卡诺图化简法模板

1、五逻辑函数的卡诺图化简法1.关于“最小项”（1）最小项定义如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量包含了函数的全部变量，其中每个变量每个变量都以原变量或反变量的形式原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC返回第6章（2）最小项的表示方法通常用符号mi来表示最小项。下标下标i的确定：的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的

2、下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：m0?A BC、m1?A BC、m2?ABC、m3?ABCm4?ABC、m5?ABC、m6?AB C、m7?ABC第6章（3）最小项的性质A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 3 变量全部最小项的真值表m0m1m2m3m4m5100000010000001000000100000010000001000000000000m600000010m700000001性质性质1 1：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1,而在变量取其他各组值时这个最小项的值都是0。第6章（3）最小项的性质A

3、 B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 3 变量全部最小项的真值表m0m1m2m3m4m5100000010000001000000100000010000001000000000000m600000010m700000001性质性质2 2：不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。第6章（3）最小项的性质A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 3 变量全部最小项的真值表ABCABCm0m1m2m3m4m5m6m710000000010000000010BC?00?0?B0C?00A

4、BC?AAA?BC0001000000001000000001000000001000000001性质性质3 3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。第6章（3）最小项的性质A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3 变量全部最小项的真值表 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 变量变量取值为取值为。0 ABCABC0 0 001001情况下，各最小项之和为情况下，各最小项之和为1 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1

5、0 0 0 【因为其中只有一个最小项为【因为其中只有一个最小项为1 1，其余全为，其余全为0 0。】。】0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 性质性质4 4：全部最小项的和必为1。第6章（4）逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式标准与或表达式，也称为最小项表达式最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。第6章? 最小项的若干表示方法最小项的若干表示方法例如：L(A,B,C)?AB?AC?AB(C?C)?A(B?B

6、)C?【表示法1】?ABC?ABC?ABC?ABC【表示法2】【表示法3】【表示法4】【表示法5】?m7?m6?m3?m1?m?1 ,3 ,6 ,7?mi(i?1 ,3 ,6 ,7 )i?(1 ,3 ,6 ,7 )第6章例：将下列函数化为最小项之和的形式Y?A?BC添项?A(B?B)(C?C)?(A?A)BC?ABC?ABC?A BC?A BC?ABC?ABC?A B C?A BC?ABC?ABC?ABC?m0?m1?m2?m3?m7?m (0 ,1 ,2 ,3 ,7 )第6章? 已知真值表，写出函数的最小项之和的形式已知真值表，写出函数的最小项之和的形式如果列出了函数的真值表，则只要将函数值

7、为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Y 0 1 1 1 0 1 0 0 最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m1?A BCm2?ABCm3?ABCm5?ABC第6章则由真值表可得如下逻辑表达式：Y?m1?m2?m3?m5?m(1 ,2,3,5)?ABC?ABC?ABC?ABC注意：注意：? 将真值表中函数值为函数值为0的那些最小项相加，便可得到反反函数函数的最小项表达式。? 在n个变量的逻辑系统中，如果Y Y为为i i个个最小项之和，则Y必为余下的（余下的（

8、n ni i）个）个最小项之和。第6章（5）最小项的相邻性任何两个最小项如果他们只有一个因子不同只有一个因子不同，其余因子其余因子都相同都相同，则称这两个最小项为相邻最小项这两个最小项为相邻最小项。显然，m0与m1具有相邻性，而m1(A BC)与m2(ABC)不相邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2相邻。相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变量。如：m0?m2?A BC?ABC?A(B?B)C?A C第6章2.卡诺图 基本知识卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最

9、小项，而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。n对于有n个变量的逻辑函数，其最小项有2个。因此该逻辑函数的卡诺图由2n 个小方格构成，每个小方格都满足逻辑相邻项的要求。分别画出了二、三、四个变量的卡诺图。图图 三变量卡诺图三变量卡诺图图图 四变量卡诺图四变量卡诺图补充画卡诺图。例8 画出逻辑函数的卡诺图。解：F(A ,B,C,D)? ?m (0 ,1 ,2 ,5 ,7 ,8 ,10 ,11 ,14 ,15 )3.逻辑函数的卡诺图化简法利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为逻辑函数的卡诺图化简法。卡诺图相邻性的特点保证了几何

