人教版湖州五中平面向量的数量积及运算律名师课件

1、湖州五中湖州五中 5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律 向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，作，作OA ? ?a，OB? ?b ，则，则 ? ?AOB? ? ?( 0? ? ? ?180 )叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角 B ?a b O b a A a ? ?O b A B ? ? ?0，a 与与b 同向同向 若若 B b B O A ?若若 ? ? ?180，a 与与b 反向反向 O A ? ? ?90，a 与与b 垂直，垂直， 若若 记作记作 a? ?b? ?a 5.6 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律 平面向量的数量

2、积的定义平面向量的数量积的定义 ?a?b，即，即 与与 b的数量积的数量积( (或内积或内积),),记作记作 | a|b|cos?叫做叫做a?a 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ,它们的夹角为它们的夹角为? ? ，我们把数量我们把数量 b? ?a?b?|a|b|cos?a?0?0规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为0，即即 几何意义几何意义 ?a?b数量积数量积 等于等于 的长的长a?|a |与与 a的方向的方向b在在 度度 ?B b ? ? O B 上的投影上的投影| b |cos?的乘积的乘积. . a A a b =| a | b |cos? ? 讨论

3、总结性质：讨论总结性质： (1) e?a?a?e?|a|cos?(2)a?b?a?b? （判0断两向量垂直的依据）(3) 当a与b同向时， a?b?|a|b|当a与b反向 时， a?b? ?|a|b|特别地,a?a?|a| 或|a|?a?a?2?（ 4 ） cos? a?b|a|b|?(5)|a?b|?|a|b|?平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律 ?，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足： 已知向量已知向量 a,b,c和实数和实数 （1）a ?b?b?a（交换律）（交换律） ?(a?b)?a?(?b)（数乘结合律）（数乘结合律） ?a?c?b?c（分配律）（分配律） ( ?a)

4、?b（2）（3）( a?b)?c平行四边形中平行四边形中 AB例1、在平行四边形ABCD中， ?a,AD?b,?0变式（1）： 若|a|=3，|b|=2,AB与AD的夹角为60 ,求对角线AC ，BD 的长度。解：|BDAC|?|b?a|?(bb?aa)?22?22?bb? 2a?b?b?aa00?222?2?22?|bb| ?22|aa|bb|coscos6060?|aa|1?9?2?3?2?14?19?9?2?3?22 ?4?72平行四边形中平行四边形中 AB例1、在平行四边形ABCD中， ?a,AD?b,?变式（2）： 若|a|=2 2，|b|=3,|b-a|= 5，求? BAD.解：?

5、BAD 即为a,b的夹角|b?a|?(b?a)?2?2?b? 2a?b?a?2?2?2?|b|?2|a|b|cos?BAD?|a|?9?2?3?2 2?cos? BAD?8?520?cos?BAD?,?BAD?452平行四边形中平行四边形中 AB例1、在平行四边形ABCD中， ?a,AD?b,?变式（3）： 若|a|=3，|b|=2,求AC?DB?解：AC?DB?(a?b)(a?b)?a?b?|a|?|b|?9?4?52222平行四边形中平行四边形中 AB例1、在平行四边形ABCD中， ?a,AD?b,?变式（4）： 若(a?b)(a?b)?0 则四边形ABCD（ ） A、菱形 B、矩形 C、

6、正方形 分析：由题意可得 AC?DB? 0，?AC?BD?| p|?2 2,|q|?3,p与q的夹角为，例2、已知 4? 则以a?5p?2q,b?p?3q为邻边的平行四边形 的对角线较短的长度为（ ） A、15 B、 15 ?C、14 D、16 2分析：|a?b|?|6p?q|?(6p?q)22?36 p?12 p?q?q?225?15|a?b|?|4p?5 q|?(4p?5 q)2练习1、平面四边形ABCD中， AB?a,BC?b,CD?c,DA?d,且a?b?b?c?c?d?d?a,问该四边形ABCD是什么图形？ 答:矩形 ?练习2、在四边形ABCD中，若 AB?CD? ?|AB|CD|，

7、且BC?AD?|BC|AD|,?A 则该四边形是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 三角形中 例3.边长为 2的正三角形ABC中， AB?c,BC?a,CA?b,求a?b?b?c?c?a的值。解：由题意可得， a,b,c相互之间的夹角为120?a?b?b?c?c?a?0?0?|a|b|cos120?|b|c |cos120?|c|a|cos120?0?01?3?2?2?(?)? ?32练习3. 底边长为 2的等腰直角三角形ABC中， ?A? 90 ,AB?c,BC?a,CA?b,求a?b?b?c?c?a的值。C 0?解： a?b?b?c?c?a?0?|a|b|cos135?

