212离散型随机变量的分布列精编版

1、复习回顾复习回顾 1. 1. 随机变量随机变量: : 随着随机试验的随着随机试验的结果变化而变化的量结果变化而变化的量叫做叫做随随机变量机变量 2.2.离散型随机变量离散型随机变量: : 对于随机变量可能取的对于随机变量可能取的值值，我们可以，我们可以按一定次序按一定次序一一列出一一列出，这样的随机变量叫做，这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量 新课讲授新课讲授 抛掷一枚骰子，所得的点数抛掷一枚骰子，所得的点数 X X有哪些值有哪些值?X?X取每取每引例引例: : 个值的概率是多少？个值的概率是多少？ 能否用表格的形式来表示呢？能否用表格的形式来表示呢？ 随机变量随机变量X的取值有的

2、取值有1、2、3、4、5、6 解：解： 111则则 P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?,666111P(X?4)?,P(X?5)?,P(X?6)?.666列表列表 X 1 2 163 4 165 166 16P 随机变量随机变量 X 的概率分布列！的概率分布列！ 1616总结步骤：列出了随机变量总结步骤：列出了随机变量X X的所有取值的所有取值 求出了求出了X X的每一个取值的概率的每一个取值的概率 一一. .离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列: : 1 1、定义、定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的所有可能的取值为的所有可能的取值为 x1, x2, x3,?,

3、 xn.X X取每一个值取每一个值x xi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)的概率为的概率为P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i， 以表格的形式表示如下以表格的形式表示如下 : : X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 这个表就称为这个表就称为离散型随机变量离散型随机变量X X的概率分布列的概率分布列, ,简称为简称为X X的分布列的分布列. . 有时为了简单起见，也用等式有时为了简单起见，也用等式 P (X?xi)?pi,i?1 ,2,?,n表示表示X的分布列。的分布列。 分布列的构成分布列的构成: : 注：注： 的所有取值的所有取值 从小到大从小到大列出了

4、随机变量列出了随机变量X X 的每一个取值的概率的每一个取值的概率 求出了求出了X X 2.X2.X的分布列的表示法的分布列的表示法: : 1）列表列表法法： 2）解析式表示）解析式表示： P(?xi)?pi(i?1 ,2,3? ? n) 3）用图象法表示：）用图象法表示： P 1 函数用解析式、表格法、图象法 0 x1x2x3x4xnX 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列: : X P x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 3.3.离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质: : pi?0,i?1 ,2,?,n;(2)p1?p2? ?pn?1. 为什么等于为什么

5、等于1 注：这个两个性质是判断分布列是否正确的重这个两个性质是判断分布列是否正确的重 要依据要依据 运用（一）分布列性质的运用运用（一）分布列性质的运用 1 1、设随机变量、设随机变量X X的分布列如下：的分布列如下： X 1 2 3 4 P 1则则p p的值为的值为 3 161316pi?1?P(?i)?a? ?,i ?1 ,2 ,3?的分布列为的分布列为 2、设随机变量设随机变量 3? ?2713 则则a a的值为的值为 3、随机变量、随机变量X的分布列为的分布列为 X 0 1 2 P 1/3 1/6 1/2 则则P(X1)= ; 1/3 P(0.5X4X4的概率的概率 运用（二）分布列的

6、求法运用（二）分布列的求法 X X的分布列为的分布列为 X P 3 4 5 6 12032031012X?4 表示的是取出球的最大号码大于 4，即最大号码为5，6314因此P(X?4)?P(X?5)?P(X?6)?1025注：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的注：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. . 求离散型随机变量的概率分布列求离散型随机变量的概率分布列的方法步骤：的方法步骤： 1 1、找出随机变量、找出随机变量的所有可能的取值的所有可能的取值 xi(i?1,2, );2 2、求出各取值的概率、求出各

7、取值的概率 P(?xi)?pi;3 3、列成表格、列成表格. . ?的分布列如下： 例4： 已知随机变量 ?P2 1 0 1 2 3 1121413112161121分别求出随机变量 ?1?； ?2?2的分布列 21311? 、0、 、1、 ? ?1、解： 由 ?1?可得 ?1的取值为 2222且相应取值的概率没有变化 ?1的分布列为： ?11 1?2140 121121 32112P1121316?的分布列如下： 例4： 已知随机变量 ?P2 1 0 1 2 3 1121413112161121分别求出随机变量 ?1?； ?2?2的分布列 2解： 由 ?2可得 ?2的取值为0、1、4、9 2

