222双曲线的简单几何性质

1、2.2.2 双曲线的简单几何性质 目录目录退出退出课课前预习导学 目录目录退出退出课课前预习导学 目录目录退出退出学习目标 1.通过双曲线的方程和几何图形,能记住双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质,并能用性质解决问题; 2.能记住双曲线的渐近线,并会应用; 3.能解决简单的直线与双曲线位置关系的问题. 重点、难点 重点:1.双曲线方程和性质的应用; 2.会求直线和双曲线相交所得弦的弦长、弦中点问题; 难点:1.与渐近线有关的问题; 2.直线与双曲线位置关系的综合应用. 目录目录退出退出预习预习导引 目录目录退出退出1 .双曲线的几何性质 标准方程 ?2?2?2=1(a0,b0)

2、?2?2?2?2=1(a0,b0) ?2图形 目录目录退出退出标准方程 焦点 焦距 范围 对称性 性 顶点 质 轴长 ?2?2?2?2=1(a0,b0) ?2?2?2?2=1(a0,b0) F1(-c ,0),F2(c,0) F1(0,-c ),F2(0,c) |F1F2|=2c x-a或xa y-a或ya 关于x轴,y轴,(0,0)对称 A1(-a ,0),A2(a,0) A1(0,-a ),A2(0,a) 实轴长=2a,虚轴长=2b ?1,+) 离心率 e=?(x 渐近线 y=? ?y=x ?目录目录退出退出预习交流交流 1 (1)双曲线的离心率对开口大小有什么影响,它与渐近线的斜率间有什

3、么关系? c 提示:离心率 e= =aa222a +bb =1+2,所以离心率 e 越大,a2双曲线的开口越大;离心率 e越小,即越接近于 1,开口便越小.当双bb c2-a22-1. 曲线的焦点在 x 轴上时,渐近线斜率为,则= eaaa2bb所以,e 越大,a越大,渐近线的斜率的绝对值越大;e 越小,a越小,渐aaa21a率为,则=.所以,e 越大, 越小,渐近线的斜率 222bbbc-ae-1a的绝对值越小;e 越小, 越大,渐近线的斜率的绝对值越大. b目录目录退出退出近线的斜率的绝对值越小.当双曲线的焦点在 y 轴上时,渐近线斜点坐标为 ,顶点坐标为 ,渐近线方程为 ,离心率为 .

4、y2x2(2)双曲线9?16=1 的实轴长为 ,虚轴长为 ,焦35提示:6 8 (0,-5)和(0,5) (0,-3)和(0,3) y=x e= 43目录目录退出退出2 .等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.显然,它的渐近线方程为 y= x,离心率为 2,方程可表示为 x -y = ( 0). 22预习交流交流 2 焦点坐标为(- 2,0),( 2,0)的等轴双曲线的标准方程为( ) x2y2y2x2A.2?2=1 B.2?2=1 C.x -y =1 提示:C 22D.y -x =1 22目录目录退出退出3 .直线与双曲线的位置关系及判定 直线:Ax+By+C=0, x2y2双曲

5、线:2?2=1(a0,b0), ab2两方程联立消去 y,得 mx +nx+q=0. 位置关系 公共点个数 判定方法 ? 0 相交 2 个或 1个 m= 0或 ? 0相切 1 个 m 0 且= 0 相离 0 个 m 0 且 0. - 2k0,b0),取虚轴的abb则直线 FB 与渐近线 y=ax 垂直, b b2 -ca=1. b -ac=0. 一个端点为 B(0,b),一个焦点为 F(c,0), 又 c =a +b , c -ac-a =0. 1+ 51- 5 e -e-1=0,解得 e=或 e=(舍去). 222目录目录退出退出22222双曲线的渐近线方程为( ) A.y=2x 2x B.

6、y= 2x2y2(2)设双曲线2?2=1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则abC.y= x 2思路分析:由已知求出 b,c,然后利用平方关系求出 a,最后根据方程写出渐近线. 答案:C 解析:由已知 2b=2,2c=2 3, b=1,c= 3. a =c -b =2. 由双曲线的焦点在 x 轴上, 2b 双曲线的渐近线方程为 y=x= x. a2目录目录退出退出1D.y=x 2222迁移与应用 22求双曲线 4x -y =4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程. 222yxy222解:将 4x -y =4变形为 x -4=1,即2?2=1, 12 a=1,

7、b=2,c= 5, 顶点 A1(-1,0),A2(1,0),焦点 F1(- 5,0),F2( 5,0),实半轴长是 a=1,虚半轴长是 b=2,离心率cbe= 5.渐近线方程为 y=x= 2x. aa目录目录退出退出 (1)已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准方程的先222化为标准方程,确定方程中 a,b 的对应值,利用 c =a +b 得到 c 的值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质. x2y2b(2)双曲线2?2=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x,双曲线aaby2x2a?2=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x,两者容易记混,可将双2bab曲线方程中的“1”

