专题：导数运算中构造函数解决抽象函数问题策略

1、导数运算中构造函数解决抽象函数问题在导数习题中经常会遇到一些只给出函数的性质，而并不提供具 体解析式的问题，我们称之为抽象函数问题。解决这类问题的策 略是构造合适的函数，利用函数的性质解决问题。下面着重介绍 常见函数的构造模型。模型一：关系式为“加”型 f x g x ' f ' x g x f(x)g' x1 用ee模型三：当条件是导数与多项式时，构造函数可以采用 求原函数的思想。a0 f (x) a1xn a2xn 1 L Lan 1x an 'n 1n 2a0 f '(x) a1nxa2 n 1 x L Lan 1 替代g x，则exf(x)

2、9; exf'(x) f (x)2 用xn 替代g x，则xnf(x)' nxn 1 f (x) xnf '(x) xn 1 xf '(x) nf (x)3 用 ex 替代 g x , f n(x)替代 f (x)，则exf n(x) exf n(x) ex nfn 1(x) f'(x) ex f n 1(x) nf '(x) f (x)模型二：关系式为“减”型r f (x) f '(x)g x f x g' x=2g xg x1用ex替代g x，则f(x)'f'(x)exf (x)ex f '(x) f

3、(x)2xxee2用xn替代g x，则华 xf '(x) xn f (x) nxn 12nxxf '(x) nf (x)3用ex替代g x , f n(x)替代f (乂),则ex nfn1(x)f'(x) exf n(x)2x e3小结：1.加减形式积商定2.系数不同哥来补3.符号讨论不n 1f (x) nf '(x) f(x)能忘数学应用例1.设f(x)、g x是R上的可导函数，f ' x g x f(x)g' x 0,且g 30,求不等式f x g x0的解集.解析.Q f x g x ' f ' x g x f(x)g

4、9;x 0, f x g x 在 R 上单调递减， Q g 30, f 3 g 30, f x g x 0可化为 f x g x f 3 g 3 ,Q f x g x在R上单调递减，x 3,不等式的解集是3,.注释：Q f x时，令h xf(x)g' x ,当条件中出现 f ' x g xf (x)g ' x例 2.设f (x)、g x是R上的可导函数，满足f(x) g(x)且 f '(x)g(x)f (x)g'(x),f(1) f( 1)g(1) g( 1)5,若有穷数列23 (n g(n)N*）的前n项和等于义,32求n.解析.Q f '(x

5、)g(x)f (x)g'(x),f(x)f'(x)g x=f x g' x0,Q有穷数列g(1)f (n) g(n)nf( 1)g(n1)g x15a a 2）的前n2a25a 2 0,项和等于31,32上（凶=ax在R上为减函数, g x3132132n 5.f '(x) g xg' x当条件中出现f '（x）g x f x g' x时,g x人 一 f(x) 令h x = g x= f!xlg x1例3.设f(x)是R上的可导函数，且f' x f(x), f 01,f 22e求f 1 .解析.Q f (x)是R上的可导函数，且

6、f'x f(x),即f'(x) f (x) 0,exf(x)' exf'(x) f (x) 0, exf (x)在R上是非单调递减函数，012.21Q f 01, e0 f(0) 1,Q f 2,e2f (2)e21,ee当 x 0,2 时，exf(x)=1, e1f(1)=1, f (1)-. e注释：因为exf(x)'exf'(x) f(x),所以当条件中出现f'(x) f(x)时,一般构造函数h xexf(x),此题令h xexf (x).例4.已知f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x) f' x对任意x R恒成立, f

7、 x且f 3 e3,解不等式1. xe解析Qf(x)为定义在R上的可导函数，且f(x) f ' x对任意x R包成立,_x _ x _f(x) f'(x)e f(x)e f'(x) f (x)x 2xxeeeQ f 3 e343- 1不等式二:1可化为 3eQf目在R上单调递增，x 3, ef(x)xef xxe在R上单调递增,f 3x-， 3x不等式的解集是注释：因为举' e一般构造函数h x,3 .f 1(x)exf(x)exf'(x) f(x)2xe上学,此题令hex ef(x)x . e,所以当条件中出现f'(x)f(x)时,4例题5.已