8、|c|a|cos135? ?2A A B ?0三角形中 例4、在 ABC中,AB?a,AC?b,且a?bb?0,0a则 ABC 是B C （ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 ?思考: 在ABC中,AB?a,AC?b,且a?b?0,则 ABC 是锐角三角形吗？?在ABC中,AB?a,BC?b,且a?b?0,练习4、在 ? （ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 则 ABC 是5、（2004年浙江省高考题）已知平面上 ?三点A、B、C满足 |AB|?2，|BC|?1,|CA|?3,-4 则 AB?BC?BC?CA?CA?AB的值为

9、_. A ?C B 6、已知 |a|?4,|b|?3,且(2a?3b)?(2a?b)?61 （1）求 a,b的夹角； ?（2）求 |a?b|（3）若 AB?a, AC?b，作 ABC，求 ABC的面积 解：(1)设夹角为?(2a?3b)?(2a?b)?4a?4a?b?3b?2?2?4|a|?4|a|b|cos?3|b|?2?2?4?16?4?4?3?cos?3?9?6110?cos? ?,?12026、已知 |a|?4,|b|?3,且(2a?3b)?(2a?b)?61 （1）求 a,b的夹角； ?（2）求 |a?b|（3）若 AB?a, AC?b，作 ABC，求 ABC的面积 ?解：（2 ）

10、|a?b|? （a?b）?a?2a?b?b?|a|?2|a|b|cos120?|b|1?16?2?4?3?(?)?9?132?2?2?2?2?2?26、已知 |a|?4,|b|?3,且(2a?3b)?(2a?b)?61 （1）求 a,b的夹角； ?（2）求 |a?b|（3）若 AB?a, AC?b，作 ABC，求 ABC的面积 ?解：（3）sABC1?0?|a|b|sin120213?4?3?3 3227. 已知不共线向量 a,b,c两两所成角相等，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,（）1 k为何值时，ka+ b与2a+ c垂直？（2 ）k为何值时,ka+ b与a+kb平行？平行时它们是同

11、向还是反向？?练练 习习 1.1.已知已知|a|=|a|= 3 3， |b|=|b|= 5,5,且且a a?b b = =1212，12则向量向量a a 在在b b上的投影上的投影为_5 |a|cos|a|cos?= =a a?b b|b b |2.2.已知已知ABCABC 中，中，| |ABAB |=|=5 5，| |CACA |=|=8,8, A A = = 6060 , ,则则(1).(1). ABAB ?ACAC 的的值值是是_(2)._(2).ABAB ?CACA的的值值是是_0 01.1.已知已知| | a a |=|=4,4, | |b b |=|=5,5, 当当 (1)a(1)

12、a / b;b; (2)a(2)a b;b;(3)a(3)a 与与 b b 的的夹夹角角为为30300 0时时，分，分别别求求 a a 与与 b b 的的数数量量积积. . 解：（解：（1 1）当）当 a a / b b 时，若时，若 a a 与与 b b 同向，则同向，则 a a ?b b =|=| a a | |? | | b b |=|= 2020 若若 a a 与与 b b 反向，则反向，则 a a ?b b = = -|-| a a | |? | | b b |=|= -20-20（2 2）当）当a ab b时时, ,a a?b b= =0 0（2 2）当）当a a与与b b的夹角为