8、1111P(? ?2? ?0)? ?P(? ? ?0)? ?P(? ?2? ?1)? ?P(? ? ? ? ?1)? ?P(? ? ?1)? ? ? ?41233111P(? ?2? ?4)? ?P(? ? ? ? ?2)? ?P(? ? ?2)? ? ? ?12641P(? ?2? ?9)? ?P(? ? ?3)? ? ?2的分布列为： 12?20 131 134 149 112P课堂小结课堂小结: : 1.1.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列. . 2.2.离散型随机变量的分布列的离散型随机变量的分布列的两个性质：两个性质： pi?0,i?1 ,2,?,n; p1?p2? ?p

9、n? 1. 一般地，离散型随机变量在某一范围内取一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和和. . 一一. .离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列: : 1 1、定义、定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的所有可能的取值为的所有可能的取值为 x1, x2, x3,?, xn.X X取每一个值取每一个值x xi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)的概率为的概率为P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i， 以表格的形式表示如下以表格的形式表示如下 : : X x1 x2 xi xn P p1 p2

10、 pi pn 这个表就称为这个表就称为离散型随机变量离散型随机变量X X的概率分布列的概率分布列, ,简称为简称为X X的分布列的分布列. . 有时为了简单起见，也用等式有时为了简单起见，也用等式 P (X?xi)?pi,i?1 ,2,?,n表示表示X的分布列。的分布列。 分布列的构成分布列的构成: : 注：注： 的所有取值的所有取值 从小到大从小到大列出了随机变量列出了随机变量X X 的每一个取值的概率的每一个取值的概率 求出了求出了X X 2.2.离散型随机变量的分布列的离散型随机变量的分布列的两个性质：两个性质： pi?0,i?1 ,2,?,n; p1?p2? ?pn? 1. 一般地，离

11、散型随机变量在某一范围内取一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和和. . 例例1.1.在掷一枚图钉的随机试验中在掷一枚图钉的随机试验中, ,令令 ?1, 针尖向上针尖向上X ?0,针尖向下针尖向下如果针尖向上的概率为如果针尖向上的概率为 p,p,试写出随机变量试写出随机变量X X的分布列的分布列 解解: :根据分布列的性质根据分布列的性质 , ,针尖向下的概率是针尖向下的概率是 (1-p)(1-p)，于是，随机变量于是，随机变量X X的分布列是：的分布列是： X P 0 1-p 1 p 像这样的分布列称为像这样的分

12、布列称为两点分布列两点分布列. 一一.两点分布两点分布 若随机变量的分布列具有下表的形式，则称 X为两点分布列。 X 0 1 p X只能取0、1,不能取其他数. 服从如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。 注：两点分布又称 0-1分布. 即只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布. P 1 p X P 2 0.3 5 0.7 不是两点分布，不是两点分布，因为因为X取值不是取值不是0或或1，但可定义成，但可定义成两点分布：两点分布： X P Y P 2 0.3 0 0.3 1 0.7 5 0.7 但可定义：但可定义： Y= 0，X=2 1，X=5

13、 此时此时Y服从两点分布服从两点分布. 由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验 ,所以还称两点分布为 伯努利分布. 两点分布不仅可以用来研究只有两个结果的随机试两点分布不仅可以用来研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律，也可以用于研究某一随机事件是验的概率分布规律，也可以用于研究某一随机事件是否发生的概率分布规律否发生的概率分布规律 .如抽取的彩券是否中奖如抽取的彩券是否中奖 ; 买回买回的一件产品是否为正品的一件产品是否为正品 ;新生婴儿的性别新生婴儿的性别;投篮是否命投篮是否命中等等中等等,都可以用两点分布列来研究都可以用两点分布列来研究 练习一：练习一： 1、设某项试验成功的概率是

14、失败的概率的、设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，倍，用随机变量用随机变量X描述描述1次试验的成功次数，则次试验的成功次数，则P(X=0)等于等于( ) C A、0 B、1/2 C、1/3 D、2/3 2、对于0-1分布，设P(0)=m，0m1，则P(1)= . 1-m 3、篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7, 求他一次罚球得分的分布列。X P 0 0.3 1 0.7 例2、在含有5件次品的100件产品中, 任取3件, 求取到的次品数X的分布列. 问：X的可能取哪些值？ X取值为取值为0，1，2，3 题中“任取3件”是指什么？ 从所有的产品中依次从所

15、有的产品中依次 不放回不放回地任取三件产品地任取三件产品 变量变量X对应值的概率怎么求？对应值的概率怎么求？ 例例2.2.在含有在含有5 5件次品的件次品的100100件产品中件产品中, ,任取任取3 3件件, ,试求：试求：（1 1）取到的次品数）取到的次品数X X的分布列；的分布列； （2 2）至少取到）至少取到1 1件次品的概率件次品的概率. . 解解(1)随机变量随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3. 03C5?C95p(X?0)?3C10015C?Cp(X?1)?3C10021C5?C95p(X?2)?3C10030C5?C95p(X?3)?3C100295例2

