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1、算法案例(第一课时)算法案例(第一课时)1.求两个正整数的最大公约数求两个正整数的最大公约数.(1)求)求25和和35的最大公约数;的最大公约数;(2)求)求49和和63的最大公约数的最大公约数.2.求求8251和和6105的最大公约数的最大公约数. 25(1) 5535749(2) 77639 所以,所以,25和和35的最大的最大公约数为公约数为5, 所以,所以,49和和63的最大的最大公约数为公约数为7.算法案例(第一课时)辗转相除法(欧几里得算法)辗转相除法(欧几里得算法)观察用辗转相除法求观察用辗转相除法求8251和和6105的最大公约数的过程的最大公约数的过程. 第一步第一步,用两数

2、中较大的数除以较小的数,用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数求得商和余数 8251=61051+2146. 结论:结论: 8251和和6105的公约数就是的公约数就是6105和和2146的公约数,求的公约数,求8251和和6105的最大公约数,只的最大公约数,只要求出要求出6105和和2146的公约数就可以了的公约数就可以了. 第二步第二步,对,对6105和和2146重复第一步的做法,重复第一步的做法,6105=21462+1813. 同理同理6105和和2146的最大公约数也是的最大公约数也是2146和和1813的最大公约数的最大公约数. 算法案例(第一课时)完整的过程完整的过程825

3、1=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0 显然显然37是是148和和37的最大公约数,的最大公约数,也就是也就是8251和和6105的最大公约数的最大公约数. 算法案例(第一课时)例例2 用辗转相除法求用辗转相除法求225和和135的最大公约数的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452 显然显然45是是90和和45的最大公约数,也就是的最大公约数,也就是225和和135的最大公约数的最大公约数 思考思考1:从上面的两个例子可以看出计算的规律:从上面的两个例子可

4、以看出计算的规律是什么?是什么? 第一步,用大数除以小数第一步,用大数除以小数.第二步,除数变成被除数,余数变成除数第二步,除数变成被除数,余数变成除数.第三步,重复第三步,重复S1,直到余数为,直到余数为0.算法案例(第一课时) 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止停止的步骤,这实际上是一个循环结构的步骤,这实际上是一个循环结构.8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框图表示出右边的过程用程序框图表示出右边的

5、过程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否算法案例(第一课时)九章算术九章算术更相减损术更相减损术 算理:算理:可半者半之,不可半者,副置分母、子之可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之. 第一步,第一步,任意给顶两个正整数;判断他们是否任意给顶两个正整数;判断他们是否都是偶数都是偶数.若是,则用若是,则用2约简;若不是则执行第二步约简;若不是则执行第二步. 第二步,第二步,以较大的数减较小的数,接着把所得以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数的差与较小的数比较,并以大

6、数减小数.继续这个继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数就是所求的最大公约数.算法案例(第一课时)例例3 用更相减损术求用更相减损术求98与与63的最大公约数的最大公约数. 解:由于解:由于63不是偶数,把不是偶数,把98和和63以大数减小数,以大数减小数,并辗转相减并辗转相减 9863356335283528728721217141477所以,所以,98和和63的最大公约数等于的最大公约数等于7. 算法案例(第一课时)(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为果是以相除余数为0则得到,而更相

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