8、知定义域为R的奇函数f x的导函数为f'(x),当x 0时，f'(x)f(x)0,x1 1右 a f ,b 2 f 2,c ln2fln2,试比较 a,b,c 的大小.2 2解析：令 g x xf x，贝Ug' x =f x +xf'(x),Q当x 0 时，f'(x) -f-(x) = Jx_x (x) xx当x 0时，f x +xf '(x) 0,即g' x 0, g x在0,+ 上单调递增，Q f x是定义在R上的奇函数，g x xf x是定义在R上的偶函数，1 11a g -f -,b g 22 f2 =g 2 , c g In 2

9、 ln2 fIn 2 ,2 22-1Q 2 In 2, b c a.2注释：Qxn f (x) nxn 1 f (x) xnf'(x) xn 1 xf '(x) nf(x),当条件中出现xf'(x) nf(x)时，一般设函数g xxnf(x),此题令g x xf x .例题6.已知f x是定义在R上的奇函数且f 2 =0,当x 0时，有xf'(x) 2 f (x) 0 x恒成立，解不等式x2f x 0.f xxf '(x) f xxf '(x) f x斛析： 令g x ，则g' x =2,Qx 0 时,2 0恒成乂,xxx当x 0时，g&

10、#39; x 0, g x在0,+ 上单调递减， fx_、.Q f x是定义在R1的奇函数，g x 是定义在x x 0上的偶函数，xg x在 ,0上单调递增，Q f 20, g 2 g 20,g x图像如图2所示，2f x当x 0时，由 x2f x 0得f x 0, 0, 0 x 2,x2f x当x 0时，由x2f x 04f x 0, 0, x 2,x综上，不等式的解集是，2 U 0,2 .21y f(x)X注释.Qr f (x)i' C1X1 (2)(x) xn f (x) nxn 1 xf '(x：例题8.已知函数f若存在x R ,使f的导函数为f xx2,求x的值.当

11、x 0 时2f x xf '(x)，且 f 1 =1,解析：令g x =f，贝Ug x f(x)2 x_2f '(x) x当x 0 时2f x xf'(x),当x 0 时xf'(x)2f xf (x) 2x-4x0,g xxf'(x) 2 f (x)0,g x单调递减,Q存在x R ,使f xf x""2 x=1,即g xp f 1=1,又 g 1 =- 121, x 1.f'(x)f (x) nxn 1xf '(x) nf (x)xf '(x) nf (x)时，令 g x2nxf(x)nx此题令g xn 1x

12、f(x)2x,当条件中出现例9.定义在R上的函数f x的导函数为fx ，若f x 0,且f x2f'(x)1,则A.f2 3f2 12eB.f2 1C.e2 f 1D.解析：Q12x e7f1(x)f'(x)0,2 f 1(x)f2(x)，则 g'(x)=exf2(x)'exf2(x)0, f x 2f '(x) 0 g'(x)22 f (x)f'(x) e0, g x在R上单调递增,g 1 , e2f2(2)ef2(1), ef2(2)f2(1),f2 1ef2 2 ,0, f x 2 f '(x)f(x) 2f'(x)

13、 f(x),答案选B.0,注释：Qexfn(x)'exf n(x) ex nfn 1(x)f '(x) efn1(x)nf '(x)当条件中出现nf '(x) f(x)时，令g xexfn(x),此题令g xf(x), exf2(x).1例10.已知定义在R上的函数f x的导函数为f x ,满足f 1 =1，且f x -,2解不等式f Igx1g11 _11斛析.令gx f x gX,则gx f x - ,Qf x ,g x f x 0,g x在R上单调递减，Qg 1 =f 11 = 1，由flgx 1g x 1得，f 1g xx 1,即g 1g x g 1 ,

14、 Q g x在R上单调递减,Igx 1, x 10,不等式的解集是xx 10 .注释：Qao f (x)axna?xn1 L Lanxan'a°f'(x)anxn 1a2n 1xn2 L Lan 1,当条件中出现f'(x)与多项式函数时，可令 g x a0f(x) a1xn a2xn 1 L L an 1x an,1 此题令g x =f x x.2例11.已知定义在R上的函数f x的导函数为f x , x R,有f xf x x3,在 0,+ 上有 2 f (x) 3x2 0,若 f m 1 f m 3m2 6m 4,则实数m的范围是上有2 f (x) 3x2

