振动第3章(2)

1、第三节 固有频率 主振型一一 、频频率率方方程程设 n自由度系统运动微分方程（3-2）的特解为 xAptiniisin(), , ,12 3 （3-8）即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为 xAsin()pt （3-9）式中 A AAAAAAnnT1212令 BKM p2 （3-13）式（3-13）称为特征矩阵。由式（3-12）可以看出，要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。 KM0p2 （3-14） KM0p2 （3-14）关于p2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。下面对其

2、取值情况进行讨论。在式（3-11）的两端，前乘以A的转置AT，可得到A KAA MATT p2 （A）于是，由式（A）得到 p20A KAA MATT （3-15）因此，频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。因为Bi 0，于是有 BBiiadj 0 （3-18）式中Bi和adjiB是将pi之值代入之后的矩阵， ()( )KM A0pii2 BIBBiiiadj或 () MI A012p （3-20）其特征矩阵为 LMI 12p例3-3 图3-6是三自由度振动系统，求系统的固有频率和主振型。 mmm mm1232,kkkk123解：选择坐标xxx123,则系统的质量矩振和刚度矩振

3、分别为M mmm0000002K 2020kkkkkkk3523将M和K代入频率方程KMp20，得 202020222kp mkkkp mkkkp m即 299064223pkmpkmpkm解方程得到 pkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.求出系统的三个固有频率为 pkmpkmpkm123035591281017609.,.,.再求特征矩阵的伴随矩阵 BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202 adjkp m kp mkk kp mkk kp mkp m kp mkkp mkkkp mkp mkB ()()()()()()()()()222222

4、22222222222222222设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将值代入，令，得到第一阶主振型 A1100001873325092. AA( ).23100000727404709100001100702115 主振型也可由式（3-16）求得。即将ppp123,分别代入此式 ()KM A0pi2归一化后，即令 Aii111 2 3(, )，可得主振型。例 3-4 在例 3-3 中，若k10,求系统的固有频率和主振型。解： k10，相当于图 3-6 所示系统中去掉k1这个弹簧，这时刚度矩阵为 K kkkkkkk020特征矩阵为 B kp mkkkp mkkkp m2220202因此可得到

5、频率方程 ()2740342222m pkm pk m p解出 ppkmpkm12223200 71922 7808,.,.得到三个固有频率 ppkmpkm12300848116676,.,.将ppp123,分别代入adjB的第三列，即得 kk kp mkp mkp mk222222()()()归一化后，得到三个主振型 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,. TlTllT1111113134由图 3-8（b）中三角形的几何关系可解出2131，有 211131112324134lTlT,同理，可解出其它柔度影响系数，于是

6、可写出柔度矩振 lT4321242123系统的特征矩阵为 LMI 143212421231000100012222pmlTppp令mlTp412,，则有 L 3224223由频率方程，即L 0得 ()() 28802求出各根，按递降次序排列 1232 2222 22(),()于是得到系统的固有频率 pTmlpTmlpTml12223212 224212 224(),()为 求 系 统 的 主 振 型 ， 先 求 出adjL的 第 一 列 adjL ()()()()43423244222.123,分别代入，并归一化后，则得各阶主振型为 AAA123121101121 ,.第四节 主坐标和正则坐标

7、一、主振型的正交性n 自由度的振动系统， 具有 n 个固有频率和与之对应的 n 阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。设 AAij,分别是对应于固有频率ppij,的主振型，得到将式（A）两边转置，然后右乘 Aj，由于K、M都是对称阵，得到 ()()AK AAMAiTjiiTjp2 （C） K AMAK AMAiiijjjpApB22将式（B）两边左乘 ()AiT，得 ()()AKAAM AiTjjiTjp2 （D）式（C）与式（D）相减后得KAMA0p2 对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又

8、关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。 当ij时，式（E）总能成立，令 ji 0)(jTiMAA (3-22) ji 0)(jTiKAA (3-23) pKMiniiTiiTiii212 3()(), , ,( )AK AAMA （325）多自由度系统的动能多自由度系统的动能T与势能与势能U的一般表达式分别为的一般表达式分别为:11 x22TTTxMxUxK假设系统同时存在两种主振动假设系统同时存在两种主振动,即即( )( )( )( ) sin()sin() cos()cos()ijiiijjjijiiiijjjjxcAptcAp txc p