13、的夹角为30300 0时时, ,3 30 0a a?b b=|=|a a|b b|cos30|cos30 = =4 4?5 5?=10=102 23 32 2. .已知向量已知向量a a与与 b b的的夹夹角角为为120120 ，且，且| |a a |=|=4 4，| |b b |=|= 2,2,0 0?求求(1).(1). | |a+a+ b b |;|;(2).(2). | |3 3 a a?4b b |; (3).( a a?2b b)?(a+a+ b b)解:(1)|a+|a+ b|=b|= （a+a+ b b） = =a a + +2 2a a?b+b+ b b2 20 02 22

14、2 2 2?|a|?a?a2 2?= = |a|a| +2|a|+2|a|b|cos120|b|cos120 +|b|+|b|1 1= =1616+ +2 2? 4 4? 2 2?(-(-)+)+4 4 = = 2 2 3 32 22 2(2)(2)|3|3a-a- 4 4 b|=b|= （3 3a-a- 4 4b b） = =9a a ?24 a a?b+16b+16 b b2 2 2 2= =9|a|9|a| -24|a|-24|a|b|cos120|b|cos120 +16|b|+16|b|2 20 02 21 1= =9 9?1616- -2424? 4 4? 2 2?(-(-)+16

15、)+16 ? 4 4 = = 4 4 19192 22 2、已知向量已知向量a a与与 b b的的夹夹角角为为120120 ，且，且| |a a |=|=4 4， | |b b |=|= 2,2,0 0?求求(1).(1). | |a+a+ b b |;|;(2).(2). | |3 3 a a?4b b |; (3).( a a?2b b)?(a+a+ b b)?解：(3) (a-(a- 2 2b)(a+b)(a+ b)b)= = a a - -a a?b-b- 2 2b b2 22 2 2 2?|a a | -|a-|a |b|cos120b|cos120 - -2|b2|b |1?16?

16、4?2?(?)?2?4?1220 02 23 3、已知已知a a， b b都是非零向量，且向量都是非零向量，且向量a+a+ 3 3b b与与7a-7a- 5 5b b垂直，垂直， a-a- 4 4b b与与7a-7a- 2 2b b垂直，求垂直，求a a与与 b b的的夹夹角角. .解：由题意可得解：由题意可得?(a+(a+ 3 3b)(7a-b)(7a- 5 5b)=b)= 0 0?(a-(a- 4 4 b)(7b)(7 a-a- 2 2b)=b)= 0 0 2 2?2 2?7 7a a +16+16 a a?b-15b-15 b b = = 0 0(1)(1)即即?2 2 2 2?7 7a

17、 a - -3030a a?b+b+8 8b b = = 0 0(2)(2)?(1)-(2)(1)-(2)得得4646a a?b b = = 2323b b 2 22 22 2即即2 2a a?b b = = b b2 2 2 2向量式不能随便约分 将将2 2a a?b b = = b b 代入代入(1)(1)得得a a = = b b 即即|a|=|b|a|=|b|2 21 1 b ba a?b b设设a a与与b b的夹角为的夹角为 , ,则则coscos = = =2 2= =|a|b|a|b|b|b|2 21 12 2|b|b|1 12 2= =2 2|b|b|2 20 0又又0 0

18、180180 , , = = 60600 00 00 0即即a a与与b b的夹角为的夹角为60604 4、已知向量已知向量e1 1, ,e2 2满满足足| |e1 1|=|= 2 2， | |e2 2|=|=1,1,e1 1, ,e2 2的的夹夹角角为为6060 ，设设向量向量2t2te1 1+ +7 7e2 2与向量与向量e1 1+ +t te2 2的的夹夹角角为为?(t(t? R)R)(1).(1).若若?为为直角，求直角，求实数实数t t的值；的值；(2).(2).若若?为为180180 ，求，求实数实数t t的值；的值；(3).(3).若若?为钝为钝角，求角，求实数实数t t的取值范的取值范围围. .解解:(1):(1) = = 90900 0(2te(2te1 1+ +7e7e2 2)(e)(e1 1+ +tete2 2)=)= 0 0(2te(2te1 1+ +7e7e2 2)(e)(e1 1+ +tete2 2)=)= 2te2te1 1+(2t+(2t + +7)e7)e1 1?e e2 2+ +7te7te2 22 22 20 02 22 22 22 2?0 0?0 01 1= = 2t|e2t