8、换成“0”,然后因式分解即可得渐近线方程,这样就不至于记错了. 目录目录退出退出二、由双曲线的几何性质求标准方程 活动与探究 2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程: (1)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= 103. (2)双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). 22(3)与双曲线 x -2y =2 有共同的渐近线,且经过点(2,-2). (4)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y= 3x. 思路分析:(1)(2)可用待定系数法求出a,b,c后求方程;(3)(4)可以利用渐近线的方程进行假设. 目录目录退出退出10c2102解:(1)e =,得2

9、=,设 a =9k(k0), 99a2则 c =10k,b =c -a =k. 2222x2y2y2x2于是,设所求双曲线方程为?=1或?=1. 9kk9kk把(3,9 2)代入,得 k=-161 与 k0 矛盾,无解; 把(3,9 2)代入,得 k=9, y2x2故所求双曲线方程为81?9=1. x2y2(2)设双曲线方程为2?2=1(a0,b0). ab由已知得 a= 3,c=2,再由 a +b =c ,得 b =1. x22故双曲线 C 的方程为3-y =1. 目录目录退出退出2222(3)设所求双曲线方程为 x -2y =k. 由于双曲线过点(2,-2),将(2,-2)代入, 得 k=

10、2 -2 (-2) =-4. 22yx22故所求双曲线方程为 x -2y =-4,即?=1. 242222(4) 目录目录退出退出方法一:首先确定所求双曲线的标准类型,可在图中判断一下点 P(2,-1)在渐近线 y=-3x的上方还是下方.如图所示,x=2 与y=-3x 交点为 Q(2,-6),P(2,-1)在 Q(2,-6)的上方,所以焦点在 x轴上.x2y2设双曲线方程为2?2=1(a0,b0).依题意,得 abb35= 3,2aa =9,解得 412-= 1,b = 35 .22abx2y2 所求双曲线方程为35?35=1. 9 目录目录退出退出方法二:由渐近线方程 3x y=0, x22

11、可设所求双曲线方程为1-y =(0).(*) 9将点 P(2,-1)的坐标代入(*),得 =35, x2y2 所求的双曲线方程为35?=1. 359 目录目录退出退出迁移与应用 1 .中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( ) x2y2A.25?9=1 x2y2y2x2B.25?9=1 或25?9=1 x2y2C.100?36=1 x2y2y2x2D.?=1 或?=1 1003610036答案:B x2y2解析:由已知 a=5,b=3.当焦点在 x 轴上时,方程为?=1;259y2x2当焦点在 y 轴上时,方程为?=1. 259目录目录退出退出2 .已知双曲线的一个焦

12、点坐标为( 13 ,0),渐近线方程为2x 3y=0,则双曲线的标准方程为( ) x2y2x2y2A.?=1 B.?=1 4994x2y2x2y2C.2?3=1 D.3?2=1 答案:B 解析:设双曲线方程为 4x -9y =( 0), x2y2即?=1( 0). 4922 双曲线的焦点坐标为( 13 ,0), 0, =36. += 13 .x2y2 双曲线的标准方程为9?4=1. 目录目录退出退出49 (1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程的常用方法:一是设法确定基本量 a,b,c,从而求出双曲线的标准方程;二是采用待定系数法.首先依据焦点的位置设出标准方程的形式,再由题目条件确定参数的

13、值.当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,防止遗漏.为了避免讨论,也可设方程为22mx -ny =1(mn0),从而直接求解. (2)若是根据双曲线的渐近线求标准方程,设法为: n若双曲线的渐近线方程为 y= x,则双曲线方程可表示为x2y2?2=( 0); 2mnm目录目录退出退出x2y2与双曲线2?2=1(a0,b0)共渐近线的双曲线方程可表abx2y2y2x2示为2?2=(a0,b0. 0);与双曲线2?2=1(a0,b0)共渐近aabby2x2线的双曲线方程可表示为2?2=(a0,b0, 0). ab目录目录退出退出三、与双曲线离心率有关的问题 活动与探究 3 (

14、1)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 目录目录退出退出思路分析:设出双曲线的标准方程,将|AB|用参数 a,b 表示,然后根据“|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍” ,列关于 a,b 的等式,由此求离心率. 答案:B 解析:设双曲线的两焦点分别为 F1,F2, 由题意可知|F1F2|=2c,|AB|=2|AF1|=4a, 在RtAF1F2中, |AF1|=2a,|F1F2|=2c,|AF2|= 4(a2+ c2), |AF2|-|A

