数列题型与解题方法归纳总结

1、知识框架数列的概念数列的分类-数列的通项公式J函数角度理解 数列的递推关系等差数列等差数列的定义5-匕_ =（心2）等差数列的通项公式“” =q + （“-1） 等差数列的求和公式S“ =扌（绚+丛导 等差数列的性质5 + am =ap +aq（m + n = p + q）两个基2 木数列等比数列 2）等比数列的通项公式=5严3_空/ = “2_门(心)1 q _g = 1) 等比数列的性质“泌口 = f (fn + = “ + )等比数列的求和公式S,=1 (nG7)有=3%+2,求色解法一：由已知递推式得anH=3an+2 an=3an-i+20两式相减：亦-亦=3 (a厂az)因此数列a

2、n.,-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a,= (3X1+2) -1=4/. an*ian=4 3: 1 V anu=3an+2 二 3禺+2一30二4 3111 即 an=2 3r -14 Cl-3n-L)F3解法二：上法得anH-an是公比为3的等比数列，于是有:a2-ai=4, a厂也=4 *3, ai-as=43，, an-an-i=4 3n 把门-1个等式累加得：弧一幻=4 (1 + 3 + 32 + - +3n2) an=2 3nTT(4)递推式为a*i=p an+q n (p, q为常数)【例5】己知aj中aa=|, att+1=jan+ (舟)n+1,求略解 在an+1

3、 = |an+ (的两边乘以2辺得2n+1 * a”】=-(2XtaJ 十 1,令=2n an9则bn+1=jbn+l,于是可得m严靱”一几)由上题的解法，得：化=32(彳)号= 3($2(说明对于递推式如十*,可两边除以严得沪二-电+丄，引辅助数列低h Cbn =）,得+1=匕+丄后用q q q缶q q（5）递推式为陽+2 = pa”+i +qan思路：设 5+2 fl + 0”，可以变形为：4+2 一 ao”+i = 0（4+1 一 a），ci 十 B = p解得a,队a p = -q于是anM-a aj是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。- 2 1【例6】已知数列aj中，幻=1，屯

4、=2, g+2 =三+1 + 耳，0=pa + p =|12 1a + 分析解 在岳2 = 2知巧捡两边減去小得求 Cln。 - （an+1 -aj是公比为+ ,首项为a2 -aL = 1的等比数歹U。益弋严（冷）0+ （冷）5+冷）2%+#一气）2（6）递推式为Sn与心的关系式此类型可利用务=幻（垃=1）C V求an+l an的关系；（2）试用n表Sm-Sz （紅2） b 1 【例?1设心J前t!项的和S” =4-an- Qno解（1）由 sn = 4 - an - -2 得 兀+i 2-1*. S”+ 一 S = （ - a“+i） +（2 71）上式两边同乘以旷得2nUaH=2na+2则

5、2%J是公差为2的等差数列。 2匕=2+ （n-l ） 2二2n._ n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2, 错项相城法：适用于差比数列（如果勺等差，bn等比，那么atb叫做差比数列）即把每一项都乘以2的公比,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。适用于数列3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 （其中等差）等差数列前项和的最值问题:U若等差数列的首项50,公差0,则前川项和有最大值。（i）若已知通项勺，则S最大O彳（ii）若已知比=/肿+少，则当取最靠近一上-的非零自然数时二最大

6、; 22,若等差数列色的首项0,则前项和S”有最小值a 0（i）若已知通项,则S”最小”一 ;（ii）若已知二=/肿+切，则当取最靠近一吕的非零自然数时二最小; 2p数列通项的求法：叮胆芒（心）。公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知S “（即q +心+冷=/（）求绻，用作差法:|7（1）,（归）已知=/（）求,用作商法：aH = 9x17（）4已知条件中既有S还有,有时先求S再求有时也可直接求勺。若5+1 一勺=/（）求山用累加法：=（色一一1）+（5-1 一 5-2）+ 2一4） + 5（7? 2）。已知也 = /（）求心，用累乘法：乩虫（n2）。an% %24已知递推关系求心，

