大一高数复习资料【完整版】

1、大一高数复习资料【完整版】高等数学非数院第一章 函数与极限第一节 函数函数根底高中函数局部相关知识 邻域去心邻域U(a,d)=x|x-a<d无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设f(x)为有界函数，g(x)为无穷小，那么liméëf(x)×g(x)ùû=0定理四在自变量的某个变化过程中，假设f(x) 为U(a,d)=x|0<x-a<d第二节 数列的极限数列极限的证明【题型例如】数列xn，证明limxn=ax®¥o(x)为无穷小；反之，假设f(x)为无-1穷小，且f(x)¹0，那么f(x)为无穷大

2、 【题型例如】计算：liméf(x)×g(x)ùû或x®¥ x®xë无穷大，那么f-1 1f(x)M函数f(x)在x=x0的任一去心邻域U(x0,d) n=mx®¥qxïb0n>mïî0ìf(x0)g(x0)¹0ïgx0f(x)ïïg(x0)=0,f(x0)¹0 lim=í¥x®x0gxï0ïg(x0)=f(x0)=00ïîf(x)

3、0=不定型时，通常分特别地，当limx®x0gx0【证明例如】e-d语言1由f(x)-A<e化简得0<x-x0<g(e)， d=g(e)2即对"e>0，$d=g(e)，当0<x-x0<d时，始终有不等式f(x)-A<e成立， limf(x)=Ax®x0x®¥时函数极限的证明【题型例如】函数f(x)，证明limf(x)=Ax®¥【证明例如】e-X语言1由f(x)-A<e化简得x>g(e)， X=g(e)2即对"e>0，$X=g(e)，当x>X时，始终有

4、不等式f(x)-A<e成立， limf(x)=Ax®¥第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质 函数f(x)无穷小Ûlimf(x)=0 函数f(x)无穷大Ûlimf(x)=¥子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法那么求解【题型例如】求值limx®3x-32x-9高等数学期末复习资料 第1页共9页【求解例如】解：因为x®3，从而可得x¹3，所以原式=limx®3x-3x-311=lim=lim= 2x®3x®3x-9x+36x+3x-3æ2x

5、+3ö解：limç÷x®¥2x+1èøx+1æ2x+1+2ö=limç÷x®¥è2x+1ø2x+12××(x+1)22x+1x+12öæ=limç1+÷2x+1®¥è2x+1ø2x+1x-3其中x=3为函数f(x)=2的可去间断点x-9倘假设运用罗比达法那么求解详见第三章第二节：2öæ=limç1+÷2x+1

6、®¥è2x+1ø2x+12x+1éù22æö=limêç1+÷ú2x+1®¥êè2x+1øúëûù×(x+1)úûé2ùlimê(x+1)úû2x+1®¥ë2x+1×(x+1)x-3)¢(x-311=lim=lim= 解：lim2x®3x-9L

7、62;x®3x®32x6¢(x2-9)连续函数穿越定理复合函数的极限求解 定理五假设函数f(x)是定义域上的连续函数，那么，limféj(x)ù=félimj(x)ù ëûêúx®x0ëx®x0û【题型例如】求值：lim【求解例如】x®3 é2öæ=êlimç1+ê2x+1®¥è2x+1÷øë=e2x+1®&

8、#165;è2x+12ùúúû2x+1®¥êë2x+1limé2=eæ2x+2ölimç÷2x+1ø=e1=ex®3x-3 x2-9第七节 无穷小量的阶无穷小的比拟 等价无穷小UsinUtanUarcsinUarctanUln(1+U)1 U(e-1)2U21-cosU乘除可替，加减不行ln(1+x)+xln(1+x)【题型例如】求值：lim 2x®0x+3x【求解例如】解：因为x®0,即x¹0,所以原式=