15、 0,g x是偶函数，32f m mA. 11B. ,1C. 1,D. , 1 U 1,解析.令g x =2f x -x3, JJWg x =2f x3x2, Q在 0,+在0,+ 上g x 0,g x单调递增,3_._33_.2 f x x2fx 2xx2fx32Q g m 2 g m 2f m 2 m 6m 12m 82f m 3m 6m 40,g m 2 gm, g m 2答案选B.注释：Qa0 f (x) a1xn a2xn 1 L Lg m , m 2 m , m 1,an 1x ann 1n 2a0f '(x) a1nxa2 n 1 x L Lan 1,当条件中出现f

16、9;(x)与多项式函数时，可令g xa0 f (x) a1xna2xn 1 L Lan 1x an,此题 g x =2f x x3.例12定义在R上的函数f x满足：f'(x) f(x) 1, f(0) 4,则不等式 exf xex 3其中e为自然对数的底数的解集为A 0,B. ,0 U 3,C. ,0 U 0, D. 3,解析：设 g xexf x ex,x R,则g'(x) exf xexf'(x) exex f '(x)f (x) 10,g x在R上单调递增，Qg 0 =e0f0 e0=4 13,由exf x ex 3得，exfx ex3,g x g 0

17、,Qg x在R上单调递增，x 0. 答案选A注释：Qa0f(x)a1xna2xn1 L L an 1xan'a0f '(x)a1nxn 1a2n 1 xn 2 L Lan1,当条件中出现f'(x)与多项式函数时，可令g x a0f(x) a1xn a2xn 1 L L an 1x an,此题 g x =ex f x ex.例13若定义在R±的函数f x满足：f 0 =1 ,其导函数f'(x)满足f'(x) k 1,则下列结论中一定错误的是C.fD.f解析.Q f '(x)满足f'(x) k,11, f(x) k 0,k 1 0,

18、1 0,令g x f xkx,则g'(x)f '(x) k 0, g x在R上单调递增, 1八Qf 01,g0 1, gT g0f -X上k 1 k 1答案选C.1,跟踪练习1.设f(x)、g(x)分别是定义在xx0上的奇函数、偶函数，当x 0时,f'(x)g(x) f(x)g'(x) 0, g( 3) 0,求不等式 f(x)g(x) 0 的解集.解析.当x 0时，Q f x g x ' f' x g x f (x)g' x 0, 当x 0时f x g x单调递增，Q f x、g x分别是定义在x x 0上的奇偶函数，f x g x是定义

19、在x x 0上的奇函数，当x 0时f x g x单调递增，Qg 3 0, f 3 g 3 f 3 g 3 =0,函数f x g x的图像如图1 不等式f x g x 0解集是,-3 U 0,3 .f(x)g' x2.已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足-f(x) g(x)注释：Q f x g x ' f ' x g x f (x)g ' x ,当条件中出现时，令hxf xgx,此题令h x f x g x .f'(x)g(x) f(x)g'(x),若若地 9 5,求关于x的不等式logax 1的g(1) g( 1) 2解集.f (x) f

20、'(x)g x f x g ' x0,解析.Qf'(x)g(x) f(x)g'(x), -(-)' = 一2g xg xux)二a 0,不等式的解集是0,在R上为减函数, g xc . c f (1) f ( 1)0 a 1,Qg(1) g( 1)1a - a由 lOga x5 2a2 5a 2 0, a21,得 logx log1 -, 022 21 t c 或a 2,21x 2,不等式的解集是f (x)f '(x)g x f x g ' x汪释：Q(，'=22，当条件中出 现f'(x)g xg xg xf x g

21、9; x 时,令h x =»,此题令h x =要. g xg x3.已知f (x)为定义在R上的可导函数，满足f ' x 且f 21,y f x 1为偶函数,解不等式f xf (x)对任意x R恒成立,xe .解析Q f (x)为定义在R上的可导函数，且f' xf (x)对任意x R包成立,f(x)r x ef'(x)ex f (x)ex2xeQ y f x+1是偶函数，yf'(x)xf(x) 0, 坐在R上单调递减, eef x直线x 1对称，f 2 f 0 =1Qf(a在r上单调递减, ef xf xex可化为1,即一ee注释：因为与exf'

