专题六：导数与函数高考大题类型(自己的总结)

1、实用标准文案导数高考大题(教师版)类型一：对单调区间的分类讨论x1、已知函数 f(x) e ax, a R.(i)求函数f(x)的单调区间；(n)当x 0,)时，都有f(x)>0成立，求实数a的取值范围解：(I) f(x)的定义域是 ，f (x) e2= a.2分(1)当aw0时，f (x) 0成立，f(x)的单调增区间为 ，；3分(2)当a 0时，令f (x) 0,得x lna,则f (x)的单调增区间是lna, .4分令f (x) 0相x lna,则f (x)的单调减区间是 ，ln a .5分综上所述，当aw。时，f(x)的单调增区间为， ；当2 0时，f(x)的单调减区间是，lna

2、 ,f (x)的单调增区间是ln a, .6分7分(n)当 x 0时，f (x) 1>0成立，a R .当 x 0, 时，f (x) ex ax >0 成立,x一e 一即x 0, 时，a & 一成立.x精彩文档x设 g(x), x所以g (x)x xxe e _(x 1)ex2x11分当x (0, 1)时，g (x) 0,函数g(x)在(0, 1)上为减函数;x 1, 时，g (x) 0,函数g(x)在x 1,上为增函数. 12分则g(x)在x 1处取得最小值，g(1) e.则awe.综上所述，x 0, 时，f (x)> 0成立的a的范围是(，e. 13分类型二：给出

3、单调递增递减区间等价于恒成立问题22、已知函数 f (x) x 2alnx.(I)若函数f(x)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1,求实数a的值;(n)求函数f(x)的单调区间；-2(出)右函数g(x) f (x)在1,2上是减函数，求头数 a的取值氾围.x5, 、.2a2x2 2a八解：(I)f'(x) 2x 1分x x由已知f '(2)(II)函数f(x)的定义域为(0,).(1)当a 0时，f'(x) 0, f(x)的单调递增区间为(0,)；5分(2)当 a 0时 f '(x) 2(x 1a)(x 1a). x当x变化时，f '(x), f

4、 (x)的变化情况如下：x(0,/T)bfa,)f'(x)-0+f(x)极小值Z由上表可知，函数 f (x)的单调递减区间是(0, /7)；单调递增区间是 (、a,).8分22-2-2a(II)由 g(x)x2alnx得g'(x)2x一, 9分xxx由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g'(x) 0在1,2上恒成立，2一 2a_ 即方2x0在1,2上恒成立.x xr12_,八即a x2在1,2上恒成立.11分x, ,、12、1c , 1 CC令 h(x) - x2,在1,2上 h'(x)2x(-2 2x) 0,xxx所以h(x)在1,2为减函数.h(x)

5、 min h(2)1,所以a 7.类型三：零点个数问题23、已知函数f (x) 4ln x ax 6x b ( a , b为常数)，且x 2为f (x)的一个极值点.(I)求a的值;(n )求函数f (x)的单调区间；(m)若函数y f(x)有3个不同的零点，求实数 b的取值范围.解：(I )函数f (x)的定义域为(0, +8)i分4- f (x) = - 2ax 62 分xf (2) 2 4a 6 0,则 a = 1 . 4分2.(11)由(1)知£(*) 41nx x 6x b,42x2 6x 42(x 2)(x 1)f (x) = - 2x 6 -xxx由f ' (x

6、) > 0可得x >2或x <1 ,由f(x) < 0 可得 1< x <2 .函数f ( x )的单调递增区间为(0 , 1)和(2, + 8 ),单调递减区间为(1 , 2 ).(出)由(n)可知函数f (x)在(0, 1)单调递增，在(1, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.且当x =1或x =210分.f(x)的极大值为f(1) 41n116bb 511分f (x)的极小值为 f(2) 4ln 2 4 12 b4ln 2 8 b12分由题意可知f (1) b 5 0f (2) 4ln2 8 b 014分则 5 b 8 4ln2类型四：一般的恒成

