %=1 ；（7） 1

19、例7证：若% >0,(n = 12)且limajlim = 1,贝!)数列%收敛.证明：若lim% = 0 ,贝归子列绻,lim an = 0 ,于是有 lim =+oc ,这 ；A:>4-x u 1与lim aj lim = 1相矛盾,HTY z/这样应当有lim色>0,然后用上下极限等价定义来证明.性质8当兀T"，且A； >0 ,则下式右端有意义（不是0oo型）时，有证明：以笫二式为例给出证明首先设= /?>0t其中方为有限数或*0令则儿，当儿>0；0,当儿“lim zn = lim yn=b 川 fHT+3Clim ©q = lim

20、耳儿由 xfl>0,zn>0W即也就是代回到儿就得到竺耳 Inn " ' Inn 存.< lhn 兀 lhn “,a lim < lim xnzn < a - lim j,HT+XHT+XHT+30lim 暫"=o lim j , T-3Olhnxyn=lhnyn.WORD格式可编辑专业资料其次设lim yn =b<0（ b为有限数）只要用yn+b代替儿（其中勺+>0）,就可得证.最后lim 儿=-co ,口T+3C ”这时即y“T_oO,且“H0 （否则出现0S型），显然下面定理指出，对一切数列3”的上、下极限必存在（包括

21、如）定理1 （1）有界数列兀至少有一个聚点，存在最大聚点与最小聚点，且这两个聚点 都为实数，它们分别为上极限丽&与下极限lim暫；"TV（2）如果数列兀无上界，则 丽,此时+"为数列兀的最大聚点；如果数列"有上界b 若fa<bSayb中含有数列xn的有限项,则limx. =y>= lim x”，此时 TOO"f 4*Xlim xn = yc ; 若BcKbb中含有数列兀的无限项，则数列匕J以实数为最大聚点，它 就是lim兀；J+3C（3 ）如果数列兀无下界，则11巴心=6,此时YC为数列暫的最小聚点；n>oo如果数列兀有下界d

22、若V/? > aci,b中含有数列仪的有限项，则limxn =+</）= lim兀，此时“TOO"flim xn = +oc ; 若Bb>aa,b中含有数列兀的无限项,则数列陆以实数为最小聚点，它 就是lim%,. TOO证明：（1）因数列暫有界，令x“ I “ w N u -M.M = a，勺.将q,勺两等分, 则必有一等分含数列兀的无限多项，记此区间为a2tb2f则q加二必2】,且 対_“2=細_务）="；再将色仇两等分，则必有一等分含数列耳的无限多项，记此区间为心切, 则a2,b2aiyb3f 且6_他=扣2_他）=臂;如此下去得到一个递降闭区间套：

23、4，也=他,优二=%仇=；M%一濟=干 T ° 伙*°）/且每个闭区间咳,仇都含有数列£的无限多项.由闭区间套定理知，3lxoeQ, 对心的任何开领域立0,7.J1B(x0; s) = (x0 -S.XQ + s) <= U ,贝归NeN ,当 k> N 时，%如ug - £,Xo + £)uU ,从而（/中含有数列兀的无限多项，所以为数列兀的聚点至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间的等分 为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为ak.bky 若右边一个含数 列的有限项，则取左边的子区间为血心于是，所选

24、畋磁都含有数列兀的无限 多项，同时在线,仇的右边都至多含有数列的有限项，其中2 ak = £（ 一 咳“）=科（勺一q） t °伙乜）X 再根据闭区间套定理知，3lx0 V）%$2下证为数列兀的最大聚点.（反证）若不然，设另有数列兀的聚点尤 兀，令5 =扣；-忑）0,则有3（尤;6 =（兀-5兀+莎）内都含有数列暫的无限多项，但当鸟充分大时，B（x；;d） = （x；-&兀+ »）完全落在绰厶的右边，这与上述血也的右边都至多含有 数列©的有限项矛盾类似可证最小聚点的存在性，或用-兀代替仪(2)如果数列坞无上界，则仪必有子列.%, Mlim心=-h