22、;(x)ex f(x)ex2xef'(x) f(x)般构造函数h x空,此题令h ex ef(x)x .e,所以当条件中出现f'(x) f(x)时,f (x)对任意x R恒成立,4.已知f(x)为定义在R上的可导函数，满足f ' x 则2020A. f 1ef 0 , f 2020e f 0C.f 1ef 0 , f 2020e2020 f 02020B.f 1 ef 0 , f 2020 e f 0D.f 1 ef 0 , f 2020e2020 f 0解析Q f(x)为定义在R上的可导函数，且f' xf(x)对任意x R包成立,要 f'(x)exJ(

23、x)exf'(x)xf(x) 0,早在 R上单调递减，xxxxeeeef(D fO f (2020) f(0)f 1 ef 0 f 2020 e2020 f 010 )20200 )1 ef 0 , f 2020 e 0 ,e e e e答案选D.注释：因为f(x) x e般构造函数f'(x)ex f(x)ex2xe里,此题令h x ef'(x) xf(x),所以当条件中出现f'(x) ef(x)x .ef(x)时,5.已知f x的定义域为0 ,+, f x为f x的导函数，且满足f x xf x ,则不等式 f x 1 x 1 f x2 1 的解集是A. 0,

24、1B. 1,C. 12D. 2,解析：令 g x xf x，则g' x =f x +xf'(x),Q 当x 0 时，f x < xf'(x), 当x 0 时f x +xf'(x) 0, g' x =f x +xf'(x) 0,g x在0,+ 上单调递减，由f x 1 x 1 f x2 1 得 x 1 f x 1x2 1 f x2 1x 1 0x2 1 0 x 2,不等式的解集是2,答案是D.x 1 x2 1注释：Qxn f (x)' nxn 1 f (x) xn f '(x) xn 1 xf '(x) nf (x),

25、当条件中 出现xf'(x) nf(x)时，一般设函数g x xnf(x),此题令g x xf (x).6 .已知定义域为R的奇函数f x的导函数为f x ,且当x ,0时,不等式 f x +xf '(x)0恒成立，若 a 1 f a 1 sin f sin对一切,-恒成立，求实数a的取值范围.2 2解析：令 g x xf x，则g' x =f x +xf'(x),当x 0 时f x +xf'(x) 0, g' x =f x +xf '(x) 0, g x 在 ,0 上单调递减，Q f x为奇函数，g x xf x为偶函数，g x在0,+

26、上单调递增，Q a 1 f a 1 sin f sin Q对一切 一,一包成立，2 2g a 1g sin 对一切 , 恒成立，a 1 sin 包成立,a 1 1 a 1 1,或 a 11, a2,或a 0.注释：Qxn f (x)' nxn 1 f (x) xnf'(x) xn 1 xf '(x) nf(x),当条件中 出现xf'(x) nf(x)时，一般设函数g x xn f (x),此题令g x xf (x).7 .已知偶函数f x是定义在R上可导函数，其导函数为f x ,2当x 0时，有xf'(x) x 1 2f x，解不等式 x 2020 f

27、x 2020 4f 2解析：令g x x2f x ,则g' x =2xf x +x2f'(x) x xf '(x) 2f x ,Q 当x 0时，有 xf'(x) x2 1 2f x ,当x 0时，有 xf'(x)+2f xx2 1 0,g' x x xf '(x) 2f x 0,g x在 ,0上单调递减，又f x是偶函数，g x x2 f x是偶函数，g x在0, + ,上单调递增， t2由 x 2020 f x 2020 4f 2 得，g x 2020 g 2 ,x 2020 2,2022 x 2018,不等式的解集是 x 2022 x

28、 2018 .注释：Qxn f (x)' nxn 1 f (x) xnf'(x) xn 1 xf '(x)出现xf '(x) nf (x)时，一般设函数g x xn f (x)nf (x),此题,当条件中_2g x x f (x).8.已知定义在R上的函数f且f 23，解不等式f x其导函数满足f x 11.解析.令g x f x x,则gf x 1,Q1， g1 0,在R上单调递增，Qg2 =f 22=1,1,1,不等式的解集是注释：Qa°f(x) aixn当条件中出现f '(x)此题令g x =f x x.a2xn 1 L L anx an'与多项式函数时，可令ga°f'(x)