ch1控制系统的状态空间描述1至2节ppt课件

1、1、状态变量和状态变量模型、状态变量和状态变量模型2、状态空间表达式的建立、状态空间表达式的建立3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、状态空间表达式的线性变换、状态空间表达式的线性变换 第一章第一章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述第一节第一节 动态系统的状态变量动态系统的状态变量和状态变量模型和状态变量模型动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。)(),.,(),(21txtxtxnt)(tX X)(tX X)()(0ttX XX X )(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX

2、(t)X(t)或：或：)().,(),()(21txtxtxtnT X Xniuuuxxxfxrnii,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数；是输入变量个数； 是线性或是线性或非线性函数。非线性函数。ifrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 22112211222212122221212121211112121111,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA系系表表征征各各状状态态变变量量间间的的关关系系统统矩矩阵阵维维,nn ,21

3、2222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作用作用表征输入对每个变量的表征输入对每个变量的输入矩阵输入矩阵维维,rn uBxAxrnnn 状状态态向向量量维维1,21 nTnxxxx 输输入入向向量量维维1,21 ruuuuTrmjuuuxxxgyrnjj,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数，是输入变量个数，mm是输出变量是输出变量个数，个数， 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。igrmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 221122

4、11222212122221212121211112121111,212222111211 mnmmnncccccccccC量的关系量的关系表征输出和每个状态变表征输出和每个状态变输出矩阵输出矩阵维维nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0,通常通常传递关系传递关系表征输入对输出的直接表征输入对输出的直接直接转移矩阵直接转移矩阵又称为又称为前馈矩阵前馈矩阵维维Drm uDxCyrmnm 输输出出向向量量维维1,21 mTmyyyy(2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性, ,这是和传递函数明显区别的地方。这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，

5、导致矩阵状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(1)(1)为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。代表一个动力学系统。 ),(DCBA DuCxyBuAxx (3) (3) 定常系统：定常系统： A,B,C,DA,B,C,D各元素与时间无关；各元素与时间无关； 时变系统：时变系统： A,B,C,DA,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系统定常系统 ； 时变系统时变系统(5)(5)系统输出与状态的区别：系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统输出：

6、希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。 ),(DCBA )(),(),(),(tDtCtBtA(4)(4)非线性系统状态空间表达式：非线性系统状态空间表达式： 和和 是是x x与与u u的某类非的某类非线性函数。可以用线性系统来近似线性函数。可以用线性系统来近似ifig 系统动态方程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图 ：B B C CA AD DU UX XX XY Y DUDUCXCXY YBUBUAXAXX X ik 注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分

7、器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器第二节第二节 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1、由系统物理机理建立动态方程、由系统物理机理建立动态方程2、由微分方程建立动态方程、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程系统实现问题）、由传递函数建立动态方程系统实现问题）4、由结构图建立动态方程、由结构图建立动态方程系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量对角线标使系统状态方程成为某种标准形式的变量对角线标准型和约当标准型）准型和约当标准型）1 1、RLCRLC电网络系统。电网络系统

8、。2 2、机械运动系统。、机械运动系统。电路如图电路如图1 1所示。请建立该电路以电压所示。请建立该电路以电压u1,u2u1,u2为输入为输入量，量，uAuA为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。图图1 1L2uAu1u2+ +_ _+ +_ _i1i2R2R1L12 2根据克希荷夫电压定律，列写根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi 右回路右回路左回路左回路 整理得：整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuu

9、iiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi 3 3状态空间表达式为：状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR)(2tuRlicuculi)(teR1LucuR2R2ciciL图图2 22.)根据克希荷夫电压定律，列写根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：个回路的微分方程： 左左回回路路右右回回路路)()(12tedtdiLiiRdtdiLiRuLLCLcC将将 代入上式，消去中间变量代入上式，消去中间变量 ，并整理得：，并整理得：cidtducicc )()()()()()(1)()(

10、121221212112121121teLRRRiLRRRRuLRRRdtditeCRRiCRRRuCRRdtduLCLLCC )()()(1)()()()(121221212121121121teLRRRCRRiuLRRRRLRRRCRRRCRRiuLCLC 所以状所以状态方程态方程为：为：右电路图可知右电路图可知: :)(2122121212222teRRRiRRRRuRRRdtduCRiRuLCCCR )(21221212122teRRRiuRRRRRRRuLCR 所以输所以输出方程出方程为：为： 212212121221221212121121121,)()(1,)()()()(1RR

11、RDRRRRRRRCLRRRCRRBLRRRRLRRRCRRRCRRA所以系所以系统各矩统各矩阵为：阵为：21,MM21, yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yM 11yB )(122yyB 22yM )(122yyk f1M2M质量块受力图如下：质量块受力图如下：则有：则有：)()(122122111111yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()(12212222 将所选的状态变量将所选的状态变量2241132211,vyxvyxyxyx 代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得： 2211

12、xyxy输出方程：输出方程： fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：状态方程：写成矩阵形式：写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX 222221212121121211000010000100 432100100001xxxxy线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn01) 1(1)(01) 1(1)( 在经典控制理论中在经典控制理论中, ,控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：), 1 , 0(),1(njbni

13、aji DuCxyBuAxx 微分方程形式微分方程形式: buyayayaynnnn 1)1(1)(nxxx,21 )1(, nyyyy )(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 )1(21nnyxyxyx 令令: ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnn12110)1(13221 ubxxxaaaxxxnnn 00100102111021 xy001 2xuy1xnxnx 1 nx0b0a 1 1a 1 na2 nauyyyy5342 yxyxyx 321, 243100010A 001 C 500B 53 2x1uy1x 3x42 3x 微分方程形式：