25、o,因此，+s为数列占的最大聚点，从而=+eo.如果数列兀有上界b 若fa<ba,b中含有数列耳的有限项，则根据极限为yo的定义可知, 虹1£=一8=皿兀； TH"Y若3a<bayb中含有数列耳的无限项，由的结果,数列xnCa9b有 最大聚点，显然它也是数列暫的最大聚点，即为Jiin aw :(3)类似(2)可证明，或用-xtl代替兀定理2lim xn = a <> lim xn = lim xn = a “T+XHT+XTOC证明：(=>)设lim兀则对的任一邻域(/，,当n>N时,xneU,从而a为数列x讣的一个聚点.则存在d的开邻域

26、匕，的开邻域匕，wqn匕=0由于lim xn = a ,故mNwN,当n > N时,a; e Ua,所以Ub,从而S中至多含有数 T+00列©的有限项(如 K，召)因此，“不为数列兀的聚点.综上可知，d为数列乙的唯一聚点，所以xn=a = hmxn 或者，因lim xn= a 故兀”的任何子列© 也必有lim兀=a .因此，数列乙有唯一的聚点，从而lim xu = a = lim xn.(<=)设Jim =hmxn=a ,则数列兀”只有一个聚点"，因此，对"的任一开 邻域在(/外只含有数列耳的有限多项,(否则数列兀在外还有异 于d的聚点，这与

27、数列兀只有一个聚点相矛盾).于是，当H> = maxn1,.,l时, 有xgU ,这就证明T lim xn = a.定理3设兀为有界数列，则下列结论等价：（1）代为数列兀的上极限；（2）V£->0, BN N,s.t.当 n> N 时，有 <af +£ ;且存在子列兀“ , S.T. xlt!（3）血>"大，数列兀中大于a的项至多有限个；大，数列匕”中大于b 的项有无限多个.证明：（1）=>（2）：因代为数列兀的聚点，故£>（）,在（代；£）=（d大-£, dX + £）内含有数列

28、兀”的无限多项xH）l/ij <n2 <,则有 >"大一乂因代为数列暫的最大聚点，故在如；+£的右边至多只含有数列£的有限 多项（否则必有数列暫的聚点Ad大+£,这与"大为数列兀的最大聚点相矛盾）. 设此有限项的最大指标为"，则当n>N时，有兀 <代+£.亠：令£ ="一心；，由（2 ）知，刖wN,当幵N时，有人-+£ =a）.+（a-a）.） = a.故数列暫中大于d的项至多有限个.大，令£ = ax-b,由（2）知，存在数列%”的子列-% , x叫大-

29、s = b,VkwN，故数列&中大于方的项有无限多个.亠：设“为a大的任一开邻域，则%>O,H.B（a大;£）=（a大-禺a大+£）ut/.由于 a = a +£>a）：,根据（3）, 兀”中大于a = a , -£有无限多项.因此（竹；-£，a. + £） 中含有数列©的无限项，从而U中含有数列"”的无限项，这就证明了 "大为数列 兀的个聚点.另一方面，“>"*；,记£ =丄（a_a大）.由（3）知,数列/”中大于a犬+£（>a犬）2的项至多

30、有限个.故d不为数列兀的一个聚点，这就证明了 "人一为数列兀的最大聚 点，即为数列兀的上极限.定理4设捡为有界数列，则下列结论等价：（1）"小为数列兀”的下极限；（2）V>0,3/VeN,5.r.当 n>N 时，有叫 >"小一£ ；且存在子列% , S.I.% Vd小+ £，以 wN ；（3）% 小，数列俎中小于b的项至多有限个；W > "小，数列兀中小于 "的项有无限多个.证明：类似定理3证明，或用-%代替©从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证 明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极 限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献：11华东师范大学数学系编.数学分析（上册）北京:高等教育出版社，20012 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分