9、limln(1+x)+xln(1+x)x®0x2+3x(1+x)×ln(1+x)=lim(1+x)×x=limx+1=1=limx®0x®0xx+3x®0x+3xx+33=612 第六节 极限存在准那么及两个重要极限夹迫准那么P53 第一个重要极限：lim"xÎç0,sinx=1x®0xsinxæpö=1 ÷，sinx<x<tanxlimx®02xèø第八节 函数的连续性函数连续的定义x®x0-lim1x1x

10、74;0lim=lim=1 x®0sinxx®0sinxæölimç÷x®0xèxølimf(x)=lim+f(x)=f(x0)x®x0间断点的分类P67ì跳越间断点不等第一类间断点左右极限存在íî可去间断点相等ì¼¼第二类间断点íî无穷间断点极限为¥特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式sin(x-x0)=1 特别地，limx®x0x-x0 单调有界收敛准那么P57æ1ö

11、第二个重要极限：limç1+÷=ex®¥xøè一般地，liméëf(x)ùûg(x)xlimf(x)>0=éëlimf(x)ùûlimg(x)，其中ìe2xx<0【题型例如】设函数f(x)=í ，应该怎样选a+xx³0î择数a，使得f(x)成为在R上的连续函数？【求解例如】-ìf(0-)=e2×0=e1=eï1ïf(0+)=a+0+=aíïf(0

12、)=aïî2由连续函数定义lim-f(x)=lim+f(x)=f(0)=ex®0x®0 æ2x+3ö【题型例如】求值：limç÷x®¥2x+1èø【求解例如】x+1 a=e 高等数学期末复习资料 第2页共9页第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理【题型例如】证明：方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于a与b之间 【证明例如】1建立辅助函数函数j(x)=f(x)-g(x)-C在闭区间a,b上连续；2j(a)×j(b)<0端点异号3由零点定理，在开区间(a,

13、b)，在x=0ax+bx>0î处可导，求a，b【求解例如】ìf(0-)=e0+1=e0+1=20ìf-¢(0)=e=1ï1ï，ï +íf0=b()íïîf+¢(0)=aïf(0)=e0+1=2ïî-¢öx+a÷ö÷ø¢22=ö第四节 高阶导数 f(n)(n-1)(n-1)ù¢n¢édydy或 (x)ù=ê

14、;nûn-1údxëdxû(x)=éëfìf-¢(0)=f+¢(0)=a=12由函数可导定义ï í-+ïîf0=f0=f(0)=b=2a=1,b=2【题型例如】求函数y=ln(1+x)的n阶导数 【求解例如】y¢=()()1-1=(1+x)， 1+x【题型例如】求y=f(x)在x=a处的切线与法线方程 或：过y=f(x)图像上点éëa,f(a)ùû处的切线与法线方程 【求解例如】1y¢=f¢(x)

15、，y¢|x=a=f¢(a) 2切线方程：y-f(a)=f¢(a)(x-a) 法线方程：y-f(a)=-1(x-a) f¢a-1¢-2éy¢¢=(1+x)ù=(-1)×(1+x)， ëû-2¢-3颢¢y=(-1)×(1+x)ù=(-1)×(-2)×(1+x) ëûy()=(-1)n-1×(n-1)！×(1+x)-nn第五节 隐函数及参数方程型函数

16、的导数 隐函数的求导等式两边对x求导 【题型例如】试求：方程y=x+e所给定的曲线C：y第二节 函数的和差、积与商的求导法那么函数和差、积与商的求导法那么 1线性组合定理一：(au±bv)¢=au¢+bv¢ 特别地，当a=b=1时，有(u±v)¢=u¢±v¢ 2函数积的求导法那么定理二：(uv)¢=u¢v+uv¢y=y(x)在点(1-e,1)的切线方程与法线方程【求解例如】由y=x+e两边对x求导 即y¢=x¢+eyy¢=y()化简得y¢