10、相邻两方格所代表的最小项只有一个变量不同。因此，若相邻的方格都为1（简称1格）时，则对应的最小项就可以合并。合并的结果是消去这个不同的变量，只保留相同的变量。这是图形化简法的依据。综合上述概念，卡诺图具有下述性质：性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。例：右图为两个1格合并时消去一个变量的例子。图中，m1和m5为两个相邻1格，则有：m1?m5?ABC?ABC?(A?A)BC?BC再如：再如：ABCD?ABCD ABCD?ABCD?BCD(A?A)?BCD?ABD(C?C)?ABDABDBCD性质性质2：卡诺图中四个相邻：卡诺图中四个相邻1格的最小项，可以合并成

11、一个与项，格的最小项，可以合并成一个与项，并消去两个变量。并消去两个变量。例：例：ABC?ABC?ABC?ABC?AC(B?B)?AC(B?B)?AC?AC?CAC再如：再如：ACABCD?ABCD?AB CD?ABCD?ACD(B?B)?ACD(B?B)?CD(A?A)?CDBDBD性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去三个变量。综上所述，在n个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为0，1，2，n）, 它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去k个不同的变量，简化为一个具有(n-k)个变量的与项。若k =n，则合并时可消去全部变量，结果为1。 用卡诺图化简法求最简与或表

12、达式的步骤是：（1）画出函数的卡诺图；（2）合并最小项；（3）写出最简与或表达式。用卡诺图化简法求逻辑函数F(A ,B,C,)? ?(1 ,2 ,3 ,6 ,7 )的最简与或表达式解：1画出函数F 的卡诺图。对于在函数 F 的标准与或表达式中出现的那些最小项，在其卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填；2合并最小项。把图中所有的1格都圈起来，相邻且能够合并在一起的1 格圈在一个大圈中；3写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保留相同的变量，去掉互反的变量。例m1?ABC?001m6?AB C?1101 1 11 1m2?A BC?010m7?ABC? 111m3?A BC? 0

13、11F =（m1+m3）+（m2+m3+m6+m7）F?(ABC?ABC)?(ABC?ABC?ABC?AB C)?A C?B例10 用卡诺图化简函数F(A ,B,C,D)?AB CD?ABCD?AB CD?ABCD解： 根据最小项的编号规则，得F?m3?m9?m11?m13将这四个最小项填入四变量卡诺图内化简得F?A CD?BCD例11用卡诺图化简函数F(A ,B,C,D)?ABC?A CD?ABCD?ABC解：从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量补上：ABC?ABC(D?D)?ABCD?ABCDA CD?

14、A CD(B?B)?A BCD?AB CDABCABC (D?D )?ABC D?ABC DF?m?m?m?m?m?m?m01268910则有F(A ,B,C,D)?ABCD?ABCD?A BCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD将这七个最小项填入四变量卡诺图内化简得F?BC?BD?A CD提示（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例的方法补齐）。（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。（4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一

15、个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。（5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。（7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。练习：判断正确与错误例1错误 （多画一个圈）正确F?BC?ABC?A CD?A CDF?BC?ACD?ABD例2错误（圈的面积不够大）正确F?B?ABCF?B?A C例3错误（圈的面积不够大）例4圈错无误新（的有一格个）F?C?BCDF?BD?AB C?AC

16、D?A BC?ACD1正确正确F?C?BDF?AB C?A CD?A BC?ACD4. 具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简法 什么是无关项?d(.)表示无关项，例在逻辑函数表达式中用实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的如 ，?d(2 ,4 ,5 )说明最小项m2、m4、m5为无关项；某些取值下，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。也用逻辑表达式表示函数中的无关项，例如例如：一个逻辑电路的输入为8421-BCD码，显然信息中有d?）是不使用的，这些变量取值所对AB?AC六个变量组合（10101111说明AB?AC所包含的最小项为无关项。应的最小项称为无关项。如果电

