概率统计第四章答案2.doc

1、概率统计第四章答案2 概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第四章 随机变量的数字特征教学要求：一、理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法；二、了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方 差;三、了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算重点：数学期望与方差的概念和性质 ? 难点：相关系数.练习一一维随机变量的数字特征1.填空题61/25a，则A(1)将三个球随机地放到61/25a，则ABk(2)若随机变量_的分布律P _ k A (k 0,1,2)且E(_)k!(3)设随机变量 _ B(n, p)，且E(_)0.5

2、,D(_)0.45，贝(3)设随机变量 _ B(n, p)，且E(_)0.5,D(_)0.45，贝U n5, p 0.1(4)已知连续型随机变量 _的概率密度为1 f(_).e _ 2_ 1则 E(_) _J_, D(_)1/ 2设随机变量_表示10次重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为 0.4,则 E(_2) D _ E_26.4. 设随机变量_服从参数为 (0)的泊松分布，且已知E(_ 1)(_ 2) 1，则1 .2?在射击比赛中，每人射击 4次，每次一发子弹，规定4弹全都不中得0分，只中一弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率

3、为 0.6 .求他期望得多少分？解：设_表示射击4次得的分数，则 _的所有可能取值为 0;15;30;55;100.且004113P _ 0 C? 0.610.60.0256, P _ 15 C： 0.610.60.1536,E_21_2f _d_ -12_.d_ 1 _22.2 1一、1 _ 0则c21042D _ E _2 E_ 212由于4.已知随机变量 _的概率分布律为:-1 _2d_0_-202P0.40.30.3P _30C： 0.6 2 10.6 20.3456, P _30C： 0.6 2 10.6 20.3456, P _ 55 C3310.6 1 0.60.3456P _1

4、00C： 0.6 4 10.6 00.1296,所以E _00.0256150.153630 0.345655 0.3456100 0.129644.6413 ?设随机变量_的概率密度为、1 _0,，_ 1,求 E(_),D(_) ?1.解:_f _ d_1-d_21一厂_1 _22E 3_ 5求 E(_), E(_2), D(_)及E 3_25 2E 3_ 5解：E _j 口i 120.40 0.3 20.30.2;2 2E _i pi 1i220.4 02 0.3220.32.8；D _ E _2E _22.76；3E_253 2.8513.4.(5(5)设二维随机变量 _, Y的相关系数

5、为_Y0.5 , _与丫的方差分别为D(_) 4 ,5.设随机变量 _的概率密度为f _e , _ 0,求(1) y 2_ 的期望；(2) 0, _ 0;Y e 2_的期望.解: (1)E Yg _ f _ d_2_e _d_02e_ _ 102(2)E Y_ d_2_ _ .1 3_1g _fe e d_e03036?对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间(a, b)内，求球的体积的均值.解：设球的直径为_ ,球的体积为V则V - _3,且6,a _ b_ b a0, 其它；于是E Vb 11 _31 d_1a6b a24a b (a2 b2)练习二二维随机变量的数字特征1.填空题(1)

6、设随机变量 _,Y相互独立，方差分别为 6和3,则D(2_ Y) 27设随机变量 _,Y 相互独立，E(_) E(Y) O,D(_) D(Y) 1，则 E(_ Y)22_.设随机变量 _,Y相互独立，且_ N(1,2),Y N(0,1),则随机变量Z 2_ Y 3的概率密度22 3的概率密度22 32(4)设随机变量 _与Y相互独立，且 _ U0,2 , Y服从参数为 3的指数分布，则E(_Y) 1 ?3D(Y) 9D(Y) 9，则 D(2_ 3Y)61222?设随机变量（_,Y）的概率密度为f _, y12y2,0,y _ 1,其它；求 E(_),E(Y),2 2D(_), D(Y), E(

7、_Y)和 E(_ Y ) ?解:1 _2解:1 _2d_ _ 12y dy0 014_4d_01 _21 _2d_ y 12y dy0 013_4d_0E_21 _d 02 2_ 12y dy14_5dY2EY 2_d_ y20 012y2E_21 _d_0 02 2_ 12y dy14_5d_01625275EY2EY 2_d_ y20 012y2dy12 5 _ 0 5d_925125；E _Y1 _2d_ _y 12y dy0 013_5d_0E_222222Y2E _2E Y2354153 ?设随机变量_ ,Y相互独立，概率密度分别为2_,0_1,0, 其它；fY(y)e5y0,5,5

8、；求 E(_Y) ?解：由于随机变量_,Y相互独立，则E _Y E _E Y_f_ _ d_yfE _Y E _E Y_f_ _ d_yfY y dy2_2d_055 y Iye dy,方差为y 1e5y5 f 6 4.,方差为4.随机变量_1,_2, ,_n相互独立，并服从同一分布，数学期望为求这些随机变量的算术平均值_1 _i的数学期望及方差.n i 1解：由于随机变量_i, _2,_n相互独立，且E _i2?,11,2,3,于是由性质得E_ii 1d1nn_ii 112n i 1nD _i5 .设连续型随机变量_,Yd1nn_ii 112n i 1nD _i5 .设连续型随机变量_,Y相