17、;=1+e¢y×y¢¢æuöu¢v-uv¢3函数商的求导法那么定理三：ç÷= 2vvèø第三节 反函数和复合函数的求导法那么反函数的求导法那么11=1-e11-e切线方程：y-1=1(x-1+e) 1-e高等数学期末复习资料 第3页共9页法线方程：y-1=-(1-e)(x-1+e)参数方程型函数的求导"x>0，函数f(x)在闭区间0,x上连续，在开区1； 1+x2由拉格朗日中值定理可得，$xÎ0,x使得等式间(0,p)上可导，并且f¢(x)

18、=ìx=j(t)dy，求 2dxîy=g(t)¢ædyö÷dyg¢(t)d2yçdx【求解例如】1.2.2= =j¢tdxj¢tdx2【题型例如】设参数方程íln(1+x)-ln(1+0)=化简得ln(1+x)=f¢(x)=1(x-0)成立， 1+x第六节 变化率问题举例及相关变化率不作要求 第七节 函数的微分根本初等函数微分公式与微分运算法那么 dy=f¢(x)×dx第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 引理费马引理 罗尔定理 【题型例如】现假设

19、函数f(x)在0,p上连续，在(0,p) 上可导，试证明：$xÎ(0,p)， 使得f(x)cosx+f¢(x)sinx=0成立 【证明例如】1建立辅助函数令j(x)=f(x)sinx显然函数j(x)在闭区间0,p上连续，在开区间1x，又xÎ0,x， 1+x1<1，ln(1+x)<1×x=x， 1+xx即证得：当x>1时，e>e×x第二节 罗比达法那么运用罗比达法那么进行极限运算的根本步骤 1等价无穷小的替换以简化运算2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法那么的三个前提条件 A属于两大根本不定型,0¥且

20、满足条件， 0¥f(x)f¢(x)=lim那么进行运算：limx®agxx®ag¢x(0,p)上可导；2又j(0)=f(0)sin0=0j(p)=f(p)sinp=0 即j(0)=j(p)=03由罗尔定理知再进行1、2步骤，反复直到结果得出B不属于两大根本不定型转化为根本不定型 0×¥型转乘为除，构造分式a【题型例如】求值：limx×lnxx®0【求解例如】1lnx解：limxa×lnx=lim=lim=lima-1x®0x®0L¢x®0x®0a

21、×x¢1æö-2 aça÷xxèxø1=-limxa=0ax®0¥¥(lnx)¢$xÎ(0,p)，使得f(x)cosx+f¢(x)sinx=0成立拉格朗日中值定理【题型例如】证明不等式：当x>1时，e>e×x 【证明例如】1建立辅助函数令函数f(x)=e，那么对"x>1，xx一般地，limxa×(lnx)=0，其中a,bÎRx®0b显然函数f(x)在闭区间1,x上连续，在开区间 ¥

22、;-¥型通分构造分式，观察分母 【题型例如】求值：limç(1,x)上可导，并且f¢(x)=ex；2由拉格朗日中值定理可得，$xÎ1,x使得等式1öæ1-÷x®0sinxxøèex-e1=(x-1)ex成立，x1又e>e，e-e>(x-1)e=e×x-e，x11【求解例如】1öæ1æx-sinxöæx-sinxö解：limç-÷=limç=lim÷ç÷x&

23、#174;0sinxxøx®0èx×sinxøx®0èx2øè化简得e>e×x，即证得：当x>1时，e>e×x 【题型例如】证明不等式：当x>0时，ln(1+x)<x 【证明例如】1建立辅助函数令函数f(x)=ln(1+x)，那么对xx=limL¢x®000(x-sinx)¢(x)¢21-cosx)¢(1-cosxsinx=lim=lim=lim=0x®0x®02xL¢x

24、74;0(2x)¢2 0型对数求极限法 高等数学期末复习资料 第4页共9页【题型例如】求值：limxx®0x【求解例如】解：设y=xx,两边取对数得：lny=lnxx=xlnx=¥¥lnxx0ì00ï0(2)(1)(3)¥-¥¾¾®¬¾¾0×¥¬¾¾í1¥¥ï¥0î¥通分获得分式通常伴有等价无穷小的替换取倒数获得分式将乘积形式转化为分式形