7、立问题4 .已知 f(x)= xlnx-ax, g(x)= x2 2,(I )对一切xC (0, +8), f(x)河(x)恒成立，求实数a的取值范围；(n )当a = 1时，求函数f(x)在m,m+3(m>0)上的最值；1.解：(I)对一切 x (0,),f(x) g(x)恒成立，即 xlnx ax2 一，、x 2恒成立.2 , 八也就是aln x x 一在x (0,)恒成立.1分x令 F (x) ln x x 一 x,12则 F(x)-1xx2_x2 x 22x(x 2)(x 1)2，x在(0,”F (x)0,在(1,)上 F(x) 0,因此，F(x)在x1处取极小值，也是最小值,即

8、 Fmin(x)F(1) 3,所以 a 3.4 分(n )当 a 1 时，f (x) xln x x ,1八f (x) In x 2 ,由 f (x) 0得 x .6 分e1 一， ，11当 0 m 丁时，在 x m,下)上 f (x) 0 ,在 x (w，m 3上 f (x) 0 eee1 ,、1因此，f (x)在x 处取得极小值，也是最小值.fmin(x).ee由于 f(m) 0, f (m 3) (m 3)ln(m 3) 1 0因此,fmax(x)f (m 3) (m 3)ln( m 3) 11当m 丁时，f'(x) 0 ,因此f(x)在m,m e3上单调递增,fmin(x) f

9、 (m) m(ln m 1) fmax(x)f (m 3) (m 3)ln( m 3) 1类型五：用构造法证明不等式问题a ln x b5、已知函数f (x)曲线x 1 xy f (x)在点(1, f(1)处的切线方程为x 2y 3 0.(I)求a , b的值;(II)证明：当x 0,且x 1时，f (x)ln xx 1zx 1(I) f'(x)(工 1n x) A(x 1)2x2df(1) 1,1 一 .一 一由于直线x 2y 3 0的斜率为一，且过点(1,1),故1即2 f'(1)-,2b 1,a1解得 a 1 , b 1 0b ,22In x 1(n)由(i)知f(x)

10、一，所以x 1 x2- In x 1_ x 1f(x)(2lnx )考虑函数 h(x)2ln xx2 1(x 0),则xh(x) 2 x2x2 (x2 1)(x 1)22x所以当x1 时，h (x) 0,而h(1) 0,故x 11 xx1 . 一当 x (0,1) h(x) 0,可得rh(x)0;1 x一，-1,、_当 x (1,)时，h(x) 0,可得2-h(x) 0;1 xIn xIn x从而当 x 0,且x 1, f (x) Q 即 f(x)x 1x 1类型六：最值问题6、设函数f(x) e1其中e为自然对数的底数(n)记曲线y(I)求函数g(x) f(x) ex的单调区间;f(x)在点

11、P(x0, f(x0)(其中x0 0)处的切线为l, 1与x轴、y轴所围成的三角形面积为S ,求S的最大值.解：(I)由已知g(x) eex ,所以 g(x)ex e,2 分由 g(x) ex e 0,得x 1,3 分所以，在区间(,1)上，g (x) 0,函数g(x)在区间(，1)上单调递减；4分在区间(1，)上，g (x) 0,函数 g(x)在区间(1，)上单调递增;即函数g(x)的单调递减区间为(，D，单调递增区间为(1，).(n)因为 f (x) e ,xoX。所以曲线y f(x)在点p处切线为i： y e e (x Xo).7分切线l与x轴的交点为(x。1，0),与y轴的交点为(0,

12、ex xoe"),9分Y 0 S 1(1 xo)(1 xo)ex。2(1 2x。x2)ex。因为x。 u,所以 (x 1)22,1O分S-exo(x2 1)2 ,12 分在区间(，1)上，函数S(xo)单调递增，在区间(1，O)上，函数S(xo)单调递减.S 22所以，当xo1时，S有最大值，此时 e,所以，S的最大值为e.近三年新课标导数高考试题2O11 1、(2)下列函数中，既是偶函数又在 (O,+ )单调递增的函数是 B(A) yx3(B) y x 12、(9)由曲线yJI,直线y(C) y x2 1(D) y 2 xx 2及y轴所围成的图形的面积为C(A)1O33、(12)函

13、数 y(B) 41 的图像与函数1 x(C)16(D) 62sin x( 2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和等于(A) 2(B) 4(C) 6(D)8f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 2y 3 O。in x kO,且x 1时，f(x) -，求k的取值范围。x 1 x4、(21 )(本小题满分12分)- a in x b已知函数f (x) -,曲线yx 1 x(i)求a、b的值；(n)如果当x(21 )解：(I ) f '(x)(x- in x)x由于直线x2y0的斜率为12'且过点(1,1),故考虑函数h(x)(i)设k 0,由f(x)2ln xh'(x

