矩阵论——三维图形应用

1、矩阵在计算机三维图形变换中的应用姓名： 余 章 权 学号： 07127011 班级： 071271 学院： 数学与统计学院 07127011 余章权矩阵在计算机三维图形变换中的应用 摘要：论述如何利用矩阵的变换性质实现计算机的三维图形变换，主要是通过平移、缩放和旋转三种基本变换的组合来实现的，利用矩阵可以是图形处理高速化。关键词： 平移、缩放、旋转1 引言三维图形图像的处理，显示和形体构造需要使用三维几何变换，这些变换是通过基本的平移，缩放和旋转组合而成的，每一个变化都可以表示为矩阵变换的形式，通过矩阵的相乘或连续可以构造复杂的变换。2 矩阵与图形变换计算机对图形的处理，经常用到各种变换，若用

2、解析式表示坐标变换，计算过程和缩放程序都很复杂，用矩阵表示图形的坐标变换，特别是复合变换就显得比较简单，利用矩阵进行计算，可使图形处理高速化。事实上，对于一个空间图形，图形上每一个点都对应着唯一的坐标（x，y，z），它的标准化齐次坐标为一个四维的向量。设T为4 X 4变换矩阵：其个元素的性质为：a,b,c,d,e,f,g,h,i产生比例，反射，旋转，错位变换，l,m,n产生沿x轴，y轴，z轴的平等移动。P,q,r产生透视变换，s产生全比例变换。利用变换矩阵T可以对三维坐标进行各种变换，其基本关系式为：一般地，对图形对平移变换的变换矩阵为：其中l,m,n分别沿x轴，y轴，z轴的方向的平移量，其坐

3、标关系式为：对图形做比例变换矩阵为：a,e,i分别表示坐标x,y,z的放大率，其坐标关系为：当a,e,i均等于1时，则变换矩阵为：T=这时T产生全比例变换，其中S为整个图形的放大率，当s1时整个图形缩小，当s1时整个图形放大。对图形作错移变换的变换矩阵为：T=对图形作关于xoy平面的反射变换的变换矩阵为：T=将图形绕x轴旋转角的变换矩阵为：T=将图形绕y轴旋转角的变换矩阵为：T=如果要对图形连续施行几种变换，则它的变换矩阵就是几个相应变换后矩阵的乘积，如对点A（x，y，z）先作比例变换，然后再绕y轴旋转角，则新旧坐标关系为：（x,y,z,1）=3 利用矩阵进行三维图形变换 设三维孔家那种任意一

4、点的齐次坐标p(x,y,z,1),作三维图形得打的点的齐次坐标为p(x,y,z,1)可得下面三维图形集合变换矩阵。3.1 平移变换平移变换课将指定形体从当前位置移到一个新的位置，而不改变其方向和大小。式中，Dx，Dy，Dz 分别是沿x轴，y轴，z轴方向上的平移量，图1是三维平移变换示意图。3.2 比例变换 比例缩放变换指定形体的大小，该比例变换以坐标原点为参考点，上式中的分别是沿x轴，y轴，z轴方向上的缩放比例，图2是以坐标原点为参考点的三维比例变换示意图。 如果要以三维空间中的任意一点（x0,y0,z0）为参考点作比例变换，先平移至原点作比例变换后再平移回到点（x0,y0,z0），比例变换矩

5、阵为：3.3 旋转变换三维旋转变换是指空间形体绕坐标轴旋转角，旋转的正方向通常按右手定则确定，即右手拇指指向转轴方向，其余四指指向便是旋转角的正交（如图3）。旋转变换后形体的大小和形状不发生变化，只是空间位置相对原位置发生了变化。绕x轴旋转：，其中为图形绕x轴旋转的角度；绕y轴旋转：其中为图形绕y轴旋转的角度；绕z轴旋转：其中为图形绕z轴旋转的角度。4 旋转矩阵 设o-x1y1z1和o-xkykzk是以o为同一原点的不同坐标系，对应的基向量分别为和，则同一矢量可以用两种不同的基表示出来。，其中为向量的坐标阵列，右边等式的两边用点乘，得到：，其中Alk为3X3标量矩阵，定义为：由此式可以判断，相

6、同元素之间的选择矩阵为三阶单位矩阵，即All（Akk）=E，并且于实际情况符合。我们用以下算例来实现旋转阵的应用：5 三维图形变换的统一矩阵面计算机绘制物体的投影图，是将三维空间的物体用二维平面上的图形来表示，因此，需要进行图形变换，而进行图形变换行之有效的方法是矩阵机器运算。常用的三维图形变换矩阵有绕z轴的旋转矩阵S1，绕x轴的旋转矩阵S2，平移矩阵S3，向y面的正投影矩阵S4，它们分别为其中分别为绕z轴和x轴旋转的角度，l,m,n为平移参数6 计算机三维变换使用矩阵Direct 3D使用矩阵来执行3D变换，解释了矩阵是如何来建立三维变换。描述了一些变换的基本用法以及如何通过矩阵合并来完成复

7、杂的变换，平移Translation旋转Rotation，缩放Scaling。在Direct 3D程序中，平移矩阵也可以使用D3dutil.cpp矩阵中的Translate辅助函数来创建此矩阵，下面的例子展示了Translate函数的源码：D3DMATRIX Translate(canst float dx. Const float dy. Const float dz)D3DMTR x ret=identity Matrix();Ret(3. 0)=dx;Ret(3. 1)=dy;Ret(3. 2)=dz;Return=ret; end of Translate()使用 D3dutil.cp

8、p 文件中的Rotate x 和Rotate y 和Rotate z 辅助函数来创建放置矩阵，下面是Rotate x函数的代码：D3DMATRIX.Rotatex(const float rads) float const sine;const =cos(rads);sine =sin(rads);D3DMATRIX ret=identity Matrix()；Ret(1 .1)=consine;Ret(2 .2)=consine;Ret(1 .2)=-sine;Ret(2 .1)=sine;Rerurn ret;/end of Rotatx()7 结语上述推导出的计算机三维图形变换，怎样利用矩阵的变换性质，可以通过平移比例变化和旋转三种基本变换的组合来实现，尤其是它的旋转变换需要知道旋转角和旋转轴。参考文献：1王汝传.计算机图形学M.北京:人民邮电出版社,2002.1801892何援军.计算机图形学M.北京:机械工业出版社,2006.87913焦永广.计算机图形学教程M.北京:理工大学出