上海市金山中学高一数学上学期期中试题

1、1 上海市金山中学高一数学上学期期中试题 金山中学 2016 学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷 (考试时间：90 分钟 满分：100 分) 一、填空题(本大题共 12 小题，满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每 个空格填对得 3 分，否则一律得零分 1 若全集 U 123,4,5且 CuA 2,3,则集合 A . _ . 2已知集合 A 1,0,1 , B x| x 4 0，则 AB - - x 3 3函数 f(x) - , g(x) x 3,则 f(x) g(x) . x 3 x 1 4.函数f(x) - 的定义域是 _ . x 2 x x 0 5 设函数f

2、(x) / ,若f(a) 2,则实数a为 _ x ,x 0 1 6 .若 0 a 1，则关于x的不等式(a x) x - 0 的解集是 _ r _ a 7已知P:x2 x 2 0,Q:x a，若Q是P的充分非必要条件，则实数 a的取值范围是 10 .已知集合A 1,2 , B x |mx 1 0，且A B B ,则实数m的取值范围是 _ . 11.设函数f(x) x 2，若不等式| f(x 3) | | f (x) | m对任意实数x恒成立，则 m的取值范 围是 . 12 .满足不等式|x A| B(B 0,A R)的实数x的集合叫做 A的B邻域，若a b 2的a b邻域 二、选择题(本大题共

3、有 4 小题，满分 12 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应 编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 3 分，否则一律得零分 13 .若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 () (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 14 .设x取实数，则f (x)与g(x)表示同一个函数的是 ()&若关于x的不等式|ax 2| 3的解集为x| x 1，则 a= - 9 .若关于x的不等式(a 1)x2 2( a 1) 4 0的解集为 则实数a的取值范围是 是一个关于原点对称的区间，则 1 a 4 -的取值范围是 b (C) f (

4、x) 1, g( ：x) (x 1)0 (D) f(x) 2 x g(x) x 3 x 3 15.若a和1 b均为非 E零数， 则下列不等 :式中恒成立的是 () 2 (A) a b2 ( b)2 (B) b a 2 2 2 a b (C) (a b)(- a !) b 4 | a (D) b| 2 | ab| 16若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ，那 么函数解析式为y 2x2 1，值域为5,19的“孪生函数”共有 （） （A）4 个 （B）6 个 （C） 8 个 （D） 9 个 三、（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应

5、编号的规定区域内写出必要的步 骤 x 2 1 17.（本小题满分 8 分）解不等式组 x 1 x2 x 2 0 A B 2,1,5 , A B 2，求 p q r 的值 19.（本小题满分 10 分）已知集合P a|不等式 x2 ax 丄 0 有解, 16 集合Q a |不等式 ax2 4ax 4 0 对任意实数 x 恒成立，求P Q 20. （本小题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分, 第 3 小题4 分。 (A) f (x) x , g(x) x2 (B) f (x) g(x) 18 .（本小题满分 8 分）已知集合A x |x2 px 2 0

6、 , B x|x2 qx r 0，若 3 我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形 ABC的空地上 修建一个占地面积为 S （平方米）的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC 上，点N在AB上，且P点在斜边 BC上已知 ACB 60 , | AC | 30米，|AM|=x米, (1) 试用 x表示S，并求S的取值范围； (2) 求总造价 T 关于面积S的函数T f(S)； (3) 如何选取|AM |，使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) 21. (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 6 分。 设函数g(x) x 1

7、，函数h(x) , x ( 3 , a，其中a为常数，且a 0。令函数f (x) x 3 为函数g(x)与h(x)的积。 (1) 求函数f (x)的表达式，并求其定义域； 1 (2) 当a -时，求函数f (x)的值域； 4 1 1 (3) 是否存在自然数a，使得函数f (x)的值域恰为-，?若存在，试写出所有满足条件的自然 x 10,20.设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 37k 一 兀, S 再把矩形AMPN以外(阴影部分) 铺上草坪，每平方米的造价为 12k S 元(k为正常数) 5 3 2 数a所构成的集合；若不存在，试说明 理由。6 金山中学 2016 学年度第一学期高一年级数

8、学学科期中考试卷 答案 (考试时间：90 分钟满分：100 分) 一、填空题(本大题共 12 小题，满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每 个空格填对得 3 分，否则一律得零分 1 若全集 U 123,4,5且 CuA 2,3,则集合 A _ . 1,4,5 2已知集合 A 1,0,1 , B x| % 4 0,则 A B _ - 0 x 3 3函数 f(x) - , g(x) x 3,则 f(x) g(x) _ x 3, x ( ,3) (3,) x 3 4 函数f(x) 的定义域是 _ 1,2 2, x 2 x x 0 ! 5 设函数f(x) / ,若f(a) 2,

9、则实数a为 _ 2,J2 x ,x 0 1 1 6 .若 0 a 1，则关于x的不等式(a x) x 0 的解集是 _ 。(a,) a a 7 已知P:x2 x 2 0,Q:x a ,若Q是P的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 a 1 8. 若关于x的不等式|ax 2 | 3的解集为x| 5 x】 ，则 a = r 3 3 3 9 若关于x的不等式(a 1)x2 2(a 1) 4 0的解 集为，则实数 a的取值范围是 (3,1 10 已知集合A 1,2, B x|mx 1 0 ,且A B B，则实数 m的取值范围是 (2,1) 11. 设函数f(x) x 2，若不等式| f (x 3) |

