定积分课件精讲

1、乾县二中乾县二中 王允航王允航 （一）创设情景（一）创设情景 ? 复习：复习：1 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 分割分割近似代替近似代替(以直代曲以直代曲)求和求和取极限（逼近）取极限（逼近） 演示分割近似代替求和逼近的全过程如下：演示分割近似代替求和逼近的全过程如下： 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，

2、注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，

3、矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的

4、关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察归纳 当分割逐渐加细时，矩形面积和与曲边梯形的面积之间有怎样的关系？ ? 当分割逐渐加细时，矩形面积和与曲边梯形的面积越来越接近，进一步讲，当分割趋于正无穷时，矩形面积和与曲边梯形的面积趋于相等 具体详细的操作步骤如下：具体详细的操作步骤如下： 求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积

5、的方法面积的方法 (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成 ?a,x1?,?x1,x2?,?xi-1,xi?,?xn-1,b?,n个小区间个小区间: (2)以直代曲以直代曲:任取任取x xi? ?xi- -1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用高为个小曲边梯形的面积用高为f(x xi), 宽为宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似地去代替近似地去代替. y (3) 作和作和:取取n个小矩形面积的和作个小矩形面积的和作为曲边梯形面积为曲边梯形面积S的近似值：的近似值： b-a每个小区间宽度每个小区间宽度x =ny

6、=f(x) S?f(xi)Dx (4)逼近逼近:所求曲边梯形的面积所求曲边梯形的面积S为为 Dx?0,(n?)i=1n?f(x)Dx?Sii=1nO a xi-1 xi xi Dxb x 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四个步骤四个步骤”: 分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近. 小矩形面积和 Sn=?f(xi)Dx=?i=1i=1nnb-af(xi)?n如果当如果当n? ?+时，时，Sn 就无限接近于某个常数，就无限接近于某个常数， 2对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点 ( (一一)

7、 )定积分的概念定积分的概念 一般地，设函数一般地，设函数f (x)在区间在区间a,b上连续，用分点上连续，用分点 a=x0?x1?x2?xi-1?xi?xn=b将区间将区间 a,b等分成等分成n个小区间，每个小区间长度为个小区间，每个小区间长度为Dxb-a（Dx=） ，在每个小区间，在每个小区间?xi-1,xi?上取一点上取一点nxi?i=1,2, ,n?，作和式：，作和式：nnb-aSn=?f (xi)Dx=?f(xi) ni=1i=1如果如果Dx无限接近于无限接近于0（亦即（亦即n ?） 时，时，上述和式上述和式 Sn无限趋近于常数无限趋近于常数S，那么称该常数，那么称该常数S为函数为函

8、数f (x)在区在区间间a,b上的定积分上的定积分 。记为：。记为：S=?baf (x)dx S=?f(x)dxab积分上限积分上限 定积分的相关名称：定积分的相关名称： ? ? 叫做积分号，叫做积分号， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， f(x) 叫做被积函数叫做被积函数, x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。 S=?baf(x)dx被被积分下限积分下限 积积被被积积函函积积分分数数表表达达变变 式式 量量 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积

9、函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即 ?a(3) bf(x)dx =?f (t)dt =?f(u)du。 aabb（2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和x xi的取法是任意的的取法是任意的. - = f( x ) dx ?b f ( x ) dx ? a b a 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线由连续曲线y= =f(x) ( f(x)? ?0) ，直线，直线x= =a、x= =b及及x轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 b S=?f (x)dx； a (2) 设物体运动的速度设物

10、体运动的速度v= =v(t)，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a, b内运动的距离内运动的距离s为为 bS=?v(t)dt ;a (3) 设物体在变力设物体在变力F= =F(r)的方向上有位移，则的方向上有位移，则F在位移在位移区间区间a, b内所做的功内所做的功W为为 W=?F(r)dr.ab(二二)定积分的几何意义定积分的几何意义： 当f(x)?0时，积分?f(x)dx在几何上表示由y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 b y y=f ( x) ?bcbaf (x)dx =af (x)dx?cf (x)dx。 O a b x 特别地，当a=b时，有?b

11、af (x)dx=0。 定积分的几何意义：定积分的几何意义： 当当f(x)? ?0时，由时，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 与与 x 轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形位于边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方， 积分?f (x)dx在几何上表示 ab y y=-f ( x) b上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 S=?-f(x)dxabS=?-f(x)dxa=- ?f (x)dx ，abO a b=S f (x)dx?af (x)dx =-acf (x)dx。 bcb x bf (x=S f (x)dx?af (x)dx =-acbc y=f ( x) 探究探究: 根据定

12、积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的 y=f ( x) y 面积面积? bbS=S1-S2=?f(x)dx-?g(x)dxaa=g(x)S1=yf ()dx?O bS2=?g(x)dxaaba a x b f(x)dx 一般情形一般情形, 的几何意义为：的几何意义为： ?ba它它 是是 介介 于于x 轴轴 、 函函 数数 f (x)及及 两两 条条 直直 线线x= =a, x= =b 之之 间间 的的 各各 部部 分分 面面 积积 的的 数数代代 和和 在在 x 轴轴 上上 方方 的的 面面 积积 取取 正正 号号 在在； x 轴轴

13、下下 方方 的的 面面积积 取取 负负 号号 ? ? ?a - -f(x) - -b （三）（三）定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1 1 ?baba1dx=b-ab性质性质2. 2. ?kf(x)dx=k?f(x)dxa性质性质3. 3. ? ?ba f ( x )? ?g( x )dx= =? ?f ( x )dx? ? ?g( x )dxaabb 性质性质4. 4. 定积分关于积分区间具有可加性定积分关于积分区间具有可加性 ? ?f ( x )dx= =? ?f ( x )dx? ? ?f ( x )dxaacbcb y 思考：思考：从定积分的几何从定积分的几何意义解释性质意义解

14、释性质(4) (4) y =f(x) bbaf (?x)dx x=)f。 (。x)dxf (x) dx = f (f (x)dxf (x)dx ?f (x)dx=x)dx?f (dx ?aaaacacccbbbcbcf (x)dx。 O bc1aaa c2c1c bc2b x f ( x )dx= =f ( x )dx? ?f ( x )dx? ?f ( x )dx? ? ? ? ?典例分析： ? 例例1说明下列定积分所表示的意义，并根据其说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：意义求出定积分的值： 121（ 1 1）2dx； （2）xdx； （3）01?-11-xdx。 2

15、分析：引导学生利用定积分的定义与几何意义求解。 （1 1）?02dx表示的是如图中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的12dx?面积是2，所以 =2 01 （2）?2xdx表示的是如图中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形1的面积是32 2 ?1xdx=32 ，所以 （3）?-11-x dx表示的是如图中阴影所示半径为1的半圆 的 面 积 ， 由 于 这 个 半 圆 的 面 积 是?212， 所 以 ?1-1?1-x dx= 22 例例 2 2、计算定积分1?2(x?1) dx 分析：所求定积分是x=1,x=2，y=0与y=x+1所围成的梯形5面积，即为如图阴影部分面积，面积为2。 即： ?215(x?1) dx=2y O 1 2 x 例例3用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算） 1） （2）【答案】【答案】 （1）， （2） （ 课堂练习： （四）课堂小结（四）课堂小结 1.今