14、)1,1,1即,2Inlnx (x)(x 1k) x1 r-(2ln x x(k 1)(x2 1)、) 02(k 1)(x1),v(xx22k(x 1) (x 1)0),则 h '(x)2_(k 1)(x1) 2x知，当 x 1 时，h'(x) 0。而 h(1)0,故当 x (0,1)时,h(x)10 ,可得2h(x) 0 ;1 x)时,h (x) <0 ,可得从而当x>0,且x 1时，f (x)-(1 ln x(ii)设0<k<1.由于当x1，、-2- h (x) >0 xk 一一)>0 ,即 f (x) x)时，(k-1 ) (x2 +1

15、 )+2x>0,故 h (x)>0,而 h (1 ) =0 ,故当 x (1 ,)时，h (x) >0 ,可得-11-一2 h (x) <0,与题设矛盾。x(iii)设 k 1.此时 h (x) >0,而 h (1) =0 ,故当 x (1 , +)时，h (x) >0 ,可得题设矛盾。综合得，k的取值范围为(-,020125、(12)设点P在曲线y= - ex上，点 Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为B 2(A) 1-ln2(B) 仿1 ln 2)(C) 1+ln2(D) 亚1 ln 2)6、(21)(本小题满分12分)已知函数 f (x)满足

16、 f(x) f (1)ex 一2 h (x) <0,与 f(0)x -x1 x22(1)求f (x)的解析式及单调区问；(2)若 f(x) 1x22ax b求(a+1 )b的最大值。【解析】(1) f(x)x 1(1)ef (0)x- x 1_ _(x) f (1)e f (0)1 得：f(0)f(x)f (1)ex得：f(x)1 2 x - x21 2-x2f(0)g(x)f (1)e 1 1(x) ex 1f (1)g (x) exg(x)在 xR上单调递增f (x) 0(0)0, f (x)0 f (0)得：f(x)的解析式为f (x) ex1 2 x -x2且单调递增区间为(0,

17、),单调递减区间为,0)(2) f(x)lx2 ax b2h(x)ex(a 1)x b0得 h(x)(a 1)【2013年】当a当a1 0 时，h (x)时，h(x)与 h(x)得：当x(a 1)b令 F(x)0 时，h (x)ln(a 1)时,(ah(x)minF (x) 0h(x)在x R上单调递增0矛盾ln(a 1),h (x) 0 x ln(a(a 1)(a 1)ln( a 1) b1)1)2 (a1)21n(a1)(a 10)2 .x In x( x 0);则0 x e, F (x)F ( x) max 二2F (x)x(1 21n x)当aVe 1,b 几时，(a 1)b的最大值为

18、-27、16、若函数f(x)=(1 x2)(x2 + ax+b)的图像关于直线x= 2对称，则f(x)的最大值是【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题 .【解析】由f(x)图像关于直线x=2对称，则 220= f ( 1) f( 3) = 1 ( 3) ( 3) 3a b,0= f (1) f( 5) = 1 ( 5)2( 5)2 5a b,解得 a =8, b=15,.f(x)=(1 x2)(x2 8x 15), .f(x)= 2x( x2 8x 15) (1 x2)(2x 8) = 4(x3 6x2 7x 2)=4(x 2)(x 2 、5)(x 2 ,5)当 xC

19、( 8, 2 V5)U(-2,2 V5)时，f(x)>0,当 xC( 2 75,-2) U( 2 而,+ 8)时，f (x) <0,f(x)在( 8,2 新)单调递增，在(2 而，-2)单调递减，在(2,2 而)单调递增，在(2 55 , +8)单调递减，故当x= 2 75和*= 2 75时取极大值，f ( 2 ,5) = f( 2 .5)=16.8、(21)(本小题满分共12分)已知函数 f(x) = x2+ax + b , g(x) = ex(cx + d),若曲线 y = f(x)和曲线 y = g(x)都过点 P(0 , 2),且在点P处有相同的切线y = 4x+2(I )求 a, b, c, d 的值(H)若x>2时，f (x) kg(x),求k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数 最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题.【解析】(I)由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4, g