7、用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，形如山=辰怙+b、a=kan+bn （k、b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求;形如勺=肋心+好的递推数列都可以除以疋得到一个等差数列后，再求。（2）形如勺:-的递推数列都可以用倒数法求通项。kg +b（3）形如曲=“/的递推数列都可以用对数法求通项。（7）（理科）数学归纳法。（8）当遇到勺2-4-=或也=。时，分奇数项偶数项讨论，结果可能長分段形式数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在克接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一 起，再运用公式法求和。

8、（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方 法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那 么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：1=丄_L.=丄（丄_L）.77（/7+ 1） n H + r n（n + k） kft n + k八111,1 11 1 1 1 1 1 1 k2 疋一1 2 &

9、-1 k + k + 1 (k + )k k1伙-1 冰 k_l k1=-111 ; =-:7/(/2+ 1)(/2+ 2)2 n(n + l) (n + l)(n + 2)(/? + !)! n! (n +1)!2(yJn + -n)=2（侖一厶一1）2_L 2W，an = Sn -Sn-1) 3、求差(商)法如：叫满足卜i+a2 +%=2n + 5解：n = l时，a. =2x1 + 5, .a. = 142n2W,vl-v2 得：-y an = 2214 (n = l) a 2)练习数列aj满足Sn +Sn+1 =|an+1, a, =4,求a.(注意到an=Sn+1-Sn代入得：孕=4

10、又S1=4, ASn是等比数列，Sn =4nh 2时，an =Sn-Sn-1=3 4n!4、叠乘法例如：数列aj中，a,=_ 1an-. 22 n _ 13 V又a】=3, Aan =n5.等差型递推公式it!% -an-1 = f(n), a, =a求用迭加法n a a】=f(2)a3-a2 = f 两边相加，得:an-a, =f(2) + f(3) + + f(n)/.an=a0 + f(2) + f(3) + + f(n)练习数列an, a=l, an = 3n* +an_ (n2),求a“6、等比型递推公式an =can_1 +d （c d为常数，cHO, cHl, d H 0）可转化

11、为等比数列，设an+x = c（an_,+x）=an =CQn_ +（C-1）X令（c- l）x = d, Ax = c- 10,前n项的和为S“若S.=Sk (lk)问n为何值时&最 大？解依题意，设f (n) = Sn = na! + - d ：f (n) =|dn2 + C&! _ 3 n此函数以n为自变量的二苓鞭。TaAO SSk (lHk) ,.dV 0故此二次函数的图像开口向下 f (1) =f (k)当x时f (x)最大，f (n)中,nE No1 4-V当1 匕为偶数吋，垃=吋冰最大。当1+k为奇数吋，门-”；1吋最大。2. 方程思想【例14】设等比数列/前n项和为0,若S3+

12、S=2S9,求数列的公比q。 分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解.依题意可知qHl。：如果q=l,则S3=3au Sf6di, Sg=9ai。由此应推出&二0与等比数列不符。 Hl整理得 q( 2qb-q-l) =0T q H 02巧(1-q) lq2q6 -q3 -1 = 0 qj 二 1 舍，q孑二冷. V4y丁此题还可以作如下思考：SS计qS尸(l+q)S3. S9二S3+q.二S3 ( l+q+q), :由 S3+S6=2S9 可得 2+q二2 (l+q3+q6) , 2q6+q3=03. 换元思想【例15】 已知a, b, c是不为1的正数，x, y, zGR+,且112有

13、/ =1/ = c%和+ - = o z z y 求证:a, b, c顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=k.x=logk y=logbk, z=logtkX z y iogk logc k log/空十亶二迪lgk lgk lgk目卩 lga + Igc = 21 gbb2=ac .a, b, c成等比数列（a, b, c均不为0）数学5 （必修）第二章：数列一、选择题1.数列仏的通项公式=,则该数列的前（）项之和等于9。A. 98 B. 99 C. 96 D. 972.在等差数列仏中，若S4 =1,S8 = 4,则ax7+a+a9+a2()的值为()A. 9 B. 12 C. 16 D. 173.在等比数列中，若勺=6,且一24-如+12=0,则为（）A. 6B. 6 （一1）心C. 6 2 D. 6 或 6-（-1）2 或 62心二、填空题1. 已知数列“中，也=一1,则数列通项”=2. 已知数列的Sn =n2 + n + lf则心+他+绚+山+42=。3.三个不同的实数ubc戎等差数列，且ac