点差法习题(有答案)最新

1、式作差，得到一个与弦一、自主证明1、定理.在椭圆2工=1b2b >0)中，若直线1与椭圆相交于M、N两点,点P(X0,y0)是弦mN的中点,弦MN所在的直线1的斜率为kMNkMN四x0b2-2 a同理可证，在椭圆22、匕=1,221b a(a>b >0)中,弦MN所在的直线1的斜率为kMN ,贝ukMNV。xO若直线1与椭圆相交于 M、N两点,2 a点P(x0, yo)是弦mn的中点,22xy一/ 一 ,22、定理在双曲线abb>0)中，若直线P(x0, y0)是弦mn的中点，弦22匕上2.2同理可证，在双曲线 a bMN所在的直线1的斜率为kMN1与双曲线相交于M、k

2、 在bLkMN-2，则 x0 a .N两点，点二1(a >0, b >0)的中点，弦MN所在的直线1的斜率为kMN ,则中，若直线1与双曲线相交于 M、2=ax° b2N两点，点P(X0, y0)是弦MN点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种

3、代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(xi,yi)、B(X2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”23、定理 在抛物线y =2mx(mk0)中，若直线1与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线1的斜率为kMN ,则kMN »0 = m.2 y2 1 一 x 工=1OP= (OA OB)例1设椭圆方

4、程为 4 ，过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A、B ,O为坐标原点，点P满足2,点N的坐标为2 1 ""I2 2当1绕点M旋转时，求:精品资料动点P的轨迹方程;|NP|的最大值和最小值.2C: y2=1已知双曲线3,过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点.求弦AB的中点M的轨迹；若P恰为弦AB的中点，求直线1的方程.抛物线-y2 =4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程是(A.1 B.212y=x 一y =2(x-1) C.22D.2y = 2x - 11.已知椭圆2 c 2x 2y =4,则以(1,1)为中点的弦的长度为A. 3.2B. 23C.2.已知双曲线中心在

5、原点且一个焦点为2,303F( 7,0)3.6D. 2直线y=x1与其相交于 M、N两点，MN的中点的横坐标为3 ,则此双曲线的方程为(二1A. 34B. 432匕=13.已知直线xy-2=0与抛物线C.2yD. 252L=1=4x交于a、B两点，那么线段 AB的中点坐标是【规律总结】2同理可证，在抛物线x =2my(mk0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦1Xo = mMN所在的直线l的斜率为kMN ,则kMN.1、 以定点为中点的弦所在直线的方程22例1、过椭圆 人十匕=1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。16

6、42例2、已知双曲线x2 一，=1，经过点M (1,1)能否作一条直线l ,使l与双曲线交于 A、B ,且点M是线段AB的中 点。若存在这样的直线l ,求出它的方程，若不存在，说明理由。2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹22yx1例3、已知椭圆 工十一 =1的一条弦的斜率为 3,它与直线x=的交点恰为这条弦的中点 M ,求点M的坐标。 75 252y2 x2 5. 35. 3例4、已知椭圆 上+土 =1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。x + y=0(2<x<2)75 25223、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F (0,750)的椭圆被直

7、线l : y = 3x-2截得的弦的中点的横坐标为 -,求椭圆的方程。 2四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题22例6、已知椭圆 巳十上一=1,试确定的m取值范围，使得对于直线 y=4x + m,椭圆上总有不同的两点关于该直线 43对称。例1.解：设直线与椭圆的交点为丁 M (2,1)为AB的中点;又A、B两点在椭圆上，则A(x1,y1)、B(x2, y2) x1 x2 = 4y1y2二222 一 22 一x1 +4yl =16, x2 + 4y2 =16 .22、,22、_两式相减得(Xi -x2 ) 4(y1 -y2 )=0于是(Xi X2)(Xi -X2) 4(y1 y2)( y1 -

8、y?) 三0y1 y2XiX2x -x24(y1 y)4 22例2.解：设存在被点则 x1 , x2 =22x12 y1. -=1 ，2两式相减，得2x2rr1 一 1_-即kAB,故所求直线的方程为y-1 =(x-2),即x+2y4 = 0。22B(x2,y2)M平分的弦AB ,且A(x1, y1)、 % Y2 =2j=2X1 -X21(% x2)(x1-x2)-1(y1y2)(y1-y2)二0 2故直线 AB: y -1 =2(x -1)y -1 =2(x -1)由2 y2 消去 y ,得 2x2 4x+3 = 0x -一 二12' =(-4)2 -4 2 3 -8 :二 0这说明

9、直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的 位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。1例 3.解：设弦端点 P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦 PQ 的中点 M(xo,y。)，则 x0 = 一 2Xi +X2 =2xo =1 , yi+y2=2y02222又"+父=1,且+且=175257525两式相减得 25(yi y2)(yi - y2) 75(xi X2)(xi -X

10、2)= 0即 2yo(yi -'y2), 3(xi 'x2)=。yi y23xi x22y0k = yi - y2 =3x1 - x2 11.点M的坐标为(-,)22例4.解：设弦端点P(x1, y1)、31=3,即 y0 = _2yo2Q(x2,y2)，弦 PQ 的中点 M(x,y),则x1 +x2 =2x ,22-y1x1又=i7525yi2y275y =2y2x2=125两式相减得 25(yiy2)(yi - y2) 75(、 x2)(x1 - x?) = 0即 y(y1 -y2) +3x(x1 -x2)= 0,即=-xi -x2 yP(-k = y1 - y2 =3x

11、_ x2x- x y = 0由y2 x2 ，得 一 二i75253x=3,即 x + y= 0)Q(丁点M在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为22例5.解：设椭圆的方程为 与十与=1,则a2b2 =50a2 b2设弦端点 P(xi,yi)、Q(x2,y2),弦 PQ的中点 M(x0,yO),则一 11x0 - 2 ,y0- 3x02-2 1rxix2-2 x0 1 ,yiy 2-2y0-12222° yixiy2x2 dV 十 =1 - + =1人 2 l2 I >2121a b a b两式相减得 b2(y1y2)(y1 -y2) a2(x1 x2)(x1 -x2) =0即-b2(y1 -y2) a2(x1 -x2) =0yi-y2tr axi-x2联立解得a22 a b2b2二252,所求椭圆的方程是+=175 25P(x, y)为弦PP2的中点，则例6.解：设 P(x1,y1), B(x2, y2)为椭圆上关于直线y = 4x+m的对称两点, 3x12+4y12 =12 , 3x22+4y22=12 2222两式相减得，3(xi -乂2 ) 4(yi -y )=0即 3(xi x2)(xi - x2) 4( yi y2)( yi - y2 ) = 0yi- xi +x2=2x, yi 十y2=2y,=一xi