数学分析课本(华师大版)-习题及答案十

1、第十一章反常积分一、填空题dx11ex 1 e3 x =32dx=1 ( x 1) (3 x)3dx其中 k 为常数，当 k1时，这积分，当 k1 时，这积分x(ln x) k2当这积分收敛时，其值为4dx20x4x85dx_( x7)x 220xe x6(1e x )2 dx _二、选择填空1 I1xdx则（）1 1 x2A 可以令 xsin t 求得 I2 sintdt 之值211d (1x2 )B 可从凑微分求得 I1之值21x 2C 因被积函数在1, 1 内不连续，不能直接换元D 因被积函数在 1, 1 内不连续，I 之值不存在2 f ( x) 在 a, 连续 ac ，则（）Af (

2、x)dx 收敛，f ( x)dx 也必收敛， 但f (x)dx 发散，f ( x)dx 不一acac定发散 .Bf (x)dx 发散，f (x)dx 也必发散，但f (x)dx 收敛，f ( x)dxacac不一定收敛 .Caf ( x)dx 与f ( x)dx 同时收敛或同时发散 .c1 / 6Df ( x)dx 收敛，f (x)dx 必发散 .ac3若 f ( x 5)442，则积分0 f (2 x 1)dx ( )x10xA.0B.C.是发散的广义积分42dx( )4x)22 (1442A.B.C.3335下列广义积分发散的是()1 dx1dxC.ex2A.B.1 x2dx1 sin x

3、10三计算题1计算下列无究限积分：（1）dx；（ 2）dx；221x1x1x（3）dx；（ 4）dx；2x22x10ex（5）xe x 2dx02讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）dx；3 x 401（2）xdx ；1exa（3）dx；01x（4）xarctgx dx ；11x3（5）x a 1dx a1 ；01x（6）x mdx m, n0 ；1xn0D. 是收敛的广义积分D. 不存在D.dx22x lnx2 / 6ln 1x（7）xn dx ；1dx（8）3 x ln ln x3讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）0sin x 2 dx ；（2）sgn sin xdx ；01 x

4、2（3）x cos xdx ；0100x（4）3ln ln xsin xdxln x4计算下列瑕积分的值：1（ 1）0b（ 3）aln xdx ；1xdx ；（ 2）01xdxa bx a bx5判别下列非正常积分的敛散性：（1）2dx；0 x1 2（2）1 sin xdx ；03x2（3）1xdx ；01x 4（4）1ln xdx ；0 1x（5）1 arctgxdx ；01x 3（6）0ex ln x dx ；（7）1dx；0x ln x（8）21cos x0xmdx3 / 66仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛

5、：1cos 1（1）x dx ；0 x（2）esin x sin 2xdx ；0x27计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）：（ 1）1ln xndx ；1x n0（2）dx01 x21dx8求1 x209求( xx)e x dxdx10求1xx1311求22sin xdx1cos2 x12求(x 2x 1)e x2dx13求3lndx12x14判断下列广义积分的敛散性（ 1） 201dx11dxsin x（ 2）1 (1 x 2 )(1x2 )15判别广义积分x 2 ln xdx 的敛散性4x30 x116计算积分四、证明题3dx21x x 221假定f ( x) dx 对 a 取任何正值时

6、收敛，且f ( x) 为连续函数，f (0)L ，证明0 xf ( x)f ( x)a xdxL ln4 / 62证明无穷限积分的性质3：若 f 在任何有限区间 a，A 上可积， 且f 收敛， 则f 也aa收敛，且fafa3证明定理 10.22：设定义在a,上的非负函数f 与 g 在任何有限区间 a， A 上都可积 .若在 xa 时 fxg x，则当ag 收敛时，f 也收敛；当f发散时，g 也发aaa散.4证明：设 f， g 和 h 为 a,上的连续函数，且成立不等式h xf xg x若hagA , 则fAaa5证明下列等式：1x p1dxxpdx , p0 ；（1）x1x011（2）x p1

7、xpp 1dx0dx,00x1x16举出反例，说明f即使绝对收敛，也不能保证alimf x0x7证明：若 f 在 a,上单调，且f x收敛，则必有alimf x0，且 f xo1， xxx8设 f 在9设 f 在a,a,上可导，且f 与f 均收敛，证明lim f x0aax上一致连续，且af x dx 收敛，证明：lim f x0x10证明瑕积分 A2 ln sin x dx 收敛011利用上题结果，证明2（1）ln sin dln 2；02（2）sin2ln 2 ；1cos05 / 6（3） 2 sin 2ln sind1ln 2；0421 ln 1xdxln 2（4）x20 1812设 f 与 g 是定义在a,上的函数，对任何 Aa 它们在 a, A 上均可积，证明：若 f 20与g 2 收敛，则afg 2与fg 也收敛 .aa五、考研复习题1讨论非正常积分sin xydx 的敛散性，并问取何值时这个积分绝对收敛 .0x2计算下列非正常积分的值：（1）e ak cosbxdx ， a0 ；0（2）e ax sin bxdx, a0 ；0（3）ln x2 dx ；01x（4） 2 lntgd03证明不等式：（1）1 11e x2 dx11 ；2e02e