9、互独立，且均服从解:设Z _ Y,由于_,Y相互独立,N（og）,求 E（_ Y）.且均服从 N （0,扌）,则Z也服从正态分布，且0,1,0,1于是z2Tdzzez2TdzeT综合练习题1.甲乙两台机床生产同一种零件，1.甲乙两台机床生产同一种零件，在一天生产中的次品数分别记为_ ,Y ,已知_ ,Y的概率分布分别下表所示?如果两台机床的产量相同，问哪台机床较好?_0123P0.40.30.20.1Y0123P0.30.50.20解：由于E _ 0 0.4 1 0.32 0.2 3 0.11 ,E Y 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 00.9则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产

10、中的次品数，所以乙机床较好。2.已知随机变量_2.已知随机变量_的概率密度为f (_),(),求E(_)及D(_).解:_f _ d_ _ed_e _d_2解:_f _ d_ _ed_e _d_0_2_22e_d_2e _d_2 2_ 22.3?某人每次射击命中目标的概率都是 标为止，求射击次数的期望.3?某人每次射击命中目标的概率都是 标为止，求射击次数的期望.0.8，现连续向一目标射击，直到第一次命中目4.设随机变量 _,Y的概率密度为f _, y18_ y，4.设随机变量 _,Y的概率密度为f _, y18_ y，0,0 _ 2,0 y 2,其它，P _k 1k 1 p p , k 1,

11、2,3, ?-;其中p 0.8F是E _k111k 1 ppk 1p0.81.25.(提示：利用求幕级数n 1n_ 的和函数的方法求数项级数的和)n 0求 E(_),E(Y),D(_),D(Y) , Cov(_,Y)和2 212 211解：E _d_ _y dy0 0882 211E Yd_ y_y dy0 0882 22D _ E _E_ 2d_2 _0 02222 27_2d_dy_d_ydy；000 062 22 227_d_ydyd_ ydya；0 00 0622175711_y dy863636222DY E Yd_y dy11362DY E Yd_y dy1136Cov _,Y E

12、 _YE _ E Y2 21 ,774491d_ _y-_ y dy0 086633636o o丄11丄11_Cov_,Y_36D _ .DY 1136解：由于D_YD _D Y2Cov _,YD_YD _D Y2Cov _,Y5?设 D(_) 25, D(Y) 36, _y0.4，求 D(_ Y)和 D(_ Y).Cov_,Y _Y D _ .D Y由条件知,D _ 5,D Y 6,_Y0.4所以D _Y 5 62 0.411.8,D _Y 5 62 0.410.2.6?假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障，可获利润10万元，发生1次

13、故障，仍可获5万元，发生2次故障获利0万元，发生3次或3次以上故障就要亏损 2万元，求一周内期望利润是多少？解：设这部机器一周内有_天发生故障，这一周的利润为Y万元。由题意知 _B 5,0.2 且10,若_0,5,若_1,Y0,若_2,2,若_3；所以E Y 10 P _ 05 P _ 10 P_ 22 P _ 310 C； 0.2 0 1 0.2 55c50.2 1 10.2 40C； 0.22 1 0.2 33322 C5 0.210.2C540.2 4 10.2 1C/0.2 5 10.2 05.209.7.市场上对某商品需求量为 _ U (20_,4000),每售出1吨可得3万元，若售

14、不出去 而囤积在仓库中则每吨保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？解：设商品的货源量为 a,销售商品的收益为 Y万元，依题意有120_ 120_ _ 4000,20_0,其它；2020,所以当a 3500时，E Y最Y g_3a,_,_a,a.3a,4_ a,_a,a;3_a_ :a140001E Yf_g_ d_20_4_ad_3ad_20_a20_11000a27000a4 106，由于E Y a12a 700001000令 E Y0，得a3500,且E Y/a 3500a大。8?设 _, Y相互独立，证明： D(_Y) D(_)D(Y) E(_)2D(Y) E(Y)2D(_)

15、.证：因为D _Y E _Y 2 E _Y 2 E _2Y2E _Y 2由于_, Y相互独立，则E_YE _ E Y ,2 2E _ YE_2ey2又D _E_2E_ 2,D Y E Y2EY 2,于是D _Y E _2EY2E _ 2 EY 2D _E _2 DY2E YE _2 EY 22 2D(_)D(Y) E(_) D(Y) E(Y) D(_).9?若随机变量（_,Y）的联合分布律为_-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8试证_与Y既独立不也不相关.证：_的边缘分布律为_-101323Pi?888丫的边缘分布律为Y-101323P?j一888由于PijPi? P?j，如P011P0?2p?1 一33，所以_与丫不相互独立。88832323323又E