14、微分方程形式：状态变量选择原则：状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。的导数项。) 1 (01)1(1)(01ububububyayannnn将该图进行等效变换，就是说，输入将该图进行等效变换，就是说，输入u的的n阶导数经阶导数经n个积个积分器后，以分器后，以u的倍数形式，进入系统。则状态方程中就可的倍数形式，进入系统。则状态方程中就可以避免出现以避免出现u的导数项。的导数项。 有下图：有下图：1na教材原图有错误教材原图有错误1nx1au)2(1122311201 uxxuxxuxxuyxnnn 式中系数式中系数 是待定系数是待定系数

15、.n ,10)3(11232121 uxxuxxuxxnnn 整理整理(2)式得式得:)4(0112110 uxyuxaxaxaxnnnn 由结构图可以看出由结构图可以看出:联立联立(3)式和式和(4)式，即可求得状态空间表达式为：式，即可求得状态空间表达式为：uxaaaxnn 11101000010 uxy0001 A仍然是友矩阵仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了n ,.,210思绪思绪:由式由式(2)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的形的形式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微

16、分方程式(1)中中 ，根据，根据u及其各阶及其各阶导数的系数相等的原则求解：导数的系数相等的原则求解：)5(12)2(1)1(0)1(01230120120101 uuuuxyuuuxuuxyuuxuxyuxynnnnnn 由式由式(2)可以得到下式：可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：在结构图中增加一个中间变量：)6(1uxxnnn 1 nx令令由式由式(5)和式和式(6)求得：求得：uuuuuxuuuuxynnnnnnnnnnnn 12)1(1)(0112)1(1)(0)(7)将式将式(5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中中，根据左右等式中u

17、及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到： n ,10) 8(000112211002112201110102111 aaaabaababbxaxaxaxnnnnnnnnnnnnnn为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将上式写成： 640,160, 0, 0640,192,180123012 bbbbaaa 2240160186401600000112203011212022130 aaabaababb按按(8)式求得：式求得：uuyyyy64016064019218 写出状态空间表达式写出状态空间表达式:uxxxxxx 224016001819264010001

18、0321321 321001xxxy状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：传递函数的实现方式：传递函数的实现方式： 1 1直接分解直接分解 2 2串联分解串联分解 3 3并联分解并联分解)()()(sUpspzsUsY 思绪：首先整理上式得：思绪：首先整理上式得：pszssUsYsG )()()(1 1、 pz y xp x u式式(1)模拟模拟结构图：结构图：)(1)(sUpssX )()()()(sUsXpzsY 那么：那么：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述： uxpzyupxx)(1)()(sUpspzsX 式式(2

19、)模拟模拟结构图：结构图：pz y xp x u)()()(sUsXsY uxyupzpxx)(对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：(2)那么：那么：psksUsYsG )()()( ky xp x u式式(3)模拟模拟结构图：结构图：)(1)(sUpssX )()(skXsY 那么：那么： kxyupxx 对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：(3)()(sUpsksX kyxp x u式式(4)模拟结构图：模拟结构图：)()(sXsY 那么：那么： xyku

20、pxx 对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：对上两式进行拉氏反变换，整理得到如下的状态空间描述：(4)nmmmnnpspspszspszsabsUsYsG 11)()()(1111)、1对传递函数进行因式分解；对传递函数进行因式分解；2画模拟结构图，并选择状态变量；画模拟结构图，并选择状态变量； （使用预备知识讲述的两种子系统，并从右至左对每（使用预备知识讲述的两种子系统，并从右至左对每个子系统选择状态变量个子系统选择状态变量x1、x2、x3、。）。）3由模拟结构图直接得到状态空间表达式。由模拟结构图直接得到状态空间表达式。25462)()()(23 sssssUsYsG1、首

21、先进行因式分解，得到：、首先进行因式分解，得到：)2(1)1(1)1(32)2)(1)(1(32)()()( sssssssssUsYsG2、画模拟结构图：、画模拟结构图：y 3x2 3x 2x1 2x 1x1 1x u223、写出动态方程：、写出动态方程： 321321321001220100210012xxxyuxxxxxxnnnkkkkkkknkkknnnnbpscpscpscpscpscpscpspspspsbsbsbsbsUsYsG 22111112112110111)()()()()()()()()(不失一般性，不失一般性，讨论此系统：讨论此系统：也有一个也有一个k重极点：重极点：

22、nkkppp ,211p 既有互异极点：既有互异极点：)1()()()()()(1111sUbsUpscsUpscsYnnkiiikjjkj )2(), 2, 1()(1)(nkkisUpssXii )3(), 2, 1(nkkiuxpxiii 令令拉氏反变换得：拉氏反变换得：系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用留数定理计算：，采用留数定理计算：icni,.2 , 1 kjjpsjpssGdsdjLimCkj)( )()!1(1,.,2, 11111 时时，当当)(lim,.,2, 1ipsipssGcnkkii 时时，当当令令)4(),.,2, 1()()(1)(11kjsUp

23、ssXjkj )1,.,2 , 1()()(1)(11 kjsUpssXjkj那么：那么：)5()()(1)()1,.,2, 1(1)()(111 kjsUpssXkjpssXsXjjj联立上两式得：联立上两式得：)6()()1, 2, 1(111 kjuxpxkjxxpxjjjjj拉氏反变换得：拉氏反变换得：)7(),.,2 , 1()()()(nisUbsXcsYniii 联立联立(1)、(2)、(4)得：得：ubxxxcccyuxxxxxxppppppxxxxxxnnnnkkknkknkkk 2121212121111212111110000001001由由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：可得状态空间描述为：61166)()()(23 ssssUsYsG3)3()3)(2)(1(6)3)(6)2()3)(2)(1(6)2)(3)1()3)(2)(1(6)1)(333222111 ssssLi