16、.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求：（1）取到的次品数X的分布列； 含k件次品的概率（2）至少取到1件次品的概率. 所以随机变量X的分布列是 如取小数,注意保留小数位不能太少,此外四1 X 0 舍五入时还要注意各0312C5?C95个概率和等于1. 95P C5?C33C100C100C?Cp(X?k)?3C1002 C?C3C1002519535k53?k953 C?C3C100095(2)P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)0.14400; 03C5?C95或P(X1)=1-P(X=0)=1- 0.14400; 3C100观察其分布列有何规律？能否将此规律推广

17、到一般情形观察其分布列有何规律？能否将此规律推广到一般情形. . 2.超几何分布超几何分布. n 件, 求取到M 件次品的 N 件产品中, 任取 在含有 (NM) 的次品数X的分布列. 其中恰有X件次品数,则事件X=k发生的概率为 C CP(X? ?k)? ?CkMn? ?kN? ?MnN(k? ?0,1,2, ,m)*其中 m? ?min? ?M,n? ?,且 nN,MN,n,M,N? ?N随机变量X的分布列是 X 0 1 1n?1 C0Cn?0C CMN?MMN?MP nnCCNN 这个分布列称为这个分布列称为超几何分布列超几何分布列. m m CMCCn?m N?MnNC C分布列 P(

18、X? ?k)? ?(k? ?0,1,2, ,m)C 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称 X服从超几何分布. 说明： 超几何分布的模型是 不放回抽样； 超几何分布中的参数是M , N , n ； (3) 注意成立条件为 m? ?min? ?M,n? ?nN,MN,n,M,N? ?N*kMn? ?kN? ?MnN例如，如果共有例如，如果共有10件产品中有件产品中有6件次品，从中任取件次品，从中任取5件件产品，则取出的产品中次品数产品，则取出的产品中次品数X的取值范围是什么？的取值范围是什么？ 1，2，3，4，5 超几何分布也有广泛应用超几何分布也有广泛应用. 例如，它可以用来描例如，它可以

19、用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可用来研究述产品抽样中的次品数的分布规律，也可用来研究同学熟悉的不放回的摸球游戏中的某些概率问题同学熟悉的不放回的摸球游戏中的某些概率问题. 例例3.3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 , ,在一在一个口袋中装有个口袋中装有1010个红球和个红球和2020个白球个白球, ,这些球除颜色外这些球除颜色外完全相同完全相同. .一次从中摸出一次从中摸出5 5个球个球, ,至少摸到至少摸到3 3个红球就个红球就中奖中奖. .求中奖的概率求中奖的概率. . 解解:设摸出红球的个数为设摸出红球的个数为 X,则则X的所有可能值

20、为的所有可能值为0、1、2、3、4、5,且且X服从超几何分布服从超几何分布. 一次从中摸出一次从中摸出5 5个球个球, ,摸到摸到k(k=0,1,2,3,4,5)k(k=0,1,2,3,4,5)个红球的概率为个红球的概率为 k5?k于是中奖的概率于是中奖的概率 P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) 310220410120510020C10?C20P(X?k)?,k?0,1,2,3,4,55C30C?CC?CC?C?0.191.555C30C30C30例例3.3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏在某年级的联欢会上设计了一个

21、摸奖游戏 , ,在一在一个口袋中装有个口袋中装有1010个红球和个红球和2020个白球个白球, ,这些球除颜色外这些球除颜色外完全相同完全相同. .一次从中摸出一次从中摸出5 5个球个球, ,至少摸到至少摸到3 3个红球就个红球就中奖中奖. .求中奖的概率求中奖的概率. . 思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%55%左右，那么应该如何设计中奖规则？左右，那么应该如何设计中奖规则？ 分析分析: :这是一个开放性问题这是一个开放性问题 , ,它要求根据中奖它要求根据中奖概率设计中奖规则概率设计中奖规则, ,所以问题的所以问题的答案不唯一答案不唯一. .

22、比如用比如用摸球的方法设计游戏摸球的方法设计游戏 , ,应包括每种颜色的球各是多应包括每种颜色的球各是多少少, ,从中取几个球从中取几个球, ,摸到几个红球才中奖等摸到几个红球才中奖等 . .也就是也就是说说M,N,n,X=kM,N,n,X=k中的中的k k都需要自已给出都需要自已给出. . 因此因此, ,我们可以先固定我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,N=30,M=10,n=5.,通过通过调整调整k k达到目的达到目的. . 例例3.3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏 , ,在一在一个口袋中装有个口袋中装有1010个红球和个红球和2020个白球个白球, ,这些球除颜色外这些球除颜色外完全相同完全相同. .一次从中摸出一次从中摸出5 5个球个球, ,至少摸到至少摸到3 3个红球就个红球就中奖中奖. .求中奖的概率求中奖的概率. . 思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在思考