25、式 取对数获得乘积式通过对数运算将指数提前第三节 泰勒中值定理不作要求 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性单调区间 【题型例如】试确定函数f(x)=2x-9x+12x-3的32lnx)¢(lnx对对数取x®0时的极限：lim(lny)=lim=limx®0x®0L¢x®0æ1ö¢ç÷xèxø1limlny=lim=-limx=0，从而有limy=limelny=ex®0=e0=1x®0x®0x®0x®

26、01-2x1¥型对数求极限法【题型例如】求值：lim(cosx+sinx)x®01x单调区间【求解例如】1函数f(x)在其定义域R上连续，且可导2f¢(x)=6x-18x+12【求解例如】解：令y=(cosx+sinx),两边取对数得lny=对lny求x®0时的极限，limlny=limx®0x®0001xln(cosx+sinx)x,x2令f¢()=6x(-1x)(-2=)0x1=1,x2=2，解得：ln(cosx+sinx)x¢ln(cosx+sinx)ùécosx-sinx1-0ë

27、;û=lim=lim=1,从而可得L¢x®0x®0cosx+sinx1+0¢(x)limy=limelny=ex®0x®0x®0limlny=e1=e ¥型对数求极限法 【题型例如】求值：limç【求解例如】tanx4函数fx的单调递增区间为-¥,1,2,+¥； 单调递减区间为(1,2) 【题型例如】证明：当x>0时，e>x+1 【证明例如】1构建辅助函数设j(x)=e-x-1，x>0xæ1ö÷x®0xè&#

28、248;tanxxæ1ö解：令y=ç÷èxøæ1ö,两边取对数得lny=tanx×lnç÷,èxø2j¢(x)=e-1>0，x>0xj(x)>j(0)=03既证：当x>0时，e>x+1【题型例如】证明：当x>0时，ln(1+x)<x 【证明例如】1构建辅助函数设j(x)=ln(1+x)-x，x>0xéæ1öù对lny求x®0时的极限，limlny=lim

29、34;tanx×lnç÷úx®0x®0èxøûë1¥¢ (lnx)=-limlnx¥=-lim=-lim2x®0æx®01öL¢x®0secx¢1æö-ç÷ç÷tan2xètanxøtanxèøsin2x)¢(sinx2sinx×cosx=lim=lim=lim=0,¢

30、x®0Lx®0x®0¢xx12001x>0 -1<0，1+xj(x)<j(0)=02j¢(x)=3既证：当x>0时，ln(1+x)<x连续函数凹凸性【题型例如】试讨论函数y=1+3x-x的单调性、极值、凹凸性及拐点 【证明例如】23从而可得limy=limelny=ex®0x®0x®0limlny=e0=1运用罗比达法那么进行极限运算的根本思路高等数学期末复习资料 第5页共9页2¢ìy=-3x+6x=-3x(x-2)ï1íïî

31、y¢¢=-6x+6=-6(x-1)ììx1=0,x2=2ïy¢=-3x(x-2)=02令í解得：íx=1îïîy¢¢=-6(x-1)=0【题型例如】求函数f(x)=3x-x在-1,3上的最值3【求解例如】1函数f(x)在其定义域-1,3上连续，且可导 f¢(x)=-3x+322令f¢(x)=-3(x-1)(x+1)=0， 解得：x1=-1,x2=1 4函数y=1+3x-x单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(-¥,0),(

32、2,+¥)；函数y=1+3x-x的极小值在x=0时取到，为f(0)=1，极大值在x=2时取到，为f(2)=5；函数y=1+3x-x在区间(-¥,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,+¥)上凸；函数y=1+3x-x的拐点坐标为(1,3)2323234又f-1=-2,f1=2,f3=-18 f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(3)=-18 第六节 函数图形的描绘不作要求 第七节 曲率不作要求第八节 方程的近似解不作要求 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F(x)的导函