9、 Aptc pAp t系统的动能及势能分别为系统的动能及势能分别为:( )( )( )( )( )( )222( )( )222(i)( )1(cos()cos()2(cos()cos()1 cos ()21 cos ()21 2iTjTiiiijjjjijiiiijjjjiTiiiiijTjjjjjTjijiTAc pptAc pp tMAc pptAc pp tAMAc pptAMAc pp tAMAcc p p( )( )cos()cos()1 cos()cos()2jiijjjTiijijiijjptp tAMAcc p pptp t( )( )222( )( )2222222221

10、cos ()21 cos ()211cos ()cos ()22iTiiiiijTjjjjjiiiiijjjjjijTAMAc pptAMAc pp tM c pptMc pp tTT( )( )( )( )( )( )22( )( )22( )( )( )( )1(sin()sin()2(sin()sin()1 sin ()21 sin ()21( )2iTjTiiijjjijiiijjjiTiiiijTjjjjiTjjTiUAcptAcp tKAcptAcp tAKAcptAKAcp tAKAAKAcsin()sin()ijiijjcptp t( )( )22( )( )2222221 s

11、in ()21 sin ()21sin ()21sin ()2iTiiiijTjjjjiiiiijjjijUAKAcptAKAcp tK cptK cp tUUTi和和Ui分别代表仅有第分别代表仅有第i阶主振动存在时系统的动能与势能阶主振动存在时系统的动能与势能.由于主振型之间的正交性由于主振型之间的正交性,使得系统同时存在两种主振动时使得系统同时存在两种主振动时,系系统的动能或势能分别是这两种主振动单独存在时统的动能或势能分别是这两种主振动单独存在时,系统的动能系统的动能之和或势能之和之和或势能之和. AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA()12111212122212 （326）式（

12、327）表明，主振型矩阵AP具有如下性质：当MK，为非对角阵时，如果分别前乘以主振型矩阵的转置矩阵APT，后乘以主振型矩阵AP，则可使质量矩阵M和刚度矩阵K转变成为对角矩阵MKPP， 。正则振型的正交关系是 ()AMANiTNjijij10 （329） ()AKANiTNjipijij20 （330）其中pi为第 i 阶固有频率。以各阶正则振型为列，依次排列成一个 nn 阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即 AAAANNNNnNNNnNNNnN nN nN nnAAAAAAAAA()12111212122212 （331）由正交性可导出正则矩阵AN的两个性质 A MAIA K APNTNNTNn

13、ppp111212222 （332）称P2为谱矩阵。即 xxxxxxnPPnPn12122AAA( )!或 xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,将式（333）和式（334）代入运动微分方程（32），得 MA xKA x0PPPP 将该式前乘以主振型矩阵的转置矩阵APT，得 A MA xA KA x0PTPPPTPP 由主振型矩阵的两个性质，即式（327），得 M xK x0PPPP （335）2 、正则坐标用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设 xA xNN （337）xN是正则坐标矢量。 将式（337）代入式（32），得 MA xKA x0NNNN将该式前乘以AN

14、T，得 A MA xA KA x0NTNNNTNN 由正则振型矩阵的两个性质，即式（332），得 xP x0NN2 （338） 或 xp xN iiN i20 (, , , )in 12 3 （339）3 、位移方程的坐标变换为了使 上式能 解偶 ，在 和M之间加 入单位 矩阵IA ANN1的转 置矩 阵IAA()NTNT1，得到 AAA MA xx0NNTNTNNN11 ()式中A MAINTN，而 AAA K APNNTNTNN11121 ()()() N是谱矩阵的逆矩阵，也是对角阵。 Nnppp11112222 （340）设系统的位移方程 M xx0 令xA xNN，代入得 MA xA