17、路正常工作，这些无关项决不会出现，那么与这些无关项在真值表或卡诺图中用来表示。无关项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0。无关项的意义在于，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。 无关项的表示方法例用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)? ?m (1 ,3 ,7 ,11 ,15 )? ?d(0 ,2 ,9)解：该逻辑函数的卡诺图如下图所示。对该图可以有两种化简方案：化简结果为F?AB?CD化简结果为F?BD?CD阶段性小结?逻辑函数的化简有公式法和卡诺图化简法等。? 公式法是利用逻辑代数的公式和规则（定理）来对逻辑函数化简，这种方

18、法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和规则（定理），且具有一定的运用技巧。?卡诺图化简法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，一般说来变量个数大于等于5时该法已不适用。?在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到更为简单的结果。第6章卡诺图化简的步骤 将给定的逻辑函数式化成最小项之和的形式或化成与或化成最小项之和的形式或化成与或形式形式。 画卡诺图画卡诺图：凡式中包含的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。 合并最小项合并最小项：将满足2n个最小项相邻的1方格圈在一起，形成一个包围圈，对应该圈可以写成一个新的乘积项。 写出最简与或表达式写出最简与或表达式：将所有包围圈对应的

19、乘积项相加。第6章? 画包围圈时应遵循的原则： 圈内方格数必须是2n个，n=0,1,2,? 相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。 同一方格可以被重用，但重用时新圈中一定要有新成员加入，否则新圈就是多余的。 每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。注意注意: :包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。第6章6.5 6.5 集成门电路集成门电路门电路门电路是用以实现逻辑关系的电子电路。是用以实现逻辑关系的电子电路。分立元件门电路分立元件门电路门门电电路路双极型集成门（双极型集成门（DTL、TTL）集成门电路集成门电路MOS

20、集成门集成门NMOSPMOSCMOS一、正逻辑与负逻辑一、正逻辑与负逻辑正逻辑：用高电平表示逻辑正逻辑：用高电平表示逻辑1，用低电平表示逻辑，用低电平表示逻辑0负逻辑：用低电平表示逻辑负逻辑：用低电平表示逻辑1，用高电平表示逻辑，用高电平表示逻辑0在数字系统的逻辑设计中，若采用在数字系统的逻辑设计中，若采用NPN晶体管晶体管和和NMOS管，电源电压是正值，一般采用正逻辑。管，电源电压是正值，一般采用正逻辑。若采用的是若采用的是PNP管和管和PMOS管，电源电压为负值，管，电源电压为负值，则采用负逻辑比较方便。则采用负逻辑比较方便。今后除非特别说明，一律采用正逻辑。今后除非特别说明，一律采用正逻

21、辑。概述概述二、逻辑电平二、逻辑电平Vcc高电平下限高电平下限5V2V1 1VISVo低电平上限低电平上限 0.8V0V0 0实际开关为晶体二极实际开关为晶体二极管、三极管以及场效管、三极管以及场效VI控制开关控制开关S的断、通情况。的断、通情况。应管等电子器件应管等电子器件S断开，断开，VO为高电平；为高电平；S接通，接通，VO为低电平。为低电平。概述概述逻辑电平?高电平高电平UH：?输入高电平输入高电平UIH?输出高电平输出高电平UOH?低电平低电平UL：?输入低电平输入低电平UIL?输出低电平输出低电平UOL?逻辑逻辑“0” 和逻辑和逻辑“1” 对应的电压范围宽，对应的电压范围宽，因此在

22、数字电路中，对电子元件、器件因此在数字电路中，对电子元件、器件参数精度的要求及其电源的稳定度的要参数精度的要求及其电源的稳定度的要求比模拟电路要低。求比模拟电路要低。二极管开关特性二极管开关特性 Vcc R 利用二极管的单向导电利用二极管的单向导电性，相当于一个受外加电压性，相当于一个受外加电压极性控制的开关。极性控制的开关。uI D uo 二极管开关电路二极管开关电路 假定：假定：U UIHIH=V=VCC CC ，U UILIL=0=0当当u uI I=U=UIHIH时，时，D D截止，截止，u uo o=V=VCCCC=U=UOHOH当当u uI I=U=UILIL时，时，D D导通，导