10、 | f (x) | m对任意实数x恒成立，则 m的取值范 围是 _ ( , 3) 12. 满足不等式|x A| B(B 0,A R)的实数x的集合叫做 A的B邻域，若a b 2的a b邻域 1 4 1 9 是一个关于原 点对称的区间，贝 U 的取值范围是 (，,) a b 2 2 二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 12 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应 编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 3 分，否则一律得零分 13 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 (D ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形16 7

11、 14设x取实数，则f （x）与g（x）表示同一个函数的是（ B ） (A) f (x) x , g(x) x2 (B) f (x) 依2 () ，g(x) x x x2 (C) 1 f(x) 1, g(x) (x 1)0 (D) f(x) 2 x 9 (、 ,g(x) x 3 x 3 15若 a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 (A ) (A) 2 2 a b a b 2 /b a 2 (B)- 2 ( 2 ) a b (C) 1 1 (a b)(- -) 4 a b | a (D) b| 2 |ab| 16若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数

12、” ，那 么函数解析式为y 2x2 1，值域为5,19的“孪生函数”共有 （D ） （A） 4 个 （B）6 个 （C） 8 个 （D） 9 个 三、（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在 答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步 骤 、卄 、 2 1 17.（本小题满分 8 分）解不等式组 x 1 x2 x 2 0 1 0 解: 原不等式组等价于 x 1 2 分 (x 2)(x 1) x 1 得到 亠 6 分 x 2 或 1 所以解集为（2, ) 8 分 18 .（本小题满分 8 分) 已知集合A X |x2 px 2 2 0 , B x|x qx r 0，若 A B 2,1,

13、5, A B 2，求 p q r的值 解: 由题意得， 2 A，代 弋入A中方程得 p 1，故 A 2,1, 由 A B 2,1,5和 A B 2 得: B 2,5 代入B中方程得： q 3, r 10 所以p q r 14 8 19.（本小题满分 10 分）已知集合 P a |不等式 x2 ax 丄 0 有解, 16 9 集合Q a |不等式 ax2 4ax 4 0 对任意实数 x 恒成立，求P Q 1 1 11 解：P a |不等式 x2 ax 0 有解，故1 a2 - 0，解得a -或a -, 16 4 2 2 集合Q a |不等式 ax2 4ax 4 0 对任意实数 x 恒成立，对a分

14、类： (1) a 0 时恒成立；(2) a 0 时，2 16a2 16a 0,解得 1 a 0 综合得： 1 a 0 故 P Q ( 1, 1 2 20.(本小题满分 12 分)我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形 ABC的空地 上修建一个占地面积为 S (平方米)的矩形AMPN健身场地.如图，点M在AC上，点N在AB上, 60 , | AC | 30米，AM = x米，x 10,20.设矩形 AMPN (2)矩形AMPN健身场地造价T1 37k . S , 且P点在斜边BC 上.已知 ACB 健身场地每平方米的造价为 37k S 元，再把矩形 AMPN以外(阴影部分) 铺上

15、草坪，每平方米的造价为 12k S 元(k为正常数) (1) 试用x表示S，并求S的取值范围； (2) 求总造价T关于面积S的函数T f(S); (3) 如何选取|AM |，使总造价T最低(不要求求出最低造价) 解：1 )在 Rt PMC 中，显然 | MC | 30 x , PCM 60 , | PM | |MC | tan PCM 3(30 x), 矩形 AMPN 的面积 S |PM | |MC | 3x(30 x), x 10,20 于是200 3 S 225 3为所求. 10 又 ABC的面积为450 3，即草坪造价T2 12k(450 3 S), 由总造价T T1 T2, 25k(

16、S 2：3) , 200 3 S 225 3. 216 3 S 126 3 , (3) 11 此时 3x(30 x) 216 3，解得 x 12 或 x 18, 答：选取|AM |的长为 12 米或 18 米时总造价T最低 . 12 分 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 6 分。 设函数g(x) x 1，函数h(x) , x ( 3, a，其中a为常数，且 a 0。令函数f (x) x 3 为函数g(x)与h(x)的积。 (1) 求函数f (x)的表达式，并求其定义域； 1 (2) 当a -时，求函数f (x)的值域； 4 1 1 (3) 是否存在自然数a，使得函数f (x)的值域恰为丄，丄?若存在，试写出所有满足条件的自然 3 2 数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。 解：(1)由条件，函数f(x) X 1，因为g(x)的定义域为0,)，故f(x)的定义域为0,a(a 0)。 x 3 因为f(x)的定义域为0,a，则有t 1 , . a 要满足值域为l,1】，则要满足F(t)max 1。 3 2 2 由于当且仅当t 4等号成立，此时F(t)恰好取得最大值，则由t 2 1,a 1, t 故 2 . a 1 a 1。 又F(t)在区间t 1,2上是随着t的增大而减小，在