应用数理统计之参数估计

1、本资料来源第三章 参数估计一、矩法估计二、估计量的评选标准三、参数的区间估计统计是关于收集、整理、分析数据，从而对所考察的现象或问题进行描述，作出一定结论的方法和理论。统计工作的领域可分位三个方面。其一是统计的应用，即应用统计方法解决各种实际问题。其二是统计方法的研究。在统计的应用中会遇到一些新问题，已有的统计方法不适用或不完全适用，这就需要去研究和探索新的统计方法，或是改进已有的统计方法使之适应新的情况。其三是统计理论的研究。一项统计方法的合理性与科学性当然需要经过实践的检验。统计方法分为两大类描述统计方法和推断统计方法。描述统计方法主要是对已经获得的数据进行整理、概括，使之系统化、条理化，

2、以便更好地刻画总体或样本所具有的特性。如:直方图、频率分布表等。推断统计方法则是根据所获得的样本数据，在一定的可信程度上对总体的特征进行估计和推测，检验与总体有关的假设，判定总体中不同变量之间的关系。如：本章的点估计与区间估计；第四章的有关假设检验。一、参数的点估计(point estimation)在许多情况下总体分布类型是已知的，未知的仅仅是其中的一个或几个参数，此时需要根据样本对总体中所包含的未知参数或总体的数字特征作出数值上的估计，这就是参数估计问题。其估计方法主要有：点估计和区间估计。1、点估计的概念，后者为点估计值。习惯上称前者为点估计的估计值。为。称记作的估计量为，则称，用它来估

3、计造一个统计量为样本观察值。若能构的样本为的一个参数，是总体：设定义),(.),(),(,12121212121nnnnnxxxgXXXgXXXgxxxXXXXX的点估计。，分别作为，个估计量，则就要求出个参数含有若总体kkkkkX,2, 1212, 12、点估计的方法 (确定未知参数估计量的方法) 有矩估计法和最大似然估计法方法为矩估计法。阶矩的估计量。称这种作为总体阶矩存在，用样本阶矩，且总体的个未知参数有设总体mXnmkmXEmkXnimimmk12, 11)1 ()(,的估计量就是未知参数，其解个方程：矩估计法就是列kkkkkkkXEXEXEk,)(),()(),()(),(2, 12

4、12, 122, 122, 11。、例页例：见教材例215112)()(XDXE，解：由题意知的矩估计。和方差均数二阶矩存在。试求总体的样本，且总体是总体：设例221,2XXXXn，而XXnnii111212122)()(11XXXnXnniinii，又22)()()(XEXEXD222)(XE故)()(221XEXE由。，即niiXXnX122)(122212)()(1XXXnXnii即niiXXnX122)(1:，解得二、估计量的评选标准参数的点估计受样本容量、样本观察值及所构造的统计量的影响。如何才能得到尽可能接近参数真值的估计是进行点估计时必须考虑的问题。当然在抽取足够多的样本，科学地

5、收集其观察值的基础上，选择一个好的统计量是获得好的估计值的关键。好的标准是什么呢？通常有三个，即：无偏性、有效性和一致性。1、无偏估计量。称为系统误差的无偏估计量。是则称的点估计量，若是未知参数设)()(EE不全为零。，且其中的无偏估计。为叫加权均数证明：。的一个样本，其均数为是来自总体：设例nniiniiinccccXcXXXX,1)(,3211121的无偏估计量。为故：样本均数niiXn11。的有偏估计量是）：（则。，方差为，其均数为来自总体：设例221221)(11,4niinXXnXXXX的无偏估计量。是样本方差2212)(11)2(niiXXnS为已知）。其中的无偏估计量是()(1)

6、3(221niiXn2、估计量的有效性 同一参数的无偏估计量未必是唯一的(如例3、4)，他们中哪一个更好？有效。比，则称若，的两个无偏估计量是参数，设21212121)()()()(DDEE中最有效的估计量。是加权均数，样本均数：对于总体均数例niiiniiXcXnX1115)()1(11niiiniiXcDXnD即：3、一致估计量 当样本容量无限增大时，一个好的估计量的估计值应稳定地趋于参数值。的一致估计量。是则称，都有若对于任意的为样本容量。的估计量，是总体未知参数设nnnnPn, 1)|(|lim0的一致估计量。阶原点矩是总体阶原点矩可证明：样本)(11knikiXEkXnk这就是矩法估

7、计的理论依据。三、正态总体参数的区间估计参数真值所处的范围。体参数的真值，以表明总相当大的概率包含未知以概率意义的区间，使它多大。即确定具有特定的误差有与率意义下，也就是要说明在一定概的精度，去估计用是一随机变量，需说明由于答。参数的点估计并没有回至于如何反映精确度，确，它也只是一定程度的精个怎样优良的估计量，是一的估计。然而不管的值作为未知参数量计点估计问题，它是用估前面讨论了未知参数的1、区间估计的概念置信上限置信下限，的置信区间。为的一个置信水平为总体未知参数，则称区间使得和个统计量的随机样本。若存在两为的一个未知参数，为总体：设定义2121211211211)() 10(1),(),(

8、,1PXXXXXXXXXnnn。率是的真值包含在其内的概能够将参数，表示区间1)(12121P2、正态总体均数 的区间估计的区间估计已知时，正态总体均值总体方差2) 1 () 1()(11,),(,222222212221221的值见附表，的置信区间为的已知时正态总体均值则当，取的一组观察值。则有：的随机样本是来自正态总体设unuxnuxnuxnuxnuxnuxPXXXNxxxnn1)11|1) 1 , 0(),(),(2222222nuxnuxPnuXnuXPuUPNnXUnNXNX于是即知由附表从而则，因为：若22u222u例6：见教材82页例1。的区间估计未知时，正态总体均值总体方差2)2(11|3) 1(),(2222nStXnStXPtTPntnSXTNX故知由附表服从，则服从因为若)3()(12222的值见附表，的置信区间为的未知时正态总体均值即当tnstxnstx例7：见教材83页例2。的区间估计、正态总体方差23)4() 1() 1() 1() 1(11) 1() 1() 1() 1(1) 1(4) 1() 1(),(221222212222222122222222222122222见附表与，的置信区间为：的故正态总体方差即知由附表服从，则服从因为若nSnnSnnSnnSnPSnPnSnNX例8：见教材85页例4。)(12222nstxnstx，置信区间为的的未