23、通，u uO O=0.7=U=0.7=UOLOL 开关断开开关断开 开关闭合开关闭合双极型三极管输出特性双极型三极管输出特性 b iB e 0 iB=0mA uces 截止区截止区 uce(V) c i C 饱和区饱和区 ic(mA) 放大区放大区 硅料硅料NPN型三极管型三极管 放大区：发射结正偏，集电结反偏；放大区：发射结正偏，集电结反偏；u ubebeuuT T， u ubcbc00；起放大作用。；起放大作用。截止区：发射结、集电极均反偏，截止区：发射结、集电极均反偏，u ubcbc0V0V，u ubebe0V0V；一般地，；一般地，u ubebe0.7VVVT T， u ubcbcVV

24、T T；深度饱和状态下，；深度饱和状态下，饱和压降饱和压降U UCEs CEs 约为约为0.2V0.2V。双极型三极管开关特性双极型三极管开关特性+VCC Rc iC uo Rb b c ui iB e 三极管开关电路三极管开关电路 利用三极管的饱和与截利用三极管的饱和与截止两种状态，合理选择电路止两种状态，合理选择电路参数，可产生类似于开关的参数，可产生类似于开关的闭合和断开的效果，用于输闭合和断开的效果，用于输出高、低电平，即开关工作出高、低电平，即开关工作状态。状态。假定：假定：U UIHIH=V=VCC CC ，U UILIL=0=0当当u uI I=U=UIHIH时，三极管深度饱和，

25、时，三极管深度饱和，u uo o=U=USEsSEs=U=UOLOL 开关闭合开关闭合当当u uI I=U=UILIL时，三极管截止，时，三极管截止，u uO O=V=Vcccc=U=UOHOH 开关断开开关断开分立元件门电路分立元件门电路一、二极管与门一、二极管与门 VD1 A VD2 B +VCC(+5V) R uA uB 0V 0V 0V 5V 5V 0V 5V 5V uY 0.7V 0.7V 0.7V 5V VD1 VD2 导通 导通 导通 截止 截止 导通 截止 截止 Y A B0 00 11 01 1Y0001Y=ABAB &Y分立元件门电路分立元件门电路二、二极管或门二、

26、二极管或门 A VD1 B VD2 A B0 00 11 01 1uA uB 0V 0V uY 0V 4.3V 4.3V 4.3V VD1 VD2 截止 截止 截止 导通 导通 截止 导通 导通 Y R 0V 5V 5V 0V 5V 5V Y0111Y=A+BAB 1Y分立元件门电路分立元件门电路三、三极管非门三、三极管非门+VCC Rc iC uo Rb b c ui iB e 三极管开关电路三极管开关电路 0.7V0.7V，保证，保证利用二极管的压降为利用二极管的压降为输入电压在输入电压在1V1V以下时，开关电路以下时，开关电路可靠地截止。可靠地截止。AY输入为低，输出为高；输入为低，输出

27、为高；输入为高，输出为低。输入为高，输出为低。01 A(V) Y(V) 2 0.2 Y? ?A A 1 Y 10TTLTTL集成门电路集成门电路一、一、7474系列门电路系列门电路R14k W WR2R4130 W WT4+Vcc1.6K W WA(V) Y(V) b e 0.2 3.6 c 3.4 0.2 T1等效电路等效电路 AD1T2T1R31KW W输入级输入级中间级中间级输出级输出级D2YT5A0推拉式输出级作用：推拉式输出级作用：降低功耗，提高带降低功耗，提高带1负载能力负载能力 Y10TTLTTL非门典型电路非门典型电路Y? ?ATTLTTL集成门电路集成门电路区别：区别：T T

28、1 1改为改为多发射极三极管多发射极三极管。uA(V) uB(V) 0.2 0.2 e1 e2 b uY(V) 3.6 3.6 3.6 0.2 c 0.2 3.4 3.4 0.2 3.4 3.4 多发射极等效电路多发射极等效电路 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 1 1 1 0 TTLTTL与非门典型电路与非门典型电路Y? ?AB TTLTTL集成门电路集成门电路区别：有各自的输入级和倒相级，并联使用共同的输出级。区别：有各自的输入级和倒相级，并联使用共同的输出级。uA(V) uB(V) 0.2 0.2 0.2 3.4 3.4 0.2 3.4 3.4 uY(V) 3.6 0.2 0.

