函数的作图PPT课件

1、函数的作图函数的作图利用初等描点作图可以绘出函数的大体形状，一般来说，描点越多，作出的图形越准确，但也存在缺陷。1) 选点带有一定的盲目性,往往漏掉某些关键点.下面我们借助微分学的知识,来深入研究函数整体形态,一. 曲线的凹凸性与拐点但仅是这些还不能比较准确的描绘出函数的研究图形。2) 选点少了,不能准确的确定函数的弯曲方向,选多了,计算较复杂从而比较准确作出函数图形.函数的单调性与极值,对于了解函数的图形,是有很大的帮助,例如 在a，b上虽然都是单调增加，但图形却有显著不同。212xyxy2xy 是上凹的曲线弧)2(21xxf1x2xyOx21xy 是下凹的曲线弧)2(2)()(2121xx

2、fxfxf)2(2)()(2121xxfxfxf2)()(21xfxf1x2xyOx则称该曲线段是凸弧（或向上凸的），如图yOx凹：0)( xfyOx凸：0)( xf给出判定曲线凹凸性的判别法。定义定义1 设曲线y=f (x) 上各点处都有不垂直于x轴的切线，若这段曲线总位于曲线上每一点切线的上方，则称该曲线段是凹弧（或向上凹的）；若这段曲线总位于曲线上每一点切线的下方，下面借助于二阶导函数的符号，设函数在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数。 此时称区间a, b为曲线的凸区间。例例1 1 讨论曲线3xy 的凹凸性。解.0|,6,302 xyxyxy当x 0时，y 0时，y 0, 所以

3、曲线在0, +)上是凹弧。（ii）如果在(a, b)内f (x) 0，于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为0, + ) 。 定义定义2 2注意：拐点是曲线上的点)(,(00 xfx当x 0, 所以曲线在(, 0上是凹弧；当x 0时，y 0, 所以曲线在0, + )上是凸弧。解. )0(,92,313232 xxxyxy例2 求曲线的凹凸区间。3xy连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。符号相同，则点(x0 , f (x0)不是拐点。 例1中，点（0，0）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；例2中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。 因

4、此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的点或f (x)不存在的点。求连续曲线的拐点的方法如下：（i）求出所有使函数f (x) 的二阶导数f (x) = 0的点和f (x)不存 在的点；（ii）对于（i）中所求出x0，若f (x)在x0两侧符号相反，则点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；若f (x)在x0的两侧例3 讨论曲线32)1(xxy的凹凸性及拐点。解 函数的定义域为（ ）。,31323235xxy令y = 0，得51x当x = 0时，y 不存在。列表讨论如下：xy y)51,(51)0 ,51(0), 0( 0+不有拐点无拐点于是，曲线在51,(上是凸弧，

5、在),51是凹弧；拐点为)25156,51(3.343192910 xxy二、渐近线渐近线为曲线的渐近线。 渐近线有以下三种：如果Axfx)(lim或Axfx)(lim（A为常数），则称直线 y =A为曲线)(xfy水平的渐近线。（ii）垂直渐近线则称直线x = x0为曲线（iii）斜渐近线：斜渐近线)(limaxxfbx若曲线上一动点M无限远离原点时，某一固定直线L的距离趋近于零，（i）水平渐近线：)(lim00 xfxx或)(lim00 xfxx如果,)(limxxfax称该渐近线为曲线y = f (x)的斜渐近线。a 0 时，设直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的渐近线。y

6、= f (x)的垂直渐近线。则称该直线L定义定义3 3动点M到例例4 4 求曲线的渐近线。)2() 1(3xxxy解 由于,)2()1(lim30 xxxx所以x=0,x =2是曲线的两条垂直渐近线。) 2() 1(lim3xxxxbx于是，y = x 1是曲线的斜渐近线又,11)2()1(lim3xxxxax)2() 1(lim32xxxx1) 2() 2() 1(lim23xxxxxx(2) 确定函数的连续区间及间断点；三、函数作图三、函数作图函数作图的一般步骤：(1) 确定函数f (x)的初等性质：定义域、奇偶性、周期性等；必要时，可根据函数表达式补充一些点。(3) 求出f (x)，讨论

7、曲线的增减性与极值；(4)求出f (x)，讨论曲线的凹凸性与拐点；(5) 考察曲线的渐近线；(6) 确定曲线的某些特殊点 （比如，曲线与坐标轴的交点等）. (7) 绘出函数图形。例例5 5 作出函数2xey的图形。在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。.22,0 xy得令(3) 列表讨论（由对称性，仅讨论x0, +）的情形）：解 （1）函数的定义域为（ ），（2）. ,22xxey；得令0, 0 xy拐点00)22, 0(22),22(极大值),22(21e1xyy y0+)12(222 xeyx（4） 因为因为0lim2xxe，所以，所以y=0是水平渐近线。是水平渐近线。正态分布曲

8、正态分布曲 线或高斯曲线。线或高斯曲线。（5）作图）作图 由以上讨论可作出曲由以上讨论可作出曲 线在线在0，+ ）内的图形，）内的图形，再由对称性可得全图再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为该曲线在概率论中也称为),22(21e是拐点是拐点Oyx2222例例6 绘绘 的图形的图形2)1 (xxy解：解： 定义域定义域),1()1 ,(42)1 ()1(2)1 (xxxxy33)1(1)1(21xxxxx1x0 y令令623)1 ()1)(1 ( 3)1 (xxxxy 2x令令0 y)2,(1), 1 ( ) 1, 2(2) 1 , 1(1)(xf )(xf )(xf211)1(lim)(limxxxfxx44)1 (24)1 (33)1 (xxxxx0)(limxfx1x垂直渐近线垂直渐近线0y水平渐近线水平渐近线10yx21例例 作函数作函数 的图形的图形xxy12解：定义域解：定义域), 1()1,(3422)1 (2)1 ()1 (2)2()1)(22(xxxxxxxy 2222)1 (2)1 ()1 (2xxxxxxxy0 y令令2x0 x1x当当y y不存在不存在)2,(0), 0() 1