33、数为F¢(x)，即当自变量xÎI时，有F¢(x)=f(x)或第五节 函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系设函数f(x)的定义域为D，如果$xM的某个邻域U(xM)ÌD，使得对"xÎU(xM)，都适合不等式f(x)<f(xM)，我们那么称函数f(x)在点éëxM,f(xM)ùû处有极大值f(xM)；令xMÎxM1,xM2,xM3,.,xMn那么函数f(x)在闭区间a,b上的最大值M满足：odF(x)=f(x)×dx成立，那么称F(x)为f(x)的一个原函数原函数

34、存在定理：如果函数f(x)在定义区间I上连续，那么在I上必存在可导函数F(x)使得F¢(x)=f(x)，也就是说：连续函数一定存在原函数可导必连续 不定积分的概念在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项M=maxf(a),xM1,xM2,xM3,.,xMn,f(b)；设函数f(x)的定义域为D，如果$xm的某个邻域C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为：òf(x)dx=F(x)+CU(xm)ÌD，使得对"xÎU(xm)，都适合不等式oò称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称f(x)>f(xm)，我

35、们那么称函数f(x)在点éëxm,f(xm)ùû处有极小值为积分表达式，x那么称为积分变量根本积分表不定积分的线性性质分项积分公式f(xm)；令xmÎxm1,xm2,xm3,.,xmn那么函数f(x)在闭区间a,b上的最小值m满足：ëkf(x)+kg(x)ùûdx=kòf(x)dx+kòg(x)dx òé1212第二节 换元积分法第一类换元法凑微分 dy=f¢(x)×dx的逆向应用m=minf(a),xm1,xm2,xm3,.,xmn,f(b)；ë

36、;j(x)ùû×j¢(x)dx=òféëj(x)ùû×déëj(x)ùû òfé高等数学期末复习资料 第6页共9页【题型例如】求【求解例如】 1òa2+x2=ò1òa2+x21æxö1+ç÷èaø2第三节 分部积分法 分部积分法设函数u=f(x)，v=g(x)具有连续导数，那么其xæxö1ç÷=arctan+

37、Caæxöèaøa1+ç÷èaø2dx=1aò1分部积分公式可表示为：udv=uv-vdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指 运用分部积分法计算不定积分的根本步骤： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； 就近凑微分：v¢×dx=dv 使用分部积分公式：udv=uv-vdu 展开尾项vdu=v×u¢dx，判断a假设v×u¢dx是容易求解的不定积分，那么直接计算出答案容易表示使用根本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果；

38、b假设v×u¢dx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，那么重复、，直至出现容易求解的不定积分；假设重复过程中出现循环，那么联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型例如】求e×xdx 【求解例如】x22x2x2xx2解：òe×xdx=òxedx=òxde=xe-òed(x)òò【题型例如】求【求解例如】 1=2(2x+1)=(2x+1) =C第二类换元法去根式dy=f¢(x)×dx的正向应用òòòòò对于一次根式

39、a¹0,bÎR： t2-bt=x=，a那么原式可化为t对于根号下平方和的形式a>0：x=atant-òp2<t<p2，òx2x于是t=arctan，那么原式可化为asect；a对于根号下平方差的形式a>0：ax=asint-=x2ex-2òx×exdx=x2ex-2òx×d(ex)=x2ex-2xex+2òexdx=x2ex-2xex+2ex+C【题型例如】求e×sinxdx p2<t<p2，x于是t=arcsin，那么原式可化为acost；abx=asect

40、0<t<òxp2，【求解例如】xxxx解：òe×sinxdx=-òed(cosx)=-ecosx+òcosxd(e)=-excosx+òexcosxdx=-excosx+òexd(sinx)=-excosx+exsinx-òsinxd(ex)xxxx即：òe×sinxdx=-ecosx+esinx-òsinxd(e)a于是t=arccos，那么原式可化为atant；x一次根式 【题型例如】求【求解例如】 1tx=2t2-2òt×tdt=òdt=