29、2 0.2 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 Y 1 0 0 0 TTLTTL或非门典型电路或非门典型电路Y? ?A? ?B TTLTTL集成门电路集成门电路二、二、74S74S系列门电路系列门电路74S74S系列又称肖特基系列。采用了抗饱和三极管，或称系列又称肖特基系列。采用了抗饱和三极管，或称肖特基晶体管，是由普通的双极型三极管和肖特基势垒二极肖特基晶体管，是由普通的双极型三极管和肖特基势垒二极管管SBDSBD组合而成。组合而成。 SBDSBD的正向压降约为的正向压降约为 0.3V0.3V，使晶体管不会，使晶体管不会进入深度饱和，其进入深度饱和，其U Ubebe限制在限制在0.3V0

30、.3V左右，从而缩短存储时间，左右，从而缩短存储时间，提高了开关速度。提高了开关速度。SBDiDiib(a)(b)抗饱和三极管TTLTTL集成门电路集成门电路三、三、TTLTTL系列门电路系列门电路性能比较好的门电路应该是工作性能比较好的门电路应该是工作 速度既快，功耗又小速度既快，功耗又小 的的门电路。因此，通常用功耗和传输延迟时间的乘积门电路。因此，通常用功耗和传输延迟时间的乘积 ( (简称功简称功耗耗延迟积延迟积) )来评价门电路性能的优劣。功耗来评价门电路性能的优劣。功耗延迟积越小，延迟积越小，门电路的综合性能就越好。门电路的综合性能就越好。74：标准系列；：标准系列；74H：高速系列

31、；：高速系列；74S：肖特基系列；：肖特基系列；74LS74LS：低功耗肖特基系列；：低功耗肖特基系列；74LS74LS系列成为功耗延迟积较系列成为功耗延迟积较小的系列。小的系列。74LS74LS系列产品具有最佳的综合性能，是系列产品具有最佳的综合性能，是TTLTTL集成集成电路的主流，是应用最广的系列。电路的主流，是应用最广的系列。74AS：先进肖特基系列；：先进肖特基系列；74ALS74ALS：先进低功耗肖特基系列。：先进低功耗肖特基系列。TTLTTL集成门电路集成门电路74LS74LS系列常用芯片系列常用芯片VCC 3A 3B 3Y 4A 4B 4Y VCC 4A 4Y 5A 5Y 6A

32、 6Y 1 4 13 12 1 1 1 0 9 8 74LS00 1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11 1 0 9 8 74LS04 1 2 3 4 5 6 7 1A 1B 1Y 2A 2B 2Y GND 4与非门与非门 74LS00的引脚排列图 1A 1Y 2A 2Y 3A 3Y GND 6 反相器反相器 74LS04的引脚排列图 3 Y 3B 3 A 4Y 4 B 4 A VCC 14 13 12 11 10 9 8 74LS02 1 2 3 4 5 6 7 1 Y 1 B 1 A 2 Y 2 B 2 A GND 4或非门或非门 74LS04的引脚排列图 TTLTTL集成门电路集成门电路与与A 门门B A 或或门门B A 异异 & AB 1 A+B & 1 Y=AB=AB1 ABAB&Y1YY=A+B=A+B或或门门B 1 1 Y AB=1YY? ?A? ?B? ?A? ?B? ?A? ?B(A? ?B)? ?(A? ?B)(A? ?B)? ?AB? ?AB? ?A? ?BTTLTTL集成门电路集成门电路四、集电极开路的门电路（四、集电极开路的门电路（OCOC门）门）1.“1.“线与线与”的概念的概念Y? ?AB? ?CDABCDABCD& &“线与线与”&