15、x0NNNN将该式前乘以正则振型矩阵的逆矩阵AN1，得 AMA xAA x0NNNNNN11 位移方程解偶 NNN xx0 （341）例3-3 图3-6是三自由度振动系统，求系统的固有频率和主振型。 mmm mm1232,kkkk123解：选择坐标xxx123,则系统的质量矩振和刚度矩振分别为M mmm0000002K 2020kkkkkkk3523将M和K代入频率方程KMp20，得 202020222kp mkkkp mkkkp m即 299064223pkmpkmpkm解方程得到 pkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.求出系统的三个固有频率为 pkmpkmp

16、km123035591281017609.,.,.再求特征矩阵的伴随矩阵 BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202 adjkp m kp mkk kp mkk kp mkp m kp mkkp mkkkp mkp mkB ()()()()()()()()()22222222222222222222222设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将值代入，令，得到第一阶主振型 A1100001873325092. AA( ).23100000727404709100001100702115 AA( ).23100000727404709100001100702115 例 36 试求

17、例 33 中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。解：将在例 33 中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵 AAAAP().123100001000010000187330727411007250920470902115由质量矩阵 M m100010002，可求出主质量矩阵 MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.于是，可得各阶正则振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵 ANm102418071200659204530051790725606067033530

18、1394.由刚度矩阵 K k210121011 可求出谱矩阵 PA K A2012670001272600031007NTNkm.利用式（338）可写出以正则坐标表示的运动方程 xP x0NN2展开式为 .xkmxxkmxxkmxNNNNNN1122330126701272603100703 35 5 固固有有频频率率相相等等的的情情形形出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。假设频率方程有二重根，即ppp120而 A1和 A2是与之对应的主振型，可写出 K AMAK AMA10212022pp KAMA0p2 因此， 当系统具有重根时， 其等固有频率的主振

19、型要根据各振型间的正交性来确定。不仅所选定的 A1和 A2之间应满足对MK，的正交关系， 而且还必须满足和其它振型间关于MK，的正交关系。 KAMA p2 （3-11） ji 0)(jTiMAA (3-22) ji 0)(jTiKAA (3-23)由线性代数理论可知，由式求出的对应于 r 重根的主振型是 r 个线性独立的但不是唯一的，而且这些主振型之间也并非一定正交由式（322）和式（323）中，当ppij22时，得不出正交的结论。所以要用正交化过程把仅是线性独立的 r 个主振型变为相互正交的。显然，另外(n-r)个不等的固有频率和与之对应的(n-r)个主振型是关于质量矩阵与刚度矩阵相互正交的

20、。例 37 图 39（a）所示的系统，是由两个质量均为 m 的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为 k 的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x x12, 。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为M mm00K kk00得到特征矩阵BKMpkp mkp m22200由式（314）得到频率方程kp mkp m22000解出系统的两个固有频率ppkm12，是重根。求出特征矩阵的伴随矩阵 adjkmpkmpB 2200并将ppkm1222代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵adjB确定主振型。由观察系统的振动现

21、象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设 AA121111,，然后用两振型关于MK,的正交性来校核 1 1001121100112012mmmmmmiiTi,(),满足 AMA 1 100110012mmT,()显然满足 AMA校核结果 AA121111,之间满足正交关系(也可用刚度矩阵K来校核)。所以 AA12和是该系统的一组正交主振型，如图 39（b）、（c）所示。需要指出的是，这种相互独立正交的主振型组可以有无穷多组。就好象在平面几何中，一个圆有无穷多组相互垂直的二个直径一样。图 39（d）、（e）所示，为另一组相互正交的主振型，即 AA121001,。例 38 图 310 所示

22、的系统中，各个质量只沿铅垂方向运动，设mM1,mmmm kkkk234123,，试求系统的固有频率和主振型。解：建立坐标xxxx1234,如图 310 所示。由刚度影响系数法可直接得到求解复杂弹簧质量系统刚度矩阵中各元素的规则：对角元素kii为联结质量mi上的所有弹簧常数的和； 非对角元素ki j都是负值，大小等于联结mmij,之间的所有弹簧常数之和。由图中的坐标系得系统的运动微分方程为 MxKx0其中 MKMmmmkkkkkkkkkk0000000000003000000,展开并化简得 MpkmpkmpmMkmp2222130()()()求出四个固有频率 pppkmpMm kMm123403

