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文档简介
1、Lebesgue 测度2.1点集的Lebesgue外侧度定义2.1.1设E Rn .若讥是Rn中的可数个开矩体，且有E I k，则称讥1 k臭为E的一个L覆盖.我们称m*(E)=inf 上 v(Ik)：g 助E的L覆盖lk>J为点集E的Lebesgue外侧度或简称外侧度.定理 2.1.3 (i)非负性：m*(E)_O,m*()=0;(ii )单调性：若巳E2，则m*(EJ加叵);(iii )次可加性：m*( yEkW kEkm*(Ek)(iv )距离可加性：若 d( E1, ) 0 贝U m*(E1 E2) =m*(EJ m*(E2)(v)平移不变性：设x Rn，则m*(E x0)=m*
2、(E).推论2.1.4若E Rn为可数点集，则m*(E)=0.2.2可侧集与Lebesgue测度定义2.2.1设ERn.若对任意的点集T Rn.有m*(T)二 m*(T E) m* (T Ec)，则称E为lebesgue可测集，简可测集.可测集的全体称为可测集类，简记M.m*(E) 称为E的Lebesgue测度，记为 m(E).引理224.设巳怎,.E, Rn是有限个互不相交的可测集，T Rn，贝U有kkm*(T( EJ)八 m*(TEi).i 4id：证.当k=2时，取试验集T （E： E2），因为E：是可测集.因为m*（T（巳 E2）=m*（T（E：E2）E：）m*（T（E：E2）E：c）
3、二m*（TE：）m*（TE2）.用数学归纳法可以证明：对任意自然数k>=2,此引理成立.定理2.2.5 （可测集的性质）.（i） M;（ii）若 E M,则EcM;（iii）若EM（i=：,2,.，则其并集也属于M;若进一步有E：n E2=（僅j）,则m（ EJ 八 m（Ei）,i ：i T即m在M上满足可数可加性定理2.2.7.设（A）是一族代数，则,.a r也是一个二-代数.定义2.2.9 .由Rn中一切开集构成的开集族所生成的 匚-代数称为Borel代数,Borel代数中的元素称为Borel集.定理 2.2.10.设E：E2.Ek.是一个递增可测集合列，则m（lim ej qm m
4、（Ek）.kk_推论 2.2.11.设E： -： E2 -：.Ek -：.是一个递增可测集合列且 m（E：）：:则 m（ijm：Ek）pm：m（Ek）.推论2.2.12设是可测集列，则m（|im_Ek）pm_m（Ek）.进一步，若m( kEk)-:，则m(lim ej =iim m(Ek)k)：k_)：:-iim m(Ek)二 k_.叫imk_.Ek).2.3可测集与Borel集的关系引理2.3.1. Rn中的开矩体，I 二山)24) .(an,bn)是Lebesgue可测集.定理2.3.2.开集，闭集和Borel集都是Lebesgue可测集定理2.3.3.若E M，则对任意；0，我们有i存在开集 G二E，使得 m(G E)：ii存在闭集 F E
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