15、F1|= 4(a2+ c2)-2a=2a,即 3a =c , 22c e= 3. a目录目录退出退出x2y2(2)双曲线2?2=1(a1,b0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和ab4(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s5c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 目录目录退出退出思路分析:写出直线 l 的方程 写出点(1,0)到直线 l 的距离写出点(-1,0)到直线l 的距离 依题意列出不等式 求出e 的范围. xy解:直线 l 的方程为a+b=1,即 bx+ay-ab=0.点(1,0)到直线 l 的b(a-1)b(a+1) a2+b2距离 d1

16、=,点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= a2+b2, 2ab42ab4s=d1+d2=,由 sc,得c, c5c52 a2+b22222 即 5a c-a 2c ,于是得 5 e -1 2e , 2ab52即 4e -25e +25 0,得4 e 5. 42由于 e10,所以 e 的取值范围是 52 e 5. 目录目录退出退出迁移与应用 率等于( ) 3 14A.14 3C.2 x2y21 .已知双曲线2?=1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心5a3 2B.4 4D.3 答案:C 2解析:由双曲线的右焦点为(3,0)知 c=3,即 c =9, 又 c =a +b , c3 9=a

17、+5,即 a =4,a=2.故所求离心率 e=a=2. 22222目录目录退出退出x2y22 .已知 F1,F2是双曲线2?2=1(a0,b0)的两个焦点,PQ 是ab经过 F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦,如果 PF2Q=90 ,求双曲线的离心率. 目录目录退出退出c2y2解:设 F1(c,0),将 x=c 代入双曲线的方程得2?2=1, ab2b则 y=a. 由|PF2|=|QF2|, PF2Q=90 , 知|PF1|=|F1F2|, b2a=2c, b =2ac. c2c22 c -2ac-a =0, -2-1=0. aa2即 e -2e-1=0. 2 e=1+ 2或 e=1- 2(舍去

18、). 所求双曲线的离心率为 1+ 2. 目录目录退出退出 (1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出 a,c,再计c算 e=a;二是依据条件建立参数 a,b,c 的关系式,如果含有 b,一种方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解,另一种方法是消去 c 转bbb 化成含a的方程,求出a后利用 e= 1+2求离心率. a2(2)双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数,常与直线、三角形、向量等平面几何知识综合考查,求双曲线离心率(或离心率的取值范围)的关键是由条件寻找a,c所满足的等式(或不等式). 目录目录退出退出四、直线与双曲线的位置关系 活动与探究 4 有一个公共点,则 l

19、的条数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 思路分析:注意点 P(1,0)恰好是双曲线的右顶点,从而利用数形结合就可确定直线条数. 答案:B 解析:由已知点P(1,0)是双曲线的右顶点,故过点P(1,0)且与x轴垂直的直线与双曲线相切,它们只有一个公共点.另外过点P(1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交,它们只有一个公共点.所以满足条件的直线 l 有三条. 目录目录退出退出y2(1)已知双曲线方程为 x -4=1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只2(2)过点 P(8,1)的直线与双曲线 x -4y =4 相交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点,求直线 AB

20、的方程. 思路分析:若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=16,y1+y2=2,可把A,B 两点代入双曲线方程,通过作差法求得 k 即可. 22目录目录退出退出解:设 A(x1,y1),B(x2,y2). (8,1)是弦 AB 的中点, x1+x2=16,y1+y2=2. 22把 A,B 两点坐标代入 x -4y =4,得 22x1-4y1=4, 22x2-4y2=4, -得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2x1+x216=4(y +y)=42=2, x1-x212即直线 AB 的斜率为 2. 所求的直线方程为 y-1=2(x-8

21、), 即 2x-y-15=0. 经验证该直线符合题意. 目录目录退出退出迁移与应用 22已知双曲线 x -y =4,直线 l:y=k(x-1),试讨论实数 k 的取值范围. (1)直线 l 与双曲线有两个公共点; (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点. 目录目录退出退出x-y = 4,2222解:由 消去 y,得(1-k )x +2k x-k -4=0.(*) y= k(x-1),2当 1-k =0,即 k= 1 时,直线 l 与双曲线渐近线平行,方程(*)化为 2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,且只有一个公共点. 当 1-

22、k 0,即 k 1 时,=(2k ) -4(1-k ) (-k -4)=4(4-3k ). 4-3k2 0,2 32 3 即-k,且 k 1 时,方程(*)有两个不同331-k2 0,的实数解,即直线与双曲线有两个公共点. 4-3k2= 0,2 3 即 k=时,方程(*)有两个相同的实数解,即231-k 0,直线与双曲线有一个公共点. 目录目录退出退出2222 22224-3k2 0,2 32 3 即 k时,方程(*)无实数解,即直331-k2 0,线与双曲线无公共点. 2 32 3综上所述,(1)当-k-1,或-1k1,或 1k时,直线与双332 3曲线有两个公共点;(2)当k= 1,或k=3时,直线与双曲线有且只2 32 3有一个