41、t+C=Cdx=tdt =-excosx+exsinx-òexsinxdxe×sinxdx=òx1xe(sinx-cosx)+C 2p(x)=a0xm+a1xm-1+¼+amqx=b0x+b1xnn-1【题型例如】求【求解例如】 三角换元pp第四节 有理函数的不定积分 有理函数 设：P(x)Qx=22®a2òcos2tdt=xt=arcsinadx=acost22x=asint(-<t<)a22+¼+bn ò(1+cos2t)dt对于有理函数P(x)Qx，当P(x)的次数小于Q(x)的是真分式；当P(x

42、)的次数=a2aæ1öt+sin2t+C=(t+sintcost)+Cç÷2è2ø次数时，有理函数P(x)Qx高等数学期末复习资料 第7页共9页大于Q(x)的次数时，有理函数P(x)Qx是假分式有理函数真分式不定积分的求解思路 将有理函数第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 定积分的定义P(x)Qx的分母Q(x)分拆成两个没有åf(x)Dxòf(x)dx=limla®0ii=1bni=I公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式(x-a)；而另一个多项式可以表示为22二次质因式x+

43、px+q，p-4q<0；kf(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x那么称为积分变量，b称为积分上限，a称为积分下限，()la,b称为积分区间定积分的性质即：Q(x)=Q1(x)×Q2(x)nön，那么参数 a=-÷mømcöæ2b2ax+bx+c=açx+x+÷aaøèbc那么参数p=,q=aaP(x)一般地：mx+n=mçx+æèòòf(x)dx=0 òéëkf(x)ùûdx=

44、kòf(x)dxaaaabbf(x)dx=òf(u)dubbaa线性性质ëk1f(x)+k2g(x)ùûdx=k1òaf(x)dx+k2òag(x)dx òaé积分区间的可加性bbb那么设有理函数Qxk的分拆和式为：òbaf(x)dx=òf(x)dx+òf(x)dxaccbP(x)Qx其中=P1(x)(x-a)=+P2(x)(x2+px+q)l 假设函数f(x)在积分区间a,b上满足f(x)>0，那么òf(x)dx>0；abbb推论一kP1(x)(x-a

45、)P2(x)x(2AkA1A2+.+ kx-a(x-a)2(x-a)l假设函数f(x)、函数g(x)在积分区间a,b上满+px+q)Mx+N1M2x+N2=21+x+px+q(x2+px+q)2lòf(x)dx£òg(x)dx；推论二òf(x)dx£òf(x)aabbaa足f(x)£g(x)，那么+.+Mlx+Nl (x2+px+q)积分中值定理不作要求 第二节 微积分根本公式牛顿-莱布尼兹公式定理三假设果函数F(x)是连续函数f(x)在区间ìMlìM1ìM2,í,.,í 参

46、数A1,A2,.,Ak,í由待定系îN1îN2îNl数法比拟法求出得到分拆式后分项积分即可求解a,b上的一个原函数，那么òf(x)dx=F(b)-F(a)abx2构造法 【题型例如】求òx+1【求解例如】变限积分的导数公式上上导下下导dj(x)f(t)dt=féj(x)ùj¢(x)-féy(x)ùy¢(x) ëûëûòyx()dx【题型例如】求limx®0(x+1)x-(x+1)+1=æx-1+1ö

47、;dxx2=÷òx+1òòçx+1x+1ø è11=òxdx-òdx+òdx=x2-x+ln(x+1)+Cx+12 第五节 积分表的使用不作要求ò1cosxe-tdtx22 【求解例如】d1-t2edtedtòcosxò解：limcosx2=limx®0L¢x®0x2¢x1-t2 ()高等数学期末复习资料 第8页共9页=limx®000e×0-e-1-cos2x×(-sinx)2xsinx×e-cos=limx®02x2x偶倍奇零设f(