23、,()再求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列 adjkmpk kmpk kmpk kmpB ()()()()22222222将ppMmmMk124203,分别代入，则求出 AA1411113111 TTmM，由特征矩阵BKM p2；建立频率方程为300000002222kMpkkkkkmpkkmpkkmp与重 根 对 应 的 主 振 型 ， 须 由 式 （ 3 12 ） 和 正 交 化 求 出 。 将p22代 入 ()KM A0p222，则有 kMmAAAA3111100010001000000012223242按第一行展开 ()3012223242MmAAAA （a）同时应满足 ()()AMA0A

24、MA01242TT， 即 MAmAmAmAbmMAmAmAmAc1222324212223242030( )( )如令 A120则式（a）、（b）、（c）化成一式为 AAA2232420 （e）任选其中二个元素，如令 AAA32422212 ，则，得到第二阶主振型为 A20211T同理，可得到满足第三阶主振型的关系式 ()( )()( )()( )()( )3003020132333431313233343431323334323233343 MmAAAAfMAmAmAmAgmMAmAmAmAhmAmAmAiTTTAMAAMAAMA显然有 A230，于是设 A431，则 A331 A3001

25、1T3 36 6 无无阻阻尼尼系系统统对对初初始始条条件件的的响响应应已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程具有式（32）的形式 MxK x0当 t=0 时，系统的初始位移与初始速度为 xxxx( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )00000000012012xxxxxxnTnT （342）求系统对初始条件的响应。求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成 n个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出 n 自由度无阻尼系统对初始条件的响应.。本节只介绍

26、用正则坐标变换求解的方法。将正则坐标变换的表达式 xA xNN代入式（32）中，便得到用正则坐标表示的运动微分方程如式（338）的形式，即 xP x0NN2现 在 的 问 题 是 如 何 将xx00, 变 换 成 用 正 则 坐标 表 示 的 初 始 条 件 ， 即xxNN( ) , ( )00 。由式（337），即xA xNN，可得到 xA xNN1 （344）又由于A MAINTN，因此，有 AA MNNT1 （345）将式（345）代入式（344），得 xA MxNNT （346）由式（346）可得到 xA M xxA MxNNTNNT( ) ( )0000 （347）将式（347）代入

27、到式（343）中，便得到用正则坐标表示系统对初始条件的响应；然后，再利用式（337）的坐标变换，得到 xA xAAAAAANNNNNnNNN nNNNNNnN nxxxxxx12121122 （348）式（348）表明，系统的响应是由各阶振型叠加得到的，因而，本方法又称振型叠加法。例3-3 图3-6是三自由度振动系统，求系统的固有频率和主振型。 mmm mm1232,kkkk123解：选择坐标xxx123,则系统的质量矩振和刚度矩振分别为M mmm0000002K 2020kkkkkkk3523将M和K代入频率方程KMp20，得 202020222kp mkkkp mkkkp m即 29906

28、4223pkmpkmpkm解方程得到 pkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.求出系统的三个固有频率为 pkmpkmpkm123035591281017609.,.,.再求特征矩阵的伴随矩阵 BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202 adjkp m kp mkk kp mkk kp mkp m kp mkkp mkkkp mkp mkB ()()()()()()()()()22222222222222222222222设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将值代入，令，得到第一阶主振型 A1100001873325092. AA( ).23100

29、000727404709100001100702115 以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵 ANm1024180712006592045300517907256060670335301394.由刚度矩阵 K k210121011 可求出谱矩阵 PA K A2012670001272600031007NTNkm.利用式（338）可写出以正则坐标表示的运动方程 xP x0NN2展开式为 .xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070例 39 在例 33 中，设初始条件是xx( ), ( )0000000aTT,求系统的响应。由式（347）得 xA MxNNTmama( ).0024180453006067071200517903353065920725601394100010002000241807120065920 ( )xA Mx0NNT00得到用正则坐标表示的响应 xa mp txa mp txa mp tNNN112233024180712006592.cos.cos.cosxxp txpp tinN iN