高等数学课件：5 含参变量的积分

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1含参变量的积分含参变量的积分连续性连续性可导性可导性莱布尼茨公式莱布尼茨公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2 )().(, bxadyyxfx 一、含参变量积分的连续性是变量是变量 在在 上的一个一元连续函数上的一个一元连续函数,设函数设函数 是在矩形是在矩形 ),(yxf),( bbxaR dyyxf),(, 上的连续函数上的连续函数. 在在 上任意确定上任意确定 的一个值的一个值, 于是于是),(x x,bax),(yxfy从而积分从而积分xx,ba存在存在, 这个积分的值依赖于取这个积分的值依赖于取定的定的 值值. 当当 的

2、值改变时的值改变时,一般来说这个积分的值也一般来说这个积分的值也跟着改变跟着改变. 这个积分确定一个定义在这个积分确定一个定义在上的上的 的函的函数数, 我们把它记作我们把它记作即即2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3定理定理1 1 如果函数如果函数 在矩形在矩形 ),(yxf),( bbxaR )(),()(bxadyyxfx,ba上连续，那么由积分上连续，那么由积分确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续. (p.193 . (p.193 Th.5.1)Th.5.1)(x 证证设设 和和 是是 上的两点，则上的两点，则xxx ,ba)1(.),(),()()( dyyxfy

3、xxfxxx这里变量这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量参变量.x2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4由于由于 在闭区域在闭区域 上连续，从而一致连续上连续，从而一致连续.),(yxfR因此对于任意取定的因此对于任意取定的 ,存在存在 ,使得对于使得对于 内内的任意两点的任意两点 及及 ,只要它们之间的距离只要它们之间的距离小于小于 ,即即0 0 R),(11yx),(22yx ,)()(212212 yyxx就有就有.),(),(1122 yxfyxf因为点因为点 与与 的距离等于的距离等于 ,所以当所以当),(yxx ),(yxx

4、 时时,就有就有 x.),(),( yxfyxxf于是由（于是由（1）式有）式有2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5).(),(),()()( dyyxfyxxfxxx所以所以 在在 上连续上连续. 定理得证定理得证)(x ,ba注注 既然函数既然函数 在在 上连续上连续,那么它在那么它在 上上的积分存在的积分存在,这个积分可以写为这个积分可以写为)(x ,ba,ba.),(),()( bababadyyxfdxdxdyyxfdxx 右端积分式函数右端积分式函数 先对先对 后对后对 的二次积分的二次积分.),(yxfyx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6定理定理2 2

5、 如果函数如果函数 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR上连续上连续, ,则则)2(.),(),(dydxyxfdxdyyxfbaba 公式（公式（2）也可写成）也可写成)2(.),(),( babadxyxfdydyyxfdx 5.3 195.定理p2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7例例1 1 求求).0(ln10badxxxxIab 解解 ,lnlnxxxxxdyxabbaybay.10 baydyxdxI这里函数这里函数 在矩形在矩形yxyxf ),()0 , 10(byaxR 上连续，根据定理上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有，可交换积分次序，由此有 bay

6、dyxdyI10.11ln11 abdyybadyyxbay1011 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 我们在实际中还会遇到对于参变量我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值，的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变积分限也不同的情形，这时积分限也是参变 量量 的的函数函数.这样这样,积分积分xx 3,dyyxfxxx 也是参变量也是参变量 的函数的函数.下面我们考虑这种更为广泛地下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质依赖于参变量的积分的某些性质.x2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9定理定理3 3 如果函数如果函数 在矩形在矩形),(y

7、xf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，并且并且则由积分（则由积分（3 3）确定的函数）确定的函数 在在 上也连续上也连续. .证证设设 和和 是是 上的两点，则上的两点，则,baxxx .),(),()()()()()()(dyyxfdyyxxfxxxxxxxxx 5.4 196.定理p2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10 ,),(),(),(),()()()()()()()( xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxfdyyxxf )4(.),()

8、,(),(),()()()()()()()()( xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx 当当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，时，上式右端最后一个积分的积分限不变，0 x2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11根据证明定理根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零时同样的理由，这个积分趋于零.又又. )()(),(, )()(),()()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx 其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值. 根据根据 与与 在在 上连续的假定，由以上两式可见，上连续的假定，由以上两式可见， 当当 时，（时

9、，（4）式右端的前两个积分都趋于）式右端的前两个积分都趋于零零. 于是，当于是，当 时，时，M),(yxfR)(x )(x ,ba0 x0 x),(0)()(bxaxxx ,ba)(x 所以函数所以函数 在在 上连续上连续. 定理得证定理得证2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12下面考虑由积分下面考虑由积分(*)确定的函数确定的函数 的微分问题的微分问题.)(x xyxf ),(定理定理4 4 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x ,ba)5(.),(),()( dyxyxfdyyxfdxdx矩形矩形 上连续上连续, ,那么由积分那么

10、由积分(1)(1)确定的函数确定的函数 在在 上可微分上可微分, ,并且并且二、含参变量的函数的微分5.2 194.定理p2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13证证因为因为,)()(lim)(0 xxxxxx为了求为了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比)(x .),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx由拉格朗日中值定理有由拉格朗日中值定理有dyyxxfx),(2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14dyyxfdyyxxfxxx),(),(lim0dyyxxfxxxxxxxx),(lim)()(lim)(002007年8月南京航空航天大学 理

11、学院 数学系15定理定理5 5 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 则由积分则由积分(3)(3)确定的函数确定的函数 在在 上可微，并且上可微，并且xyxf ),(矩形上矩形上 连续，又函数连续，又函数 与与 在区间在区间 上可微，并且上可微，并且)7().()(,)()(,),(),()()()()()(xxxfxxxfdyxyxfdyyxfdxdxxxxx 三、莱布尼茨公式5.4 196.定理p2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16证证由由(4)式有式有)8(.),(1),

12、(1),(),()()()()()()()()(dyyxxfxdyyxxfxdyxyxfyxxfxxxxxxxxxxxx 当当 时，上式右端的第一个积分的积分限时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则不变，则0 x.),(),(),()()()()(dyxyxfdyxyxfyxxfxxxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17对于对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得右端的第二项，应用积分中值定理得),()()(1),(1)()( xxfxxxxdyyxxfxxxx 其中其中 在在 与与 之间之间. 当当 时时,)(x )(xx 0 x),(,),(),()()(1xxfxxfxxxxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18类似地可证类似地可证,当当 时时,0 x).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 因此，令因此，令 ，取，取(8)式的极限便得公式式的极限便得公式(7). 0 x公式公式(7)称为称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式.于是于是).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19应用莱布尼茨公式，得应用莱布尼茨公式，得1sin2sincos)(2222 xxxxxxydyxxx例例2 2 2,sin)(xxdyyxyx).(x 设设求求xx