多种方法证明勾股定理

1、多种方法证明勾股定理【证法11 （课本上的证明方法）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b, 斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图 那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ,所以面积相等。即a2 b2 41ab c2 41ab ,整理得 a2 b2 c2 o22'【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每1，、 一个直角三角形的面积等于 1abo把这四个直 角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三 点在一条直线上，B F、C三点在一条直线上， C、G D

2、三点在一条直线上。 Rt HAE 里 Rt AEBF,/ AHE = / BEE/AEH + / AHE = 90oZAEH + /BEF = 90o. /HEF = 180o 90o = 90o。四边形EFGH一个边长为c的正方形.它的面积等于c2 Rt GDH二 Rt HAE,/HGD = /EHA /HGD + /GHD = 90o , /EHA + / GHD = 90o又 /GHE = 90o ,/DHA = 90o + 90o = 180o。. ABCD是一个边长为a + b的正方形,2它的面积等于a b, 21 .2a b 4 -ab c2【证法3】（三国时期赵爽的证明）以a、b

3、为直角边（b>a）, 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则 每个直角三角形的面积等于-ab。B2把这四个直角三角形拼成如图所示形状 Rt ADAH 里 Rt A ABE,/ HDA = / EAB: / HAD + / HAD = 90o ,/ EAB + / HAD = 90o ,. ABC混一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。; EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o。2 EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于b a 。4 1ab b a 2 c2。2【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个

4、全等的直角三角形，则每1个直角三角形的面积等于 aab。把这两个直角三角形拼成如图所不 形状，使A、E、B三点在一条直线上。 Rt AEAD 二 Rt ACBE,/ADE = /BEC: /AED + / ADE = 90o ,/AED + / BEC = 90o/DEC = 180o 90o = 90o. DEB一个等腰直角三角形，1 2-c它的面积等于2 。又 ZDAE = 90o , ZEBC = 90o ,. AD/ BG12ABC渥一个直角梯形，它的面积等于-2 a b2o.121,1 2 一 a b 2 ab c。222222.a b c o【证法5】（今安徽省宣城市宣州区清代数学

5、家梅文鼎的证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b , 斜边长为c。把它们拼成如图那样的 一个多边形，使 D E、F在一条直线 上。过C作AC的延长线交DF于点P。 D、E F在一条直线上，且Rt GEF 里 Rt AEBD,/EGF = /BED: /EGF + / GEF = 90 ,/BED + / GEF = 90 ,又: AB = BE = EG = GA = c ,. ABEG是一个边长为c的正方形。 /ABC + /CBE = 90o 。 Rt ABC 二 Rt AEBD,/ABC = /EBD /EBD + / CBE = 90o。即/CBD= 90）。

6、又 /BDE = 90o , /BCP = 90o ,BC = BD = a。. BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG1：一个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则b2c1S 2 -ab, 212 -ab【证法6】明达的证明）做两个全等的直角三角形，设它（今杭州清代数学家项2们的两条直角边长分别为a、b (b>a),斜边长为c。再做一个边长为 c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C三点在一条 直线上。过点Q作QP/ BC交AC于点P。过点B作BML PQ垂足为M;再过点F作FL PQ垂足为No: / BCA = 90o , QP/ BC . /MPC

7、= 90o ,; BMI± PQ . /BMP = 90o , BCPMM一个矩形，即/ MBC = 90o . /QBM + /MBA = /QBA = 90o ,/ABC + / MBA = / MBC = 90o ,. /QBM = /ABC又 /BMP = 90o , / BCA = 90o , BQ = BA = c, Rt BMQ Rt BCA同理可证RtAQNF里Rt AAEE从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）【证法71 （古希腊的数学家欧几里得的证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状, 使H C、B三点在一条直线上，连结BF、CD 过

8、C作 CL，DE, 交AB于点M交DE于点L.。; AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD A FAB 二 A GAD1 c FAB的面积等于a2 , GAM面积等于矩形ADLM勺面积的一半,矩形ADLM勺面积=a2。同理可证，矩形 MLEB勺面积=b2o.正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积，c2 a2 b2 ,即 a2 b2 c2。【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtAABC中，设直角边AG BC的长度分别为a、b,斜 边AB的长为c,过点C作CDL AR垂足是D。在 ADCS! ACBt Z ADC = Z ACB = 90o

9、,/ CAD = / BAC A ADC s A ACBAD： AC = AC： AB,即 AC2 AD ? AB o同理可证， CDB s AACEBAC2 BC2 AD DB ?ABC从而有 BC2 BD?AB。AB2 ,即 a2 b2 c2。【证法9】(西周朝代杨作玫的证明): / BAD = 90o , / PAC =/ DAH = / BAC又 /DHA = 90o , / BCA =AD = AB = c ,做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b (b>a),斜边长为c,再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如 图所示的多边形。过A作AF，AQ AF交GT于

10、F, AF交DT于R 过 B作BP± AF,垂足为P。过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE交AF于H。. Rt DHA 二 Rt BCA. DH = BC = a , AH = AC = b。由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 Rt APB 二 Rt BCA 即 PB =CA = b, AP= a,从而 PH = b-a。 Rt DGT 二 Rt BCA ,Rt A DHA 里 Rt ABCA Rt A DGT 二 Rt A DHA。. DH = DG = a , / GDT = / HDA。又 /DGT = 90o , /DHF = 90o ,/GDH = /GDT

11、+ /TDH = / HDA+ /TDH = 90o ,. DGF偎一个边长为a的正方形。. GF = FH = a . TF±AF, TF = GTGF = ba .t TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP=b,高FP=a+(ba)。用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 c21S8 S 3 S4 b =b a ? a ba b ab , 2 S1 S2 S3 S4 S5S5S8S9 ,21 ,S 3 S 4 b ab Sg 2b2SiS8。把代入，得SiS2b2S1S8S8S9b2S2S9,22b a2,22a b c 。设直角三角形两直角边的长

12、分别为【证法10（今江苏苏州市元和县古代数学家李锐的证明）a、b （b>a）,斜边的长为c。做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如 图所示形状，使A、E G三点在一条直线 上。用数字表示面积的编号（如图）。: /TBE = / ABH 90o ,/TBH = / ABE又 /BTH = / BEA = 90o ,BT = BE = b , Rt AHBT 二 Rt A ABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba又 ZGHF + ZBHT = 90o ,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90o ,. ZGHF = /DBC;

13、DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o , Rt HGF 里 Rt BDC 即 等 S2。过Q作QMLAG 垂足是 M 由/BAQ = /BEA = 90o ,可知 / ABE=/ QAM 而 AB = AQ = c ,所以 Rt A ABE 里 Rt A QAM。又 Rt HBT 里 Rt A ABE 所以 RtAHBT 里 Rt AQAIM 即 S8 S5。由 Rt A ABE 里 Rt A QAM 又得 QM = AE = a, / AQM = /BAE: /AQM + /FQM = 90o , / BAE + /CAR = 90o ,/AQM = /B

14、AE/FQM = /CAR又 /QMF = /ARC = 90o , QM = AR = a, Rt AQMF。 Rt A ARC 即 S4 S6 oc2 S1 S2 S3 S4 S5, a2 S1 S6, b2 S3 s7 s8 ,又S7S2,S8S5,S4S6,=S1S4S3S2 S5=ca2,即 b2c2c2 o【证法12（利用多列米定理证明）在RtAABC4 设直角边 BC= a, AC= b,斜边AB = c （如图）。 过点A作AD/ CB过点B作BD/ CA则ACB时矩形，矩形ACBED3 接于一个圆。根据多列米定理，圆内接四边形对,2.2a b【证法11（利用切割线定理证明）_

15、 2_ _AC AE ? AD二 AB BE AB BDBDAX b ，C在RtAABC,设直角边 BC = a, AC = b,斜边AB = c。如图， 以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E,则BD= BE = BC = a。因为/ BCA = 90o，点C在O B上，所以AC是。B的 切线。由切割线定理，得角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB?DC AD?BC AC?BD,v AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 BC2 AC2,即 c2 a2 b2,/. a2 b2 c，【证法13（作直角三角形的内切圆证明）在 Rt

16、AABC4 设直角边 BC = a, AC = b,斜边 AB = c。作 Rt ABC勺内切圆。O,切点分别为D E、F （如图），设。O的半径为r。; AE = AF , BF = BD, CD = CE,. AC BC AB AE CE BD CDAF BF=CE CD = r + r = 2r,即 a b c 2r ,a b 2r co,2- a b 2r c即 a2 b2 2ab 4 r22rc cS ABC2 ab2ab 4S又 a/ S ABC S AOB SBOCS AOC1-cr21br 2rc4S ABCrc4 r2rc2ab【证法b22ab 2abb214】（利用反证法证

17、明）如图，在RtAABC中，设直角边AGBC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDL AR垂足是D。假设a2 b2 c2,即假设AC2 BC2 AB2,则由AB2 AB?AB=abad bd =ab?AD AB?BD可知 AC2 ab?ad ,或者 BC2 ab?bd,即 AD : AO AC： AB,或者 BD : BO BC ： AB在 ADCR! ACB 中,: /A = /A,若 AD : AO AC：/ AD6 / ACB在 CDBR! ACB中,ZB = /B,若 BD： BOBC： AB,贝U/ CD% / ACB又: Z ACB = 90o , /ADO90o ,

18、/CD字90o。这与作法CDL AB矛盾.所以，AC22._22_2. a b 2ab 2ab c . . a b c o BC2 AB2的假设不能成立 222.a b c o【证法15】（英国古代数学家辛卜松的证明）A abBabb2ab设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c。作边长是a+b的正方形ABCD把正方形ACD分成上方左图所示的几个部 2 2a b a b 2ab分，则正方形ABCD勺面积为；把正方形ABCDJ分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD勺面积为a b 4 -ab c2=2ab c2 o【证法16（中国清朝数学家陈杰的证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）, 把它们拼成如图所示形状，使 E H、M三 点在一条直线上。用数字表示面积的编号（